1.12. Ejemplo de construcción de una base

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 08:34 7 oct 2014

Contenido

1 Enunciado
2 Primer vector
3 Segundo vector
4 Tercer vector
5 Forma alternativa

1 Enunciado

Dados los vectores

$\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}$ $\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}$

Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:

El primer vector tiene la dirección y sentido de $\vec{v}$
El segundo vector está contenido en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ , y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de $\vec{v}$ ) que el vector $\vec{a}$ .
El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.

2 Primer vector

Obtenemos el primer vector normalizando el vector $\vec{v}$ , esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo

$\vec{u}_1=\frac{\vec{v}}{v}$

Hallamos el módulo de $\vec{v}$

$v = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3$

por lo que

$\vec{u}_1 = \frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}$

3 Segundo vector

El segundo vector debe estar en el plano definido por $\vec{v}$ y $\vec{a}$ , por lo que debe ser una combinación lineal de ambos

$\vec{u}_2 = \lambda\vec{v}+\mu\vec{a}$

además debe ser ortogonal a $\vec{u}_1$ (y por tanto, a $\vec{v}$ )

$\vec{u}_2\cdot\vec{u}_1 = 0 = \vec{u}_2\cdot\vec{v}$

y debe ser unitario

$\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=1$

El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de $\vec{a}$ perpendicular a $\vec{v}$ y posteriormente normalizar el resultado.

La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial

$\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{v^2}$

Calculamos el primer producto vectorial

$\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2\\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right|=-6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}$

Hallamos el segundo

$(\vec{v}\times\vec{a})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -6 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}\right|=18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k}$

Dividiendo por el módulo de $\vec{v}$ al cuadrado obtenemos la componente normal

$\vec{a}_n = \frac{(18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}$

Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela

$\vec{a}_n = \vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{u}_1)\vec{u}_1$

Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base

$\vec{u}_2 = \frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}$

4 Tercer vector

El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros

$\vec{u}_3=\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3\end{matrix}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2\end{matrix}\right| = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}$

Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores

$\begin{array}{lcr} \vec{u}_1 & = & \displaystyle\frac{1}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\ \vec{u}_2 & = & \displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\ \vec{u}_3 & = & -\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{k} \end{array}$

5 Forma alternativa

Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo.

El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado $\vec{v}$ y $\vec{a}$ . Por ello, podemos calcular el tercer vector como

$\vec{u}_3 = \frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}$

El producto vectorial vale

$\vec{v}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right| = -6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}$

con módulo

$\left|\vec{v}\times\vec{a}\right| = \sqrt{6^2+6^2+3^2} = 9$

resultando el unitario

$\vec{u}_3 = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}$

El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden

$\vec{u}_2 = -\vec{u}_1\times\vec{u}_3 = -\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 2/3 & -1/3\end{matrix}\right|=-\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1\end{matrix}\right| = \frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}$

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 <center><math>\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}</math></center>
-Construya una base ortonormal dextrógira, tal que
+Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:
-* El primer vector vaya en la dirección de <math>\vec{v}</math>
+* El primer vector tiene la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math>
-* El segundo esté contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math> y apunte hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
+* El segundo vector está contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>.
-* El tercero sea perpendicular a los dos anteriores, y orientado según la regla de la mano derecha.
+* El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.
 ==Primer vector==
@@ Línea 36: / Línea 36: @@
 <center><math>\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=1</math></center>
-El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de <math>\vec{a}</math> normal a <math>\vec{v}</math> y posteriormente normalizar el resultado.
+El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de <math>\vec{a}</math> perpendicular a <math>\vec{v}</math> y posteriormente normalizar el resultado.
 La proyección normal la calculamos con ayuda del [[Vectores_libres_(G.I.T.I.)#Doble_producto_vectorial|doble producto vectorial]]
-<center><math>\vec{a}_n = -\frac{(\vec{a}\times\vec{v})\times\vec{v}}{v^2}</math></center>
+<center><math>\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{v^2}</math></center>
 Calculamos el primer producto vectorial
-<center><math>\vec{a}\times\vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}   \\ 6 & 9 & 6\\ 1 & 2 & 2\end{matrix}\right|=6\vec{\imath}-6\vec{\jmath}+3\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k}   \\ 1 & 2 & 2\\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right|=-6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}</math></center>
 Hallamos el segundo
-<center><math>(\vec{a}\times\vec{v})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 6 & -6 & 3 \\ 1 & 2 & 2  \end{matrix}\right|=-18\vec{\imath}-9\vec{\jmath}+18\vec{k}</math></center>
+<center><math>(\vec{v}\times\vec{a})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -6 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & 2  \end{matrix}\right|=18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k}</math></center>
-Dividiendo por el módulo de <math>\vec{v}</math> al cuadrado y cambiando el signo obtenemos la componente normal
+Dividiendo por el módulo de <math>\vec{v}</math> al cuadrado  obtenemos la componente normal
-<center><math>\vec{a}_n = -\frac{(-18\vec{\imath}-9\vec{\jmath}+18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{a}_n = \frac{(18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}</math></center>
+Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela
+<center><math>\vec{a}_n = \vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{u}_1)\vec{u}_1</math></center>
 Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base
@@ Línea 95: / Línea 99: @@
 <center><math>\vec{u}_2 = -\vec{u}_1\times\vec{u}_3 = -\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 2/3 & -1/3\end{matrix}\right|=-\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1\end{matrix}\right| = \frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center>
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1.12. Ejemplo de construcción de una base

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