1.12. Ejemplo de construcción de una base
De Laplace
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- | Construya una base ortonormal dextrógira, | + | Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones: |
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+ | * El primer vector tiene la dirección y sentido de <math>\vec{v}</math> | ||
+ | * El segundo vector está contenido en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de <math>\vec{v}</math>) que el vector <math>\vec{a}</math>. | ||
+ | * El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha. | ||
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==Primer vector== | ==Primer vector== | ||
Obtenemos el primer vector normalizando el vector <math>\vec{v}</math>, esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo | Obtenemos el primer vector normalizando el vector <math>\vec{v}</math>, esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo | ||
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Hallamos el módulo de <math>\vec{v}</math> | Hallamos el módulo de <math>\vec{v}</math> | ||
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==Segundo vector== | ==Segundo vector== | ||
+ | El segundo vector debe estar en el plano definido por <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>, por lo que debe ser una combinación lineal de ambos | ||
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+ | además debe ser ortogonal a <math>\vec{u}_1</math> (y por tanto, a <math>\vec{v}</math>) | ||
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+ | La proyección normal la calculamos con ayuda del [[Vectores_libres_(G.I.T.I.)#Doble_producto_vectorial|doble producto vectorial]] | ||
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+ | Dividiendo por el módulo de <math>\vec{v}</math> al cuadrado obtenemos la componente normal | ||
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+ | Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base | ||
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- | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)]] | + | El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros |
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+ | <center><math>\vec{u}_3=\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3\end{matrix}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2\end{matrix}\right| = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}</math></center> | ||
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+ | Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores | ||
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+ | \vec{u}_1 & = & \displaystyle\frac{1}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\ | ||
+ | \vec{u}_2 & = & \displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\ | ||
+ | \vec{u}_3 & = & -\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{k} | ||
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+ | ==Forma alternativa== | ||
+ | Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo. | ||
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+ | El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado <math>\vec{v}</math> y <math>\vec{a}</math>. Por ello, podemos calcular el tercer vector como | ||
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+ | <center><math>\vec{u}_3 = \frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}</math></center> | ||
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+ | El producto vectorial vale | ||
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+ | <center><math>\vec{v}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right| = -6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}</math></center> | ||
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+ | con módulo | ||
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+ | resultando el unitario | ||
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+ | <center><math>\vec{u}_3 = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}</math></center> | ||
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+ | El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden | ||
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+ | <center><math>\vec{u}_2 = -\vec{u}_1\times\vec{u}_3 = -\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 2/3 & -1/3\end{matrix}\right|=-\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1\end{matrix}\right| = \frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}</math></center> | ||
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+ | [[Categoría:Problemas de vectores libres (G.I.T.I.)|8]] |
última version al 08:34 7 oct 2014
Contenido |
1 Enunciado
Dados los vectores
![\vec{v}=\vec{\imath}+2\vec{\jmath}+2\vec{k}](/wiki/images/math/b/0/2/b02324aa906e20a1175cc41a86f3b782.png)
![\vec{a}=6\vec{\imath}+9\vec{\jmath}+6\vec{k}](/wiki/images/math/1/a/2/1a21b4b01cedf6c50a3c97b05ac364b5.png)
Construya una base ortonormal dextrógira cuyos vectores cumplan las siguientes condiciones:
- El primer vector tiene la dirección y sentido de
- El segundo vector está contenido en el plano definido por
y
, y apunta hacia el mismo semiplano (respecto de
) que el vector
.
- El tercer vector es perpendicular a los dos anteriores, y está orientado según la regla de la mano derecha.
2 Primer vector
Obtenemos el primer vector normalizando el vector , esto es, hallando el unitario en su dirección y sentido, lo que se consigue dividiendo este vector por su módulo
![\vec{u}_1=\frac{\vec{v}}{v}](/wiki/images/math/b/d/b/bdb538027f31d09a8397e31000f8fdc2.png)
Hallamos el módulo de
![v = \sqrt{\vec{v}\cdot\vec{v}}=\sqrt{1^2+2^2+2^2}=3](/wiki/images/math/3/4/c/34c46352abad3860bbf4e55aa7f7353d.png)
por lo que
![\vec{u}_1 = \frac{1}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\frac{2}{3}\vec{k}](/wiki/images/math/3/1/a/31a22b4649eb63b092013373ae6c1ebf.png)
3 Segundo vector
El segundo vector debe estar en el plano definido por y
, por lo que debe ser una combinación lineal de ambos
![\vec{u}_2 = \lambda\vec{v}+\mu\vec{a}](/wiki/images/math/c/1/4/c14874ebf421df6d28dd90f7393cfc06.png)
además debe ser ortogonal a (y por tanto, a
)
![\vec{u}_2\cdot\vec{u}_1 = 0 = \vec{u}_2\cdot\vec{v}](/wiki/images/math/8/a/f/8afb91d719dfbcf3966414ea701f450b.png)
y debe ser unitario
![\vec{u}_2\cdot\vec{u}_2=1](/wiki/images/math/8/f/c/8fc689be4273ea94f7318b385e4b5eb6.png)
El procedimiento sistemático consiste en hallar la componente de perpendicular a
y posteriormente normalizar el resultado.
