Derivación e integración en física (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 07:37 23 sep 2012

Contenido

1 Introducción
2 Diferenciales
3 Derivadas
4 Integrales
5 Series de Taylor
6 Ecuaciones diferenciales

1 Introducción

El objeto de este tema no una exposición de las técnicas de derivación e integración, que se suponen conocidas. Se trata aquí de dar una interpretación intuitiva del significado de estas operaciones en física, a fin de facilitar tanto la compresión de las fórmulas como de saber cuándo y dónde deben utilizarse.

Lo que sigue no pretende en absoluto ser riguroso, es más, en muchos aspectos se aleja del rigor matemático si con ello se consigue una mejor visualización del significado físico.

2 Diferenciales

La idea de diferencial es simple:

Un diferencial de una magnitud, $d A$ , es una cantidad muy pequeña de dicha magnitud

Por ejemplo, si estamos considerando el movimiento rectilíneo de una partícula, nos puede interesar el desplazamiento neto, $Δ x$ durante un periodo finito $Δ t$ . Pero si el movimiento es irregular, nos puede interesar un análisis más detallado del movimiento. En ese caso consideraríamos intervalos de tiempo muy cortos, en los cuales se realizan desplazamientos minúsculos. A esos intervalos, que serían instantes, los denotamos por $d t$ y a los desplazamientos pequeños por $d x$ y los llamamos diferenciales.

La pregunta que surge de manera inmediata es ¿cómo de pequeño? ¿pequeño comparado con qué? Una magnitud no es grande o pequeña en sentido absoluto; lo es siempre relativamente a alguna referencia.

A la hora de considerar una cantidad como diferencial, lo hacemos siempre comparándola con los valores típicos de las magnitudes que aparecen en el sistema que se está estudiando. Como criterio, podemos considerar que si es más de tres órdenes de magnitud más pequeño (menos de una milésima, preferible aun menor) se puede aproximar como diferencial. Por ejemplo, una distancia $\Delta x = 1\,\mathrm{m}$ , ¿puede considerarse como diferencial? En un problema en el que estudiamos el movimiento de una pelota de ping-pong obviamente no. Pero, si lo que estamos estudiando es el movimiento de la Tierra alrededor del Sol, sí que se puede, muy justificadamente, considerar como diferencial.

Un diferencial no tiene por qué referirse al incremento de una variable.

En los casos $d t$ y $d x$ sí puede considerarse como incrementos muy pequeños en las variables $t$ y $x$ .

Supongamos ahora, que nos piden describir la temperatura de una habitación. Puesto que esta temperatura no será homogénea en general, no tiene mucho sentido hablar de la temperatura del conjunto. Es más lógico dividir la habitación en trozos lo suficientemente pequeños como para que cada uno tenga una temperatura concreta. Construimos así elementos de volumen $d V$ , que serían diferenciales, y a los cuales les podemos asignar una temperatura. Estos diferenciales de volumen no corresponden al incremento de ninguna variable. Se trata simplemente de cantidades muy pequeñas de una magnitud. Si nos imaginamos cada elemento de volumen como un pequeño cubito, su volumen sería largo por ancho por alto

$\mathrm{d}V = \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathrm{d}z$

es decir, es el producto de tres diferenciales de variables diferentes.

También se pueden definir diferenciales de magnitudes vectoriales. Un desplazamiento en el espacio viene dado por el incremento del vector de posición

$\Delta\vec{r} = \Delta x\,\vec{\imath}+\Delta y\,\vec{\jmath}+\Delta z\,\vec{k}$

Si consideramos un desplazamiento muy pequeño comparado con el tamaño del sistema obtenemos un diferencial de camino

$\mathrm{d}\vec{r} = \mathrm{d} x\,\vec{\imath}+\mathrm{d} y\,\vec{\jmath}+\mathrm{d} z\,\vec{k}$

que, de nuevo, es una combinación de los incrementos infinitesimales de tres variables diferentes.

