Superficies esféricas concéntricas cargadas
De Laplace
(Diferencias entre revisiones)
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La carga encerrada depende del tamaño de la superficie de integración. Tenemos tres casos | La carga encerrada depende del tamaño de la superficie de integración. Tenemos tres casos | ||
| - | ;Región interior (<math>r<a</math>) | + | ;Región interior (<math>r<a</math>):En esta zona, una superficie esférica no encierra carga alguna, por tanto |
| - | En esta zona, una superficie esférica no encierra carga alguna, por tanto | + | |
<center><math>Q_\mathrm{int}(r)=0</math>{{tose}} <math>\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad (r<a)</math></center> | <center><math>Q_\mathrm{int}(r)=0</math>{{tose}} <math>\mathbf{E}=\mathbf{0}\quad (r<a)</math></center> | ||
| - | ;Región intermedia (<math>a < r < 2a</math>) | + | ;Región intermedia (<math>a < r < 2a</math>):En este caso, la carga encerrada es la de la esfera interior. Por ser la distribución de carga uniforme, la carga de esta esfera es |
| - | En este caso, la carga encerrada es la de la esfera interior. Por ser la distribución de carga uniforme, la carga de esta esfera es | + | |
<center><math>Q_1 = 4\pi a^2 \sigma_0</math></center> | <center><math>Q_1 = 4\pi a^2 \sigma_0</math></center> | ||
| Línea 37: | Línea 35: | ||
<center><math>Q_\mathrm{int}(r)=Q_1 = 4\pi a^2\sigma_0</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=\frac{\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r</math></center> | <center><math>Q_\mathrm{int}(r)=Q_1 = 4\pi a^2\sigma_0</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=\frac{\sigma_0a^2}{\varepsilon_0 r^2}\mathbf{u}_r</math></center> | ||
| - | ;Región exterior (<math>r > 2a</math>) | + | ;Región exterior (<math>r > 2a</math>):En esta región, la carga encerrada es la de la de las dos esferas conjuntamente. La carga de la esfera exterior es, por ser la distribución de nuevo uniforme, |
| - | En esta región, la carga encerrada es la de la de las dos esferas conjuntamente. La carga de la esfera exterior es, por ser la distribución de nuevo uniforme, | + | |
<center><math>Q_2 = 4\pi (2a)^2(-\sigma_0)=-16\pi a^2\sigma_0</math></center> | <center><math>Q_2 = 4\pi (2a)^2(-\sigma_0)=-16\pi a^2\sigma_0</math></center> | ||
Revisión de 14:56 7 ene 2010
Contenido |
1 Enunciado
- Obtenga las expresiones del campo eléctrico en las regiones interior, intermedia y exterior a las dos esferas. Determine cómo son las densidades superficiales de carga eléctrica en las caras interior y exterior de cada una de las superficies conductoras.
- Calcule el valor del potencial eléctrico en dichas superficies, así como la energía electrostática almacenada por el sistema.
- Suponga que se conectan las superficies por un fino hilo conductor. En la nueva situación de equilibrio, ¿cuánto valen el campo eléctrico y el potencial en todo el espacio?
- Calcule la variación en la energía electrostática almacenada, como consecuencia de la conexión anterior. ¿Cómo se explica este cambio en la energía?
2 Campo eléctrico y cargas
2.1 Campo eléctrico
El campo eléctrico en todo el espacio lo podemos hallar por simple aplicación de la ley de Gauss. Dada la simetría de revolución del sistema, podemos suponer que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia r al centro del sistema y el campo eléctrico es, por tanto, central
En este caso, el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica concéntrica con las dos esferas de carga es
De acuerdo con la ley de Gauss, este flujo es igual a la carga encerrada dividida por la permitividad del vacío
La carga encerrada depende del tamaño de la superficie de integración. Tenemos tres casos
- Región interior (r < a)
- En esta zona, una superficie esférica no encierra carga alguna, por tanto
- Región intermedia (a < r < 2a)
- En este caso, la carga encerrada es la de la esfera interior. Por ser la distribución de carga uniforme, la carga de esta esfera es
- y el campo eléctrico resultante
- Región exterior (r > 2a)
- En esta región, la carga encerrada es la de la de las dos esferas conjuntamente. La carga de la esfera exterior es, por ser la distribución de nuevo uniforme,
- y el campo eléctrico resultante
Vemos que el campo exterior no es nulo, por ser la carga neta distinta de cero, ya que la carga negativa de la esfera exterior es más grande que la positiva de la interior.