La proyección normal la calculamos con ayuda del doble producto vectorial
![\vec{a}_n = \frac{(\vec{v}\times\vec{a})\times\vec{v}}{v^2}](/wiki/images/math/4/2/b/42b26c09b216729040eefc7e347a7caa.png)
Calculamos el primer producto vectorial
![\vec{v}\times\vec{a}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2\\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right|=-6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}](/wiki/images/math/d/e/a/dea9e581852cd7b3abb463bea094578a.png)
Hallamos el segundo
![(\vec{v}\times\vec{a})\times \vec{v}=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ -6 & 6 & -3 \\ 1 & 2 & 2 \end{matrix}\right|=18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k}](/wiki/images/math/5/8/f/58f18c24bfe22f3f8b601760798fd520.png)
Dividiendo por el módulo de al cuadrado obtenemos la componente normal
![\vec{a}_n = \frac{(18\vec{\imath}+9\vec{\jmath}-18\vec{k})}{9}=2\vec{\imath}+\vec{\jmath}-2\vec{k}](/wiki/images/math/9/6/1/9616355dfd8a4318394a1a04fe73c168.png)
Alternativamente, podemos hallar esta proyección ortogonal restando al vector completo la parte paralela
![\vec{a}_n = \vec{a}-(\vec{a}\cdot\vec{u}_1)\vec{u}_1](/wiki/images/math/7/c/e/7cef5f3df109e826715ea8e6b1471cb5.png)
Normalizando esta cantidad obtenemos el segundo vector de la base
![\vec{u}_2 = \frac{\vec{a}_n}{a_n}=\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}](/wiki/images/math/1/b/a/1ba90cc43ff61b591127bf32d1b267f0.png)
4 Tercer vector
El tercer vector lo obtenemos como el producto vectorial de los dos primeros
![\vec{u}_3=\vec{u}_1\times\vec{u}_2=\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ 2/3 & 1/3 & -2/3\end{matrix}\right|=\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & -2\end{matrix}\right| = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}](/wiki/images/math/a/0/d/a0de2754ab2090ef18627ec31fbc47ba.png)
Por tanto, la base ortonormal dextrógira está formada por los vectores
![\begin{array}{lcr}
\vec{u}_1 & = & \displaystyle\frac{1}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\
\vec{u}_2 & = & \displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{2}{3}\vec{k}\\&& \\
\vec{u}_3 & = & -\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{1}{3}\vec{k}
\end{array}](/wiki/images/math/5/f/1/5f17624ad3f257b21d0f0f66c57a195d.png)
5 Forma alternativa
Podemos acortar un poco el proceso invirtiendo el orden de cálculo.
El tercer vector de la base es ortogonal a los dos primeros. También es ortogonal a cualquier combinación lineal de los dos primeros, en particular a los dos vectores del enunciado y
. Por ello, podemos calcular el tercer vector como
![\vec{u}_3 = \frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}](/wiki/images/math/e/d/f/edf11aacc0ac05bb3122b7bb4e5e574b.png)
El producto vectorial vale
![\vec{v}\times\vec{a} = \left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ 6 & 9 & 6\end{matrix}\right| = -6\vec{\imath}+6\vec{\jmath}-3\vec{k}](/wiki/images/math/d/e/a/dea9e581852cd7b3abb463bea094578a.png)
con módulo
![\left|\vec{v}\times\vec{a}\right| = \sqrt{6^2+6^2+3^2} = 9](/wiki/images/math/3/8/0/380dbef34ef4ed6b95033e171280376e.png)
resultando el unitario
![\vec{u}_3 = -\frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{2}{3}\vec{\jmath}-\frac{1}{3}\vec{k}](/wiki/images/math/e/b/f/ebf333625bc4cf0e2b2269915eaf5fac.png)
El segundo vector lo obtenemos del producto vectorial del primero y el tercero, teniendo en cuenta el cambio de signo debido a la inversión del orden
![\vec{u}_2 = -\vec{u}_1\times\vec{u}_3 = -\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1/3 & 2/3 & 2/3 \\ -2/3 & 2/3 & -1/3\end{matrix}\right|=-\frac{1}{9}\left|\begin{matrix}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 2 & 2 \\ -2 & 2 & -1\end{matrix}\right| = \frac{2}{3}\vec{\imath}+\frac{1}{3}\vec{\jmath}-\frac{2}{3}\vec{k}](/wiki/images/math/a/f/6/af6de7fba346bca43d02afba66031c14.png)