El tamaño de los diferenciales reales, en física, no puede hacerse infinitamente pequeño como en matemáticas. Imaginemos que estudiamos la distribución de temperatura en un baño de agua. Dividimos el agua el elementos de volumen de masa $d m$ . Si consideramos los elementos de volumen tendiendo a ser infinitamente pequeños, llega un momento en que dejan de ser volúmenes de agua, pasando a ser protones, electrones o espacio vacío, para los cuales la temperatura o el propio concepto de agua deja de tener sentido. Por ello, hemos de considerar que un diferencial es una cantidad mucho más pequeña que los valores que aparecen en el problema, pero no tan pequeña que dejen de tener significado.

Cuando tenemos una función de una o varias variables $f(u, v,\ldots)$ y las variables cambian en una cantidad diferencial, el valor de la función $f$ también cambia de manera diferencial

$f(u,v,\ldots) \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}f = f(u+\mathrm{d}u,v+\mathrm{d}v,\ldots)-f(u,v,\ldots)$

Así obtenemos la regla de que la diferencial de una suma es la suma de diferenciales

$f = u +v \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}f = ((u+\mathrm{d}u) +(v+\mathrm{d}v))-(u+v) = \mathrm{d}u+\mathrm{d}v$

En el caso de un producto obtenemos

$f = uv \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}f = ((u+\mathrm{d}u)(v+\mathrm{d}v))-(uv) = (\mathrm{d}u)v+u(\mathrm{d}v)+(\mathrm{d}u)(\mathrm{d}v)$

pero en esta expresión, el último término es mucho más pequeño que los dos primeros. Imaginemos que u y v valen 1, y sus diferenciales valen 0.001, entonces, los dos primeros términos son del orden de la milésima, pero el tercero es del orden de una millonésima 0.001×0.001 = 0.000001 y por tanto es despreciable

$f = uv \quad\Rightarrow\quad \mathrm{d}f = (\mathrm{d}u)v+u(\mathrm{d}v)$

Este ejemplo, nos muestra que existen categorías entre los diferenciales: de primer orden, de segundo orden -producto de dos-, de tercer orden -producto de tres-,… Cuando el resultado final de una operación es la suma de una cantidad finita con un diferencial, o un diferencial con un diferencial de orden superior, los términos más pequeños son despreciables, quedándonos siempre con el del orden más bajo.

En cuanto a las dimensiones y unidades, el diferencial de una magnitud tiene las mismas que la propia magnitud. Un diferencial de masa, $d m$ se mide en kilogramos y uno de tiempo, $d t$ en segundos.

3 Derivadas

3.1 Concepto

El concepto básico de derivada es el siguiente:

Una derivada es un cociente entre dos cantidades muy pequeñas

El ejemplo más claro para ilustrarlo es el de velocidad instantánea. Cuando decimos que en un instante dado la velocidad es de 120 km/h, ¿qué estamos diciendo exactamente? Evidentemente, no que durante la última hora se han recorrido 120 km, ya que igual sólo se llevan 10 minutos de marcha. Podríamos decir que durante el último minuto se han recorrido 2 km. ya que

$\frac{120\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{h}} = \frac{2\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{min}}$

Esto ya es más preciso, pero aun no es del todo satisfactorio, ya que en un minuto hay tiempo suficiente a acelerar o frenar. Una mejor aproximación sería afirmar que en el último segundo se ha recorrido (1/30) km = 33.3 m. O podríamos decir que en la última décima de segundo se han recorrido 3.33 m,…

$\frac{120\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{h}} = \frac{2\,\mathrm{km}}{1\,\mathrm{min}}= \frac{33.3\,\mathrm{m}}{1\,\mathrm{s}}=\frac{3.33\,\mathrm{m}}{0.1\,\mathrm{s}}=\cdots$

En todos los casos la velocidad es de 120 km/h, pero cuanto más pequeño es el intervalo de tiempo considerado, más nos acercamos al ideal de medir la velocidad en un instante dado.

Se define entonces la velocidad instantánea como el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla, cuando ambas cantidades se hacen muy pequeñas, reduciéndose a diferenciales

$v\equiv\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta x}{\Delta t}$

Numéricamente, se puede hallar un valor aproximado de la derivada a partir del cociente entre incrementos. Así, si tenemos la tabla de posiciones

t (s)	0.00	0.10	0.20	0.30	0.40	0.50	0.60	0.70	0.80	0.90	1.00
x (m)	1.00	0.64	0.36	0.16	0.04	0.00	0.04	0.16	0.36	0.64	1.00

obtendríamos que la velocidad en $t = 0.35\,\mathrm{s}$ (intermedio a 0.30 s y 0.40 s) vale aproximadamente

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\simeq \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{0.04\,\mathrm{m}-0.16\,\mathrm{m}}{0.40\,\mathrm{s}-0.30\mathrm{s}} = \frac{-0.12\,\mathrm{m}}{0.10\mathrm{s}} = -1.2\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}$

Vemos que aunque los incrementos son diferenciales, muy pequeños, su cociente es una cantidad finita.

