Una varilla y una carga

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 15:19 14 jul 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Una carga eléctrica

Q

está uniformemente distribuida a lo largo de un segmento rectilíneo de longitud

2 a

. A una distancia

a

del punto medio de dicho segmento y en dirección perpendicular a éste, se halla una carga puntual

- Q

.

Calcule el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio $a / 2$ centrada en el punto medio del segmento cargado (punto $O$ ).
Obtenga la fuerza que actúa sobre la carga puntual.
Calcule los momentos monopolar y dipolar de la distribución de carga descrita. Proponga expresiones aproximadas para el potencial y el campo eléctrico en puntos suficientemente alejados de la distribución.
¿Qué trabajo habría que realizar para mover la carga puntual entre los puntos $A$ al $B$ ? (ver figura)

2 Solución

2.1 Flujo del campo eléctrico a través de superficie esférica

Tal como se indica en las figuras, adoptaremos un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro de la varilla cargada, la cuál va a ser colineal con el eje $\ OZ$ . Además, consideraremos que la carga puntual $\ -Q$ se halla en el eje $\ OX$ .

En este apartado hay que calcular el flujo del campo eléctrico $\mathbf{E}(\mathbf{r})$ , a través de una superficie esférica $\partial \tau: r=a/2$ : $\Phi\big|_{\partial \tau}=\oint_{\partial \tau}\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}\, \quad \mbox{con} \qquad \mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_\mathrm{car}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r})$

Nótese que dicho campo debe ser el creado por toda la distribución de carga descrita; es decir, la carga puntual $\ -Q$ colocada en el punto $P 0$ , dado por el vector $\mathbf{r}_0=a\mathbf{u}_x$ , y la varilla de longitud $\ 2a$ cargada uniformemente con una cantidad $\ Q$ de carga eléctrica, o lo que es lo mismo, con una densidad lineal constante:

$\lambda_e(\mathbf{r'})=\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}l'}=\frac{\Delta q}{\Delta z'}=\frac{Q}{2a}$

La expresión del campo eléctrico de una carga puntual es bien conocida, y el cálculo del campo eléctrico creado por un segmento con densidad lineal de carga constante puede verse en el ejercicio Campo eléctrico de un segmento cargado.

Sin embargo no es necesario realizar el cálculo explícito de la anterior integral ya que, en virtud de la Ley de Gauss se tiene que dicho flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidiad de carga eléctrica encerrada en su interior. Dada las dimensiones y la posición de $\partial \tau$ respecto del sistema de cargas, se tiene que sólo la mitad de la varilla se halla en el interior de dicha superficie esférica. Como la distribución de carga en la varilla es uniforme, habrá una cantidad de carga $\ Q/2$ dentro de $\partial \tau$ :

$\left.\begin{array}{r}\displaystyle \oint_{\partial \tau}\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{1}{\varepsilon_0} \, q\big|_\tau \\ \\ \displaystyle q\big|_\tau=\int_C^D\!\!\lambda_e(\mathbf{r'})\mathrm{d}l'=\frac{Q}{2a}\int_{-a/2}^{a/2}\!\mathrm{d}z'=\frac{Q}{2}\end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\oint_{\partial \tau}\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}=\frac{Q}{2\varepsilon_0}$

2.2 Fuerza sobre la carga puntual

La fuerza sobre la carga puntual $\ -Q$ colocada en el punto $\ P_0$ es igual al resultado de multiplicar dicha carga por el campo eléctrico creado en dicho punto por la distribución de carga de la varilla:

$\mathbf{F}(-Q;P_0)=-Q\ \mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r}_0)= -\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\int_\mathrm{var}\!\lambda_e(\mathbf{r'})\frac{\big(\mathbf{r}_0-\mathbf{r'}\big)}{|\mathbf{r}_0-\mathbf{r'}|^3}\, \mathrm{d}l'$

donde $\mathbf{r'}=z'\ \mathbf{u}_z$ es el vector posición correspondiente a un punto arbitrario de la varilla, $P'$ . Se tendrá entonces...

$\mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r}_0)= \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\ \left(\frac{Q}{2a}\right)\ \int_{-a}^{a}\!\!\frac{a\mathbf{u}_x-z'\mathbf{u}_z}{(a^2+z'^2)^{3/2}}\ \mathrm{d}z'$

Como ya se ha visto en otros ejercicios relativos a segmentos cargados, para realizar estas dos integrales resulta muy útil el siguiente cambio de variable:

$\frac{z'}{a}=\tan \alpha$ $\Rightarrow$ $\mathrm{d}z'=\frac{a}{\cos^2\alpha}\ \mathrm{d}\alpha$

$\ldots$ , que llevado a la anterior expresión proporciona el valor de las componentes $\ x$ y $\ z$ del campo eléctrico creado por la varilla en $\ P_0$ :

$\displaystyle \int_{-a}^{a}\!\!\frac{a\ \mathrm{d}z'}{(a^2+z'^2)^{3/2}}=\frac{1}{a}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\!\cos \alpha\ \mathrm{d}\alpha=\frac{\sqrt{2}}{a}\ \mbox{;}\qquad \qquad \int_{-a}^{a}\!\!\frac{z'\ \mathrm{d}z'}{(a^2+z'^2)^{3/2}}=\frac{1}{a}\int_{-\pi/4}^{\pi/4}\!\mathrm{sen} \ \alpha\ \mathrm{d}\alpha=0$

Es decir, puesto que la carga puntual se halla en un eje de simetría de la distribución lineal, la fuerza que actúa sobre aquélla sólo tiene componente en la dirección $\ x$ :

$\mathbf{F}(-Q;P_0)=-Q\ \mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r}_0)= -\frac{\sqrt{2}\ Q^2}{8\pi\varepsilon_0a^2}\ \mathbf{u}_x$

2.3 Desarrollo multipolar

El momento monopolar del sistema (que llamaremos $\ Q_0$ ) es igual a la suma de todas las cargas puntuales, más la carga total contenida en las distribuciones líneales, superficiales y volumétricas de carga eléctrica que lo constituyen; es decir, es la carga eléctrica total del sistema. En el caso que nos ocupa se tendrá:

Q 0 = - Q +

@@ Línea 53: / Línea 53: @@
 ===Desarrollo multipolar===
+El momento monopolar del sistema (que llamaremos <math>\ Q_0</math>) es igual a la suma de todas las cargas puntuales, más la carga total contenida en las distribuciones líneales, superficiales y volumétricas de carga eléctrica que lo constituyen; es decir, es la carga eléctrica total del sistema. En el caso que nos ocupa se tendrá:
+<center><math>Q_0=-Q+</math></center>
 [[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

Una varilla y una carga

De Laplace

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2.1 Flujo del campo eléctrico a través de superficie esférica

2.2 Fuerza sobre la carga puntual

2.3 Desarrollo multipolar

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