Coeficientes de capacidad
De Laplace
(→Cargas en los conductores) |
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==Coeficientes de capacidad e inducción== | ==Coeficientes de capacidad e inducción== | ||
Revisión de 20:37 16 ene 2010
Contenido |
1 Problema del potencial
Cuando se tiene un sistema de conductores Sk a diferentes potenciales Vk, y quiere determinarse la distribución de potencial eléctrico y de campo eléctrico entre ellos, debe resolverse el problema del potencial:
con las condiciones de contorno
Suponemos que la única carga se encuentra sobre los conductores, y no en el espacio entre ellos; por ello, la ecuación diferencial es la de Laplace y no la de Poisson. La condición de contorno en el infinito puede ser sustituida por una en una superficie exterior que rodee al sistema (porque tengamos, por ejemplo, un sistema de conductores dentro de una jaula de Faraday).
La solución de este problema permite hallar el campo eléctrico entre los conductores, la carga en cada conductor, y la energía almacenada, entre otras cantidades. Aunque puede demostrarse que existe solución y es única, ello no quiere decir que sea sencilla de calcular. En muy pocos casos existe solución analítica y a menudo es preciso recurrir a una solución numérica.
2 Solución del problema del potencial
El problema del potencial tiene una complicación adicional aparte de su complejidad matemática: depende de los potenciales de todos los conductores. Esto quiere decir que si se modifica el potencial de uno solo de ellos, aunque el resto permanezca a la misma tensión que estaba, ya la solución completa es distinta, y todos los valores previos de campos, cargas o energía, se ven modificados.
Interesa entonces saber si existe un principio de superposición que permita separar el efecto de un conductor del del resto.
Quede claro que la solución del problema completo no es la suma de las soluciones que habría si estuviera cada conductor y no estuviera el resto. La presencia de nuevos conductores en un sistema, perturba a los ya existentes, redistribuyendo sus cargas, de forma que el campo que produce cada uno ya no es el mismo que producían antes de esta introducción.
No obstante lo anterior, sí podemos escribir la solución del problema del potencial (en ausencia de carga de volumen) como una combinación lineal de soluciones
donde los Vk son las tensiones de los diferentes conductores y las 
son funciones base definidas por el problema del potencial
Expresado en palabras, la función representa el potencial que habría si el conductor k estuviera a potencial unidad y el resto de los conductores estuviera a tierra (pero presentes).
Puede demostrarse que esta expresión es solución sustituyendo en el problema del potencial original y aplicando el teorema de unicidad.
La ventaja que trae el expresar la solución como una combinación lineal de funciones base es que estas funciones base son independientes de los potenciales concretos a los que se encuentran los diferentes conductores. Solo dependen de la geometría del sistema. Por ello, si se modifica la tensión de uno solo de los conductores, no es preciso recalcular la solución completa; basta con modificar el coeficiente correspondiente en la combinación lineal.
3 Cargas en los conductores
A menudo, lo que interesa no es determinar la distribución de potencial en todo el espacio, sino simplemente las cargas en los diferentes conductores. Esto se suele hacer hacer en el proceso de conversión de un sistema complejo en una caja negra, en la cual se da una serie de datos (los potenciales) y se obtienen los resultados (las cargas) sin necesidad de conocer el funcionamiento interno.
La carga en cada conductor puede hallarse mediante la ley de Gauss
siendo Si una superficie cerrada que envuelve al conductor i. Aplicando ahora la combinación lineal de funciones base, queda, para el campo eléctrico
y para la carga en el conductor i
o, de forma más concisa
donde