El concepto de velocidad instantánea se generaliza a toda derivada de una función $f$ respecto a una variable $u$ : El cociente entre el diferencial de la función y el de la variable

$f'(u) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}u} = \frac{f(u+du)-f(u)}{\mathrm{d}u}$

La derivada consiste en un cociente entre incrementos. Por tanto, no nos basta con conocer el valor de la función en un punto. Necesitamos conocer cómo varía entre ese punto y uno vecino.

Esta regla es importante, en particular, cuando estamos resolviendo un problema y se nos dice, por ejemplo, “La posición inicial es $x_0=3\,m$ , ¿Cuánto vale la velocidad inicial?” e ingenuamente se responde “La posición vale 3, la velocidad es la derivada; la derivada de una constante es 0, por tanto la velocidad es nula”. MAL. No nos basta con saber el valor de la posición en $t = 0$ , también necesitamos su valor inmediatamente después (que ya no será 3 m). La velocidad podrá tener cualquier valor.

El que una función valga 0 (u otro valor conocido) en un punto no implica que su derivada sea nula en dicho punto.

Hay que destacar que, del mismo modo que un diferencial no siempre representa el cambio en una variable, un cociente entre diferenciales no siempre es una derivada.

Por ejemplo, supongamos que queremos analizar la densidad del aire en la atmósfera (que depende de la temperatura, la altura, la presión,…). Esta densidad no la podemos definir como la masa total dividida por el volumen total, pues variará de un punto a otro. Consideramos entonces elementos de volumen $d V$ , que tendrán una masa también diferencial $d m$ (diferente para cada elemento. La densidad de masa en cada punto será entonces

$\rho = \frac{\mathrm{d}m}{\mathrm{d}V}$

Sin embargo, la densidad de masa no es la derivada de la masa respecto al volumen, ya que el volumen, según indicamos antes, no es un solo diferencial de una variable, sino el producto de tres.

En la expresión de una derivada tan importante es qué se deriva como con respecto a qué se deriva, ya que una misma magnitud puede depender de muchas otras (una fuerza puede depender del tiempo o de la posición; la energía de la presión, volumen o temperatura), y en general cualquier magnitud puede derivarse respecto a casi cualquier variable (aunque a menudo la derivada sea nula, por no depender una de la otra). Por ello, en Física no se suele indicar explícitamente de qué depende una magnitud (no se escribe $F (x)$ o $F (t)$ o $F (x, t)$ , sino simplemente $F$ . Por ello, es siempre preferible usar la notación de Leibniz, como el cociente entre diferenciales $d A / d x$ en la que aquella variable respecto a la que se deriva en un momento dado es la que aparece en el denominador de la expresión

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}\neq \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}$

Por tanto, en física no tiene mucho sentido hablar de “la derivada de la magnitud A”. Será siempre “la derivada de la magnitud $A$ respecto a la magnitud $x$ ” por ejemplo, es incorrecto decir “la velocidad es la derivada de la posición”, si no se añade “respecto al tiempo”.

3.2 Dimensiones de la derivada

De la definición de derivada como cociente de diferenciales se deduce que las dimensiones de una derivada son las del numerador (la magnitud que se deriva) dividida por la del denominador (respecto a qué se deriva).

$\left[\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right] = \frac{[x]}{[t]}$

Así, para la velocidad instantánea, cociente entre un diferencial de posición y uno de tiempo, las dimensiones son L/T.

3.3 Interpretación geométrica

Geométricamente, la derivada de una magnitud, A, respecto a otra, x, se obtiene representando A frente a x. Si consideramos dos puntos de la curva, la pendiente de la recta que pasa por esos dos puntos vale

$m = \frac{A_2-A_1}{x_2-x_1} = \frac{\Delta A}{\Delta x}$

Considerando ahora intervalos cada vez más pequeños, la recta secante tiende a convertirse en la recta tangente y la pendiente de la recta tangente equivale a la derivada $d A / d x$ .

