Sistema de dos bobinas reales
De Laplace
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<center><math>\Phi_m =\int (B(t)\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z) = B(t)S = \pi\rho^2 B(t)</math></center> | <center><math>\Phi_m =\int (B(t)\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z) = B(t)S = \pi\rho^2 B(t)</math></center> | ||
:Derivando, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz | :Derivando, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz | ||
- | <center><math>2\pi\rho E = -\pi \rho^2 \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{E}=\frac{B_0\rho}{2\tau}\mathrm{e}^{-t\tau}\mathbf{u}_\varphi</math></center> | + | <center><math>2\pi\rho E = -\pi \rho^2 \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{E}=\frac{B_0\rho}{2\tau}\mathrm{e}^{-t/\tau}\mathbf{u}_\varphi</math></center> |
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<center><math>\Phi_m =\int (B(t)\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z) = B(t)S = \pi a^2 B(t)</math></center> | <center><math>\Phi_m =\int (B(t)\mathbf{u}_z)\cdot(\mathrm{d}S\mathbf{u}_z) = B(t)S = \pi a^2 B(t)</math></center> | ||
:Derivando, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz | :Derivando, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz | ||
- | <center><math>2\pi\rho E = -\pi a^2 \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{E}=\frac{B_0a^2}{2\tau\rho}\mathrm{e}^{-t\tau}\mathbf{u}_\varphi</math></center> | + | <center><math>2\pi\rho E = -\pi a^2 \frac{\mathrm{d}B}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \mathbf{E}=\frac{B_0a^2}{2\tau\rho}\mathrm{e}^{-t/\tau}\mathbf{u}_\varphi</math></center> |
Queda un campo eléctrico que en el interior de la bobina crece linealmente con la distancia al eje y fuera de ellas disminuye como la inversa de esta distancia. Tanto dentro como fuera decae exponencialmente con el tiempo. | Queda un campo eléctrico que en el interior de la bobina crece linealmente con la distancia al eje y fuera de ellas disminuye como la inversa de esta distancia. Tanto dentro como fuera decae exponencialmente con el tiempo. | ||
[[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]] | [[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]] |
última version al 13:07 2 jul 2011
Contenido |
1 Enunciado
Se arrolla un hilo de cobre de sección circular de diámetro y longitud sobre un cilindro de cartón (no magnético) de radio . El hilo se arrolla densamente, de forma que no queden intersticios entre vuelta y vuelta. Sobre esta capa (el primario) se arrolla otra (el secundario), en el mismo sentido, de hilo de cobre de diámetro y longitud . Los extremos del secundario se dejan en circuito abierto, mientras que los del primario se conectan a una fuente de intensidad que proporciona una corriente constante . En t = 0 se cortocircuita la fuente de intensidad mediante un hilo de resistencia despreciable.
- Calcule las resistencias y los coeficientes de inducción mutua y autoinducción del sistema de dos bobinas.
- Determine la expresión de la corriente que circula por el primario como función del tiempo, una vez que se ha cortocircuitado la fuente. ¿Cuánto tiempo tarda, aproximadamente, en desaparecer la corriente?
- Calcule el voltaje ΔV2(t) que mide un voltímetro situado entre los extremos del secundario.
- Calcule la energía total disipada en el sistema durante el periodo transitorio en que la corriente se está atenuando hasta desaparecer.
- Determine, por aplicación de la ley de Faraday, el campo eléctrico que se induce durante el transitorio, tanto en el interior del cilindro como en puntos exteriores próximos a éste, sabiendo que es de la forma .
2 Resistencias y coeficientes
2.1 Resistencias
Los dos hilos son conductores filiforme, cuya resistencia puede calcularse mediante la fórmula
Para la primera bobina, la longitud y la conductividad valen
mientras que su sección es
lo que nos da una resistencia
El segundo hilo tiene el doble de longitud y la cuarta parte de la sección, por lo que su resistencia es el óctuple de la anterior
2.2 Coeficientes de autoinducción
Al enrollarlos, cada uno de los cables forma una bobina cilíndrica.
El número de vueltas de cada bobina lo obtenemos dividiendo la longitud total por la longitud de cada vuelta
Para el secundario suponemos despreciable el milímetro que se añade en el grosor, lo que nos da el número de vueltas
La altura de cada bobina, por estar arrolladas densamente, es igual al número de vueltas multiplicado por el grosor de cada una, que es el diámetro del cable
El secundario tiene la misma altura, por ser el cable de doble longitud y mitad de diámetro.
