Dos partículas unidas por una barra

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 19:52 13 dic 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Estado inicial
3 Movimiento del centro de masas
4 Movimiento de cada partícula
5 Energía cinética del sistema

1 Enunciado

Supongamos dos masas iguales unidas por una barra rígida, sin masa. Las masas reposan sobre un plano, sobre el que puden moverse sin rozamiento. A una de las masas se le comunica una velocidad inicial $v 0$ perpendicular a la línea de la barra. ¿Cómo es el movimiento siguiente de la barra?

2 Estado inicial

El movimiento de ambas partículas va a ser en todo momento sobre el plano. Si tomamos un sistema de ejes cartesianos tal que el origen de coordenadas se encuentra en el centro de la posición inicial de la barra, y el eje X alineado con ella inicialmente, las posiciones de partida de ambas partículas son

$\mathbf{r}_{10}=-\frac{b}{2}\mathbf{i}$ $\mathbf{r}_{20}=\frac{b}{2}\mathbf{i}$

mientras que las velocidades iniciales valen

$\mathbf{v}_{10}=\mathbf{0}$ $\mathbf{v}_{20}=v_0\mathbf{j}$

A partir de aquí obtenemos la posición y la velocidad inicial del centro de masas

$\mathbf{r}_{C0} = \frac{m\mathbf{r}_{10}+m\mathbf{r}_{20}}{2m} = \mathbf{0}$ $\mathbf{v}_{C0} = \frac{m\mathbf{v}_{10}+m\mathbf{v}_{20}}{2m} = \frac{v_0}{2}\mathbf{j}$

3 Movimiento del centro de masas

En este sistema todas las fuerzas son internas, y se ejercen mediante la tensión de la barra, que funciona como un resorte de longitud natural a y constante de recuperación infinita. Por ello se conservan tanto la cantidad de movimiento como el momento cinético del sistema.

De la conservación de la cantidad de movimiento del sistema se deduce que el centro de masas se mueve con movimiento rectilíneo y uniforme

$\mathbf{r}_C = \mathbf{r}_{C0}+\mathbf{v}_{C0}t = \frac{v_0t}{2}\mathbf{j}$

Geométricamente esto significa que el centro de la barra se mueve uniformemente y la barra gira en torno a su centro, de una manera que aun hemos de determinar.

4 Movimiento de cada partícula

Para determinar cómo se mueven las partículas situadas en los extremos de la barra aplicamos la conservación del momento angular del sistema.

El momento angular inicial vale

$\mathbf{L}_0= m_1\mathbf{r}_{10}\times\mathbf{v}_{10}+m_2\mathbf{r}_{20}\times\mathbf{v}_{20} = m\left(\frac{b}{2}\mathbf{i}\right)\times\left(v_0\mathbf{j}\right) = \frac{mbv_0}{2}\mathbf{k}$

Esta cantidad es una constante de movimiento, por lo que, en todo momento

$\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{v}_{1}+\mathbf{r}_{2}\times\mathbf{v}_{2} =\frac{\mathbf{L}}{m}= \frac{bv_0}{2}\mathbf{k}$

Para simplificar el problema empleamos la posición relativa al centro de masas. Definimos

$\mathbf{r}\equiv\mathbf{r}'_1 = \mathbf{r}_1-\mathbf{r}_C$

Se cumple, por ser posiciones relativas de dos partículas de la misma masa

$\mathbf{r}'_2 = -\mathbf{r}\,$ $\mathbf{v} = \mathbf{v}'_1 = \mathbf{v}_1-\mathbf{v}_C$ $\mathbf{v}'_2=-\mathbf{v}\,$

Esto reduce la ley de conservación del momento angular a

$\mathbf{r}\times\mathbf{v} = \frac{bv_0}{4}\mathbf{k}$

@@ Línea 33: / Línea 33: @@
 Esta cantidad es una constante de movimiento, por lo que, en todo momento
-<center><math>\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{v}_{1}+\mathbf{r}_{2}\times\mathbf{v}_{2} =\frac{\mathbf{L}{m}= \frac{bv_0}{2}\mathbf{k}</math></center>
+<center><math>\mathbf{r}_{1}\times\mathbf{v}_{1}+\mathbf{r}_{2}\times\mathbf{v}_{2} =\frac{\mathbf{L}}{m}= \frac{bv_0}{2}\mathbf{k}</math></center>
 Para simplificar el problema empleamos la posición relativa al centro de masas. Definimos

Dos partículas unidas por una barra

De Laplace

Revisión de 19:52 13 dic 2009

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1 Enunciado

2 Estado inicial

3 Movimiento del centro de masas

4 Movimiento de cada partícula

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