Esta interpretación se relaciona con una aplicación muy importante de las derivadas: la aproximación lineal. Si tenemos una magnitud dependiente de otra de una forma suave, de forma que alrededor de un cierto punto no hay un cambio sustancial de dirección, podemos hacer la aproximación de que para puntos próximos

$\frac{\Delta y}{\Delta x}\simeq \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}$

o, equivalentemente

$\frac{y-y_0}{x-x_0}\simeq \left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_0\quad\Rightarrow\quad y \simeq y_0+\left.\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}\right|_0(x-x_0)$

Esta es justamente la ecuación de la recta tangente a la curva en $x = x 0$ , entonces, la aproximación lineal consiste en sustituir la función por la recta tangente. Por supuesto, esto solo es una aproximación válida en puntos próximos al de tangencia.

Así, por ejemplo, para un resorte, tenemos que cuando su longitud es la de reposo, $l 0$ , no ejerce fuerza alguna, pero si estiramos o comprimimos el resorte aparece una fuerza en sentido opuesto

$F(l=l_0) = 0\qquad \left.\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}l}\right|_0 = -k \quad \Rightarrow \quad F\simeq -k(l-l_0)$

Esta es la ley de Hooke, que solo es válida cuando la deformación del muelles es pequeña. Para deformaciones grandes, la ley deja de ser cierta.

3.4 Derivadas de sumas y productos

A partir de las expresiones para los diferenciales de una suma y de un producto obtenemos las de la derivada de una suma y un producto, simplemente operando como si fueran fracciones (que es lo que son)

$\frac{\mathrm{d}(u+v)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}u+\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$ $\frac{\mathrm{d}(uv)}{\mathrm{d}t}=\frac{(\mathrm{d}u)v+u(\mathrm{d}v)}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}v+u\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}$

La derivación puede extenderse al caso de una magnitud vectorial respecto a una escalar. Algebráicamente equivale a multiplicar el vector $\mathrm{d}\vec{r}$ por el escalar $1 / d t$ ,

$\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x\vec{\imath}+\mathrm{d}y\vec{\jmath}+\mathrm{d}z\vec{k}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\vec{\imath}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\vec{\jmath}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\vec{k}$

pero NO se puede extender a la derivada respecto a una magnitud vectorial, ya que ello implicaría dividir por un vector, lo que no es admisible.

Las reglas de derivación de sumas y productos se pueden extender al caso de magnitudes vectoriales. Así, para los productos tenemos

$\begin{array}{rcl}\displaystyle\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\lambda\vec{A}) & = & \displaystyle\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}t}\vec{A}+\lambda\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\\ && \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{A}\cdot\vec{B}) & = & \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{B}+\vec{A}\cdot\frac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t} \\ && \\ \displaystyle\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\vec{A}\times\vec{B}) & = & \displaystyle\frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}\times\vec{B}+\vec{A}\times\frac{\mathrm{d}\vec{B}}{\mathrm{d}t} \end{array}$

Una de las propiedades más importantes de las derivadas es la regla de la cadena, o de Leibniz. Supongamos que tenemos una fuerza, p.ej. la gravitatoria, dependiente de la posición $F (x)$ , que actúa sobre una partícula en movimiento, con posición $x (t)$ . ¿Cómo varía la fuerza con el tiempo? La derivada es la variación diferencial de la fuerza dividida por el intervalo diferencial de tiempo en que varía. Durante ese intervalo de tiempo, la partícula realiza un desplazamiento diferencial $d x$ , que es la causa de la variación en la fuerza. Algebráicamente obtenemos el resultado simplemente multiplicando y dividiendo por $d x$

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

(matemáticamente esto es la regla de que una derivada de una función de otra es la derivada de lo de fuera multiplicada por la derivada de lo de dentro). Esta regla es la que se aplica cuando se dice que la derivada de una función de una función es “la derivada de lo de dentro multiplicada por la derivada de lo de fuera”, y otras reglas nemotécnicas. Por ejemplo, imaginemos que queremos hallar la derivada con respecto a x de la función

