Espira cuadrada rotatoria en un campo magnético
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
(→Cálculo de la intensidad) |
m (Espira cuadrada rotante en un campo B trasladada a Espira cuadrada rotatoria en un campo magnético) |
||
(7 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
Línea 1: | Línea 1: | ||
+ | __TOC__ | ||
==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
[[Image:cuadradorotante.gif|right]]Una espira cuadrada de lado <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, de hilo de cobre de sección <math>A=0.5\,\mathrm{mm}^2</math> gira con frecuencia <math>f=400\,\mathrm{Hz}</math> en el interior de un campo magnético uniforme de módulo <math>B_0=200\,\mathrm{mT}</math>. El eje de giro es perpendicular al campo magnético. | [[Image:cuadradorotante.gif|right]]Una espira cuadrada de lado <math>a=2\,\mathrm{cm}</math>, de hilo de cobre de sección <math>A=0.5\,\mathrm{mm}^2</math> gira con frecuencia <math>f=400\,\mathrm{Hz}</math> en el interior de un campo magnético uniforme de módulo <math>B_0=200\,\mathrm{mT}</math>. El eje de giro es perpendicular al campo magnético. | ||
Línea 5: | Línea 6: | ||
# Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro. | # Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro. | ||
- | + | ==Cálculo de la intensidad== | |
- | + | ||
[[Image:espirarotante2.gif|left]] Éste es un ejemplo elemental de generador de corriente alterna. La corriente se obtiene por aplicación directa de la ley de Faraday | [[Image:espirarotante2.gif|left]] Éste es un ejemplo elemental de generador de corriente alterna. La corriente se obtiene por aplicación directa de la ley de Faraday | ||
Línea 17: | Línea 17: | ||
por ser <math>\mathbf{B}_0</math> uniforme. El producto escalar es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, el cual varía uniformemente con el tiempo | por ser <math>\mathbf{B}_0</math> uniforme. El producto escalar es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, el cual varía uniformemente con el tiempo | ||
- | <center><math>\Phi_m=B_0a^2\cos(\omega t)</math></center> | + | <center><math>\Phi_m=B_0a^2\cos(\omega t)\,</math></center> |
Derivando obtenemos la fuerza electromotriz. | Derivando obtenemos la fuerza electromotriz. | ||
- | <center><math>\mathcal{E}=B_0a^2\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | + | <center><math>\mathcal{E}=B_0a^2\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)=\mathcal{E}_0\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> |
- | Vemos que este sistema se comporta como un generador de corriente alterna. | + | Vemos que este sistema se comporta como un generador de corriente alterna. Sustituyendo los valores numéricos |
- | <math> | + | <center><math>\omega = 800\pi\,\mathrm{s}^{-1} = 2513\,\mathrm{s}^{-1}\,</math></center> |
- | ===Cálculo de la potencia=== | + | |
+ | <center><math>\mathcal{E}_0=0.20\,\mathrm{V}</math></center> | ||
+ | |||
+ | La corriente que circula por la espira es igual a | ||
+ | |||
+ | <center><math>I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{B_0a^2\omega}{R}\mathrm{sen}(\omega t)</math></center> | ||
+ | |||
+ | donde la resistencia vale | ||
+ | |||
+ | <center><math>R=\frac{4a}{\sigma A} = 2.7\,\mathrm{m}\Omega</math></center> | ||
+ | |||
+ | y la amplitud de la intensidad | ||
+ | |||
+ | <center><math>I_0=\frac{\mathcal{E}_0}{R}=\frac{B_0aA\sigma\omega}{4} = 74\,\mathrm{A}</math></center> | ||
+ | |||
+ | ==Cálculo de la potencia== | ||
+ | Podemos calcular la potencia disipada en el conductor por aplicación de la ley de Joule | ||
+ | |||
+ | <center><math>P=I^2R = \mathcal{E}I = \mathcal{E}_0I_0\,\mathrm{sen}^2(\omega t)</math></center> | ||
+ | |||
+ | Esta potencia es oscilante, pero siempre positiva. La energía total disipada en un periodo es positiva | ||
+ | |||
+ | <center><math>W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = \mathcal{E}_0I_0\int_0^T \mathrm{sen}^2(\omega t)\mathrm{d}t = | ||
+ | \frac{\mathcal{E}_0I_0T}{2}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Sustituyendo los valores numéricos resulta, para la potencia máxima | ||
+ | |||
+ | <center><math>P_0=\mathcal{E}_0I_0=14.9\,\mathrm{W}</math></center> | ||
+ | |||
+ | y para la energía disipada en un periodo | ||
+ | |||
+ | <center><math>W_d= 19\,\mathrm{mJ}</math></center> | ||
[[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]] | [[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]] |
última version al 11:54 29 mar 2010
Contenido |
1 Enunciado
Una espira cuadrada de lado![a=2\,\mathrm{cm}](/wiki/images/math/4/6/d/46da17c69a015df39d4623c8122f4765.png)
![A=0.5\,\mathrm{mm}^2](/wiki/images/math/1/3/f/13f7da7b908f47e1e85d5d46a6c74c94.png)
![f=400\,\mathrm{Hz}](/wiki/images/math/c/b/e/cbe6881773be1aad55594d9edb6d18cf.png)
![B_0=200\,\mathrm{mT}](/wiki/images/math/7/d/b/7db9dbf94dda2b2ffd0369fe27d3d1b6.png)
- Determine la corriente que se induce en la espira.
