4.4. Sólido en rotación instantánea
De Laplace
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(→Velocidad angular instantánea) |
(→Velocidad del punto P) |
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
| - | Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto <math>A(1,0,-1)</math> y lleva la dirección del vector <math>\vec{ | + | Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto <math>A(1,0,-1)</math> y lleva la dirección del vector <math>\vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}</math>, de tal forma que la velocidad del punto <math>B(0,2,1)</math> es |
<center><math>\vec{v}^B=-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+c\vec{k}</math></center> | <center><math>\vec{v}^B=-4\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+c\vec{k}</math></center> | ||
| Línea 6: | Línea 6: | ||
# Halle el valor de la constante <math>c</math>. | # Halle el valor de la constante <math>c</math>. | ||
# Calcule la velocidad angular instantánea. | # Calcule la velocidad angular instantánea. | ||
| - | # Calcule la velocidad del punto <math> | + | # Calcule la velocidad del punto <math>P(1,1,0)</math>. |
Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI. | Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI. | ||
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y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica | y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica | ||
| - | <center><math>\vec{v}^B = \omega\times\overrightarrow{AB}</math></center> | + | <center><math>\vec{v}^B = \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}</math></center> |
Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante | Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante | ||
| - | <center><math>\vec{\omega}\parallel \vec{ | + | <center><math>\vec{\omega}\parallel \vec{e}=2\vec{\imath}-2\vec{\jmath}-\vec{k}</math>{{tose}}<math>0 = \vec{v}^B\cdot\vec{e}=-8+12-c</math>{{tose}}<math>c=4\,</math></center> |
y resulta la velocidad para el punto B | y resulta la velocidad para el punto B | ||
| Línea 30: | Línea 30: | ||
Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección | Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección | ||
| - | <center><math>\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{ | + | <center><math>\vec{\omega} = \omega\frac{\vec{e}}{|\vec{e}\,|}=\omega\left(\frac{2}{3}\vec{\imath}-\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}\right)</math></center> |
Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B | Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B | ||
| Línea 46: | Línea 46: | ||
Igualando componente a componente | Igualando componente a componente | ||
| - | <center><math>-4 = -\frac{2\omega}{3}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>-6 = -\omega</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>4 = \frac{2\omega}{3}</math></center> | + | <center><math>-4 = -\frac{2\omega}{3}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>-6 = -\omega\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>4 = \frac{2\omega}{3}</math></center> |
Las tres ecuaciones conducen a la misma solución | Las tres ecuaciones conducen a la misma solución | ||
| Línea 52: | Línea 52: | ||
<center><math>\omega = 6\,</math>{{tose}}<math>\vec{\omega}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}-2\vec{k}</math></center> | <center><math>\omega = 6\,</math>{{tose}}<math>\vec{\omega}=4\vec{\imath}-4\vec{\jmath}-2\vec{k}</math></center> | ||
| - | ==Velocidad del punto | + | ==Velocidad del punto P== |
| - | Una | + | Una vez que tenemos la velocidad de un punto conocido y la velocidad angular del sólido, podemos hallar la velocidad de cualquier otro. Así, para el punto P |
| + | |||
| + | <center><math>\overrightarrow{AP}=\vec{\jmath}+\vec{k}</math> {{tose}}<math>\vec{v}^P = \overbrace{\vec{v}^A}^{=\vec{0}} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AP} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 4 & -4 & -2\\ 0 & 1 & 1\end{matrix}\right|=-2\vec{\imath}-4\vec{\jmath}+4\vec{k}</math></center> | ||
| + | |||
[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)]] | [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido (G.I.T.I.)]] | ||
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última version al 09:37 24 sep 2015
Contenido |
1 Enunciado
Un sólido rígido se encuentra en rotación instantánea alrededor de un eje que pasa por el punto A(1,0, − 1) y lleva la dirección del vector 
, de tal forma que la velocidad del punto B(0,2,1) es
- Halle el valor de la constante c.
- Calcule la velocidad angular instantánea.
- Calcule la velocidad del punto P(1,1,0).
Todas las cantidades están expresadas en las unidades del SI.
2 Valor de la constante
Por ser A un punto del eje instantáneo de rotación, EIR
y la velocidad de cualquier otro punto, en particular B, verifica
Esto implica que la velocidad de B es perpendicular a la velocidad angular, lo que nos proporciona una ecuación para la constante
y resulta la velocidad para el punto B
3 Velocidad angular instantánea
Para hallar la velocidad angular, primero la escribimos como el producto de una componente escalar por el unitario en su dirección
Aplicando ahora la expresión para la velocidad del punto B
siendo
lo que nos da
Igualando componente a componente
Las tres ecuaciones conducen a la misma solución
4 Velocidad del punto P
Una vez que tenemos la velocidad de un punto conocido y la velocidad angular del sólido, podemos hallar la velocidad de cualquier otro. Así, para el punto P