$z = \cos(x^2)\,$

Si hacemos $u = x 2$ queda

$u = x^2\qquad \qquad z = \cos(u)$

Aplicando aquí la regla de la cadena

$\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}u}\,\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(\cos u)}{\mathrm{d}u}\,\frac{\mathrm{d}(x^2)}{\mathrm{d}x} = -\mathrm{sen}(u)\,2x = -2x\,\mathrm{sen}(x^2)$

Vemos que es lo mismo que en la receta, pero con la diferencia de que se puede generalizar a más situaciones. La regla de la cadena se puede reiterar todas las veces que sea necesario. Si la fuerza es función de la temperatura, que depende de la posición, que depende del tiempo, pues

$\frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}t}= \frac{\mathrm{d}F}{\mathrm{d}T}\,\frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}x}\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}$

3.5 Derivadas de orden superior

Las derivadas se pueden reiterar. Así, la segunda derivada de y respecto a x es la derivada de la primera derivada, lo que en la notación de Leibniz se escribe

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = x''(t)$

El ejemplo más conocido de segunda derivada es la aceleración, igual a la segunda derivada de la posición respecto al tiempo. Igualmente tenemos la tercera, cuarta o enésima derivadas

$\frac{\mathrm{d}^3x}{\mathrm{d}t^3} \qquad \qquad \frac{\mathrm{d}^4x}{\mathrm{d}t^4} \qquad\qquad \frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}$

En la notación hay que tener mucho cuidado de donde se colocan los exponentes, ya que

$\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} \neq \left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} \right)^2$

El miembro de la izquierda representa la segunda derivada (la aceleración, por ejemplo) y el miembro de la derecha es el cuadrado de la primera derivada (la velocidad al cuadrado). Los dos miembros ni siquiera se miden en las mismas unidades.

4 Integrales

4.1 Concepto básico

La idea básica de integración es

Una integral es una suma de muchas cosas muy pequeñas

y no tiene más misterio. No se debe pensar en la integral como operación inversa de la derivada. Una integral es una suma y eso es lo que indica su signo (una S estilizada).

Consideremos un ejemplo de cinemática. Tenemos una partícula que se mueve con velocidad variable $v (t)$ y nos preguntamos cuánto se desplaza la partícula entre $t = 0$ y $t = T$ . Evidentemente no es igual a $v (t) T$ , ya que la velocidad es variable.

Si dividimos el intervalo de tiempo $(0, T)$ en muchos intervalos de corta duración, $Δ t$ , podemos suponer que la velocidad no varía mucho dentro de ese intervalo, y se puede suponer constante. En ese caso, el desplazamiento en el intervalo centrado en el instante $t i$ será aproximadamente

$\Delta x_i \simeq v(t_i)\,\Delta t$

y el desplazamiento total será la suma de los pequeños desplazamientos

$\Delta x = \Delta x_1 + \Delta x_2 + \cdots \simeq v(t_1)\Delta t + v(t_2)\Delta t + \cdots = \sum_{t_i=0}^{t_i=T} v(t_i)\Delta t$

La aproximación será tanto mejor cuanto más pequeños sean los intervalos de tiempo, esto es, cuando se reduzcan a diferenciales.

Escribiendo $d t$ en lugar de $Δ t$ y cambiando el signo de sumatorio (una S en griego) por una S alargada nos queda

$\Delta x = \int_0^T v(t)\,\mathrm{d}t$

Gráficamente, este resultado se puede interpretar como el área bajo la curva $v (t)$ . Cuando consideramos intervalos $Δ t$ la cantidad $v (t i)Δ t$ es el área de un rectángulo que tiene $Δ t$ como base y $v (t i)$ como altura. El desplazamiento aproximado sería la suma de las áreas de los rectángulos, que se aproxima al área bajo la curva. La igualdad se alcanza cuando los intervalos de tiempo son diferenciales.