Al ser su altura 20 veces su radio, podemos hacer la aproximación de bobinas largas y calcular su coeficiente de autoinducción según la fórmula
Aquí S no es la sección transversal del cable, calculada anteriormente, sino la de la bobina circular
Esto nos da el coeficiente de autoinducción para el primario
Para el secundario el cálculo es idéntico salvo que el número de espiras es el doble
Podemos calcular estos coeficientes omitiendo los cálculos números intermedios
que, sustituyendo, nos da el valor que ya conocemos.
2.3 Coeficiente de inducción mutua
Para el coeficiente de inducción mutua, podemos emplear varios métodos de cálculo:
- A partir del coeficiente de acoplamiento
- Por la disposición de las dos bobinas, todo el flujo de una pasa a través de la otra, por lo que el coeficiente de acoplamiento es la unidad
- A partir del flujo magnético
- El flujo a través del secundario del campo magnético debido al primario es N2 veces el que atraviesa cada espira
- y para el mismo campo, el flujo que atraviesa la propia bobina 1 es N1 veces el que atraviesa cada una de las espiras
- Dividiendo una expresión por la otra
Este coeficiente también puede hallarse explícitamente empleando el valor del campo magnético producido por una de las bobinas, y hallando el flujo a través de la otra.
En forma matricial tenemos
A partir de esta matriz se hallan los flujos que atraviesan cada una de las bobinas como
3 Evolución de la corriente
Inicialmente tenemos una corriente circulando por el primario, mientras que por el secundario, que está en circuito abierto no fluye corriente alguna.
Una vez que se cortocircuita la fuente, tenemos en el primario una malla cerrada, en la cual se cumple
lo que nos da la ecuación para la corriente
o equivalentemente, como se suele escribir el teoría de circuitos
Ahora bien, el secundario se encuentra en circuito abierto en todo momento, por lo que para tod instante
lo que nos deja con la ecuación diferencial
La solución de esta ecuación de coeficientes constantes, que además es separable, es inmediata,
siendo τ el tiempo típico de relajación
Puesto que la corriente decae exponencialmente, este es el tiempo necesario para que la corriente se reduzca en un factor . Podemos considerar que la corriente ha desaparecido en un tiempo 2 o 3 veces τ, esto es, en torno a 1 ms.
4 Voltaje en el secundario
Si ahora calculamos la fuerza electromotriz en el secundario, considerando la malla que forma este con el voltímetro obtenemos
Despejando llegamos al resultado de teoría de circuitos
Sin embargo, como hemos dicho anteriormente, la corriente en el secundario es nula, por lo que el voltaje se reduce a
Sustituyendo la solución para la corriente obtenemos que la tensión también decae exponencialmente a partir de t = 0 (antes es nula)
La amplitud del voltaje vale, numéricamente,
5 Energía total disipada
Para hallar la energ´ñia total disipada, tenemos dos métodos equivalentes
5.1 A partir de la energía almacenada
La energía que se disipa en el transitorio es la que había previamente almacenada en el sistema de dos biobinas. Esta energía es
Sustituyendo los valores
Vemos que la energía almacenada es baja por la pequeñez del coeficiente de autoinducción.
5.2 Empleando la ley de Joule
Aunque es un poco más largo, también puede hallarse la energía disipada a partir de la ley de Joule. La potencia disipada en cada instante es
siendo la amplitud de la potencia
Integrando ahora sobre todo el periodo transitorio
6 Campo eléctrico inducido
El campo inducido se debe al campo magnético variable en el tiempo. Este campo es debido a la corriente que circula por el primario y tiene aproximadamente el valor, expresado en coordenadas cilíndricas centradas en el eje de las bobinas,
Tenemos entonces un campo uniforme, pero no constante, en el interior de las bobinas, que decae exponencialmente como
Este campo magnético induce un campo eléctrico que verifica
Si consideramos una circunferencia horizontal con su centro en el eje Z, la circulación del campo eléctrico vale, en todos los casos
El flujo magnético depende de si consideramos el radio de la circunferencia menor que el de las bobinas o superior a él
- Dentro de las bobinas
- Si ρ < a
- Derivando, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz
- Fuera de las bobinas
- Si ρ > a el flujo magnético solo incluye la parte interior a las bobinas
- Derivando, cambiando el signo e igualando a la fuerza electromotriz
Queda un campo eléctrico que en el interior de la bobina crece linealmente con la distancia al eje y fuera de ellas disminuye como la inversa de esta distancia. Tanto dentro como fuera decae exponencialmente con el tiempo.