- Calcule la potencia instantánea disipada en la espira y la energía total disipada en un periodo de giro.
2 Cálculo de la intensidad
Éste es un ejemplo elemental de generador de corriente alterna. La corriente se obtiene por aplicación directa de la ley de Faraday![\mathcal{E}=-\frac{\mathrm{d}\Phi_m}{\mathrm{d}t}](/wiki/images/math/b/1/3/b13e71bf7d7dc5f96d4a337c5e3806cd.png)
El flujo magnético es igual a
![\Phi_m=\int_S\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathbf{B}_0\cdot\mathbf{n}S](/wiki/images/math/8/5/1/851920410295c4e2f3a781c7f906850c.png)
por ser uniforme. El producto escalar es igual al producto de los módulos por el coseno del ángulo que forman, el cual varía uniformemente con el tiempo
![\Phi_m=B_0a^2\cos(\omega t)\,](/wiki/images/math/3/4/6/3464f0e655cc6cd691b614ddfea3c8eb.png)
Derivando obtenemos la fuerza electromotriz.
![\mathcal{E}=B_0a^2\omega\,\mathrm{sen}(\omega t)=\mathcal{E}_0\mathrm{sen}(\omega t)](/wiki/images/math/0/2/0/020792cf4bcb3b17ba06d6ed143217ca.png)
Vemos que este sistema se comporta como un generador de corriente alterna. Sustituyendo los valores numéricos
![\omega = 800\pi\,\mathrm{s}^{-1} = 2513\,\mathrm{s}^{-1}\,](/wiki/images/math/5/3/8/53865bcdc60ed15ec693df734e205f24.png)
![\mathcal{E}_0=0.20\,\mathrm{V}](/wiki/images/math/f/d/8/fd8b3d7cf759fb54291ba97f1407fb3c.png)
La corriente que circula por la espira es igual a
![I=\frac{\mathcal{E}}{R}=\frac{B_0a^2\omega}{R}\mathrm{sen}(\omega t)](/wiki/images/math/d/e/f/def364afc99b3e69d74125c19c6623de.png)
donde la resistencia vale
![R=\frac{4a}{\sigma A} = 2.7\,\mathrm{m}\Omega](/wiki/images/math/4/7/0/47088f69adb9e5a854746114298046ac.png)
y la amplitud de la intensidad
![I_0=\frac{\mathcal{E}_0}{R}=\frac{B_0aA\sigma\omega}{4} = 74\,\mathrm{A}](/wiki/images/math/8/0/8/80861029a61526ac9f7cb1e6546acd18.png)
3 Cálculo de la potencia
Podemos calcular la potencia disipada en el conductor por aplicación de la ley de Joule
![P=I^2R = \mathcal{E}I = \mathcal{E}_0I_0\,\mathrm{sen}^2(\omega t)](/wiki/images/math/3/4/2/3428ee8aa30d3fbc344497708155538b.png)
Esta potencia es oscilante, pero siempre positiva. La energía total disipada en un periodo es positiva
![W_d = \int_0^T P\,\mathrm{d}t = \mathcal{E}_0I_0\int_0^T \mathrm{sen}^2(\omega t)\mathrm{d}t =
\frac{\mathcal{E}_0I_0T}{2}](/wiki/images/math/f/4/a/f4afc2b03a568b5674de8addab7f79f5.png)
Sustituyendo los valores numéricos resulta, para la potencia máxima
![P_0=\mathcal{E}_0I_0=14.9\,\mathrm{W}](/wiki/images/math/8/5/0/850d4ca03565e4d38b11411cac627105.png)
y para la energía disipada en un periodo
![W_d= 19\,\mathrm{mJ}](/wiki/images/math/b/4/7/b47df4b1d583627436dc94021a961784.png)