La interpretación de la integral como área bajo la curva permite obtener mejores aproximaciones al resultado a partir de los valores de la velocidad en una serie de instantes. Así tenemos el método de los trapecios, en el cual la curva se aproxima por una quebrada (lo que se llama rectificar la curva) y el área por la suma de una serie de trapecios cuya área individual es la media de las bases por la altura:

$\Delta x = \frac{v(t_1)+v(t_2)}{2}\Delta t$

4.2 Regla de Barrow

¿Dónde queda entonces lo de la inversa de la derivada? En la llamada regla de Barrow, que nos dice que si $x (t)$ es una primitiva de $v (t)$ , esto es, si

$\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=v$

se verifica

$\int_0^T\! v(t)\,\mathrm{d}t = x(T)-x(0)$

En física todas las integrales son definidas. Se suma en un determinado rango o dominio de integración. Es frecuente, eso sí, que los límites de integración sean en sí mismo variables. Así, podemos reescribir la expresión anterior como

$x(t) = x(0) + \int_0^t v(t')\,\mathrm{d}t'$

donde la prima en el diferencial sirve para distinguirla de la t del límite de integración (del mismo modo que la variable T no era la misma que t).

4.3 Generalización

El concepto de integral se extiende de forma inmediata a dos o tres dimensiones.

Supongamos, siguiendo un ejemplo anterior, que deseamos calcular la masa de la atmósfera, conociendo cómo depende la densidad de masa con la posición, entonces, para cada elemento de volumen se cumple

$\mathrm{d}m = \rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

y la masa total será la suma de todas las masas elementales

$M = \int_M \mathrm{d}m = \int_V \rho(x,y,z)\,\mathrm{d}V$

La V en el signo integral representa que el volumen de integración es todo el volumen de la atmósfera.

El concepto de integral se aplica del mismo modo a productos con vectores. Si deseamos hallar la fuerza sobre una distribución de carga en un campo eléctrico dependiente de la posición, dividimos la distribución de carga en elementos casi puntuales, para los cuales la fuerza es

$\mathrm{d}\vec{F}=\mathrm{d}q\,\vec{E}$

y la fuerza neta sobre la distribución será

$\vec{F}=\int_Q \vec{E}\,\mathrm{d}q$

Análogamente se calcula el trabajo sobre una partícula en movimiento. Para una fuerza constante, el trabajo realizado es

$W = \vec{F}\cdot\Delta\vec{r}$

Si la fuerza es variable, se rectifica la curva, aproximándola por una quebrada, de forma que el trabajo diferencial realizado en cada segmento es

$\mathrm{d}\vec{W}=\vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

y el trabajo total será la suma de los trabajos elementales

$W = \int_A^B \vec{F}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Desde el punto de vista dimensional, por tratarse de una suma, las dimensiones del resultado serán las de cada uno de los sumandos, que a su vez serán las del integrando multiplicadas por las del diferencial. Así, para el trabajo, las dimensiones serán

$[W]=[\vec{F}][d\vec{r}] = (MLT^{-2})(L) = ML^2T^{-2}$

y se medirá en newtons por metro (julios).

El problema de cálculo de una integral de volumen o sobre una curva puede ser muy complejo, pero la idea física es sencilla y es lo que necesitaremos en la mayoría de los casos. Para el cálculo, simplemente analizaremos caso por caso cuando sea necesario.

5 Series de Taylor

Al introducir el concepto de derivada vimos que una de sus aplicaciones era el proporcionar la aproximación lineal, esto es, determinar qué recta es la que más se aproxima a una función en un punto. El concepto se puede generalizar y preguntarnos qué polinomio de 2º grado es el que más se aproxima a una función, o el de 3^er grado, o el de grado $n$ . Para responder a esta pregunta se tienen las series de Taylor

5.1 Aproximación Lineal

Dada una función $x = x (t)$ que varía de forma no uniforme, la derivada, según vimos, nos proporciona la ecuación de la recta tangente a la curva en un punto.

Spongamos, por sencillez, que queremos estudiar el comportamiento alrededor de $t = 0$ .

Si

$x_0=x(0) \qquad v_0 = \left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0}$

en las proximidades de $(0, x 0)$ podemos hacer la aproximación

$\frac{\Delta x}{\Delta t} \simeq \left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_{0}=v_0$

despejando

$\frac{x(t) - x_0}{t-0}\simeq v_0\quad\Rightarrow\quad x(t)\simeq x_0+v_0t$

Esto es, aproximamos la función no uniforme por una recta que pasa por $(0, x 0)$ y que tiene la misma derivada respecto a $t$ que la función en dicho punto.

Otra forma de llegar al mismo resultado es partir de la ecuación de una recta

$x = c_0 + c_1t\,$

e imponer estas dos condiciones: que pase por $(t 0, x 0)$ y que tenga su misma primera derivada respecto a t que la función que queremos aproximar. Esto nos da

$x_0 = c_0 + c_1\cdot 0\qquad v_0 = \left.\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(c_0+c_1t)\right|_0 = c_1$

y de aquí

$c_1 = v_0\qquad c_0 = x_0$

Sustituyendo en la ecuación de la recta llegamos al resultado que ya conocemos

$x(t)\simeq x_0+v_0t$

Si en vez del instante $t = 0$ consideramos uno $t = t 0$ el resultado es análogo simplemente trasladando el origen

$x(t)\simeq x(t_0)+v(t_0)(t-t_0)$

5.2 Aproximación cuadrática

El concepto de aproximación lineal se puede extender fácilmente a órdenes superiores. La aproximación cuadrática (o aproximación parabólica) consiste en hallar el polinomio de segundo grado (una parábola) que mejor se aproxima a la curva en el punto en cuestión. Si

$x_0=x(0) \qquad v_0 = \left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_{t=0} \qquad a_0 = \left.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\right|_{t=0}$

escribimos la ecuación de una parábola

$x(t) = c_0 + c_1 t + c_2 t^2\,$

e imponemos que la función, su primera derivada y su segunda derivada coincidan en $t = t 0$ . Esto nos da

$c_2 = \frac{a_0}{2}\qquad c_1 = v_0\qquad c_0 = x_0$

Sustituyendo nos queda

$x(t)\simeq x_0+v_0t+\frac{1}{2}a_0t^2$

Alrededor de un valor de t diferente será, análogamente,

$x(t)\simeq x(t_0)+v(t_0)(t-t_0)+\frac{1}{2}a(t_0)(t-t_0)^2$

5.3 Aproximaciones de orden superior

El mismo proceso se puede emplear para aproximaciones de orden superior, que nos darán un polinomio cada vez más próximo a la curva real. El resultado general es

$x\simeq = x_0 + \left.\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right|_{0}t+\frac{1}{2}\left.\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2}\right|_{0}t^2 + \frac{1}{3!}\left.\frac{\mathrm{d}^3x}{\mathrm{d}t^3}\right|_{0}t^3+\cdots + \frac{1}{n!}\left.\frac{\mathrm{d}^nx}{\mathrm{d}t^n}\right|_{0}t^n+\cdots$

Esta es la llamada serie de Taylor de $x (t)$ alrededor de $t = 0$ . La generalización es inmediata al caso de que consideremos el desarrollo alrededor de un punto $t = t 0$ .

6 Ecuaciones diferenciales

Las leyes físicas se expresan habitualmente en forma de ecuaciones diferenciales, que es una ecuación que relaciona a una magnitud con sus derivadas respecto a alguna otra variable (a menudo, el tiempo).

Como ilustración, supongamos el caso de una partícula que cae en un medio fluido, como el aire, de forma que además de su peso experimenta una fuerza de fricción que es proporcional a su velocidad. En ese caso, la segunda ley de Newton se escribe

$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = -mg -\gamma v$

Si deseamos conocer la velocidad de la partícula como función del tiempo, debemos integrar esta ecuación. El problema es que al integrar el segundo miembro, necesitamos conocer la propia velocidad que deseamos calcular. Esto impide la integración directa.

Del mismo modo, el movimiento de una partícula sujeta a un resorte experimenta una fuerza dada por la ley de Hooke

$F = -kx\,$

lo que al sustituir en la segunda ley de de Newton produce la ecuación diferencial

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = - kx$

donde para determinar la posición deberíamos conocer en primer lugar la posición, lo que es imposible.

Existen toda una serie de técnicas matemáticas para resolver ecuaciones diferenciales. Aun así, la resolución de estas ecuaciones es un “arte”, más que una ciencia, ya que no existe regla general. En numerosas ocasiones es preciso recurrir a métodos numéricos, que proporcionan soluciones aproximadas mediante el uso de ordenador.