Una varilla y una carga

De Laplace

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	==Solución==		==Solución==
	===Flujo del campo eléctrico a través de superficie esférica===		===Flujo del campo eléctrico a través de superficie esférica===
-	Tal como se indica en las figuras, adoptaremos un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro de la varilla cargada, la cuál va a ser colineal con el eje <math>\ OZ</math>. Además, consideraremos que la carga puntual <math>\ -Q</math> se halla en el eje <math>\ OX</math>.	+
		+	Tal como se indica en las figuras, adoptaremos un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro de la varilla cargada, la cuál va a ser colineal con el eje <math>\ OZ</math>. Además, consideraremos que la carga puntual <math>\ -Q</math> se halla en el eje <math>\ OX</math>.
	[[Imagen:P2_ii.gif|left]] En este apartado hay que calcular el flujo del campo eléctrico <math>\mathbf{E}(\mathbf{r})</math>, a través de una superficie esférica  <math>\partial \tau: r=a/2</math>:		[[Imagen:P2_ii.gif|left]] En este apartado hay que calcular el flujo del campo eléctrico <math>\mathbf{E}(\mathbf{r})</math>, a través de una superficie esférica  <math>\partial \tau: r=a/2</math>:
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	<center><math>\Phi\big|_{\partial \tau}=\oint_{\partial \tau}\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math></center>		<center><math>\Phi\big|_{\partial \tau}=\oint_{\partial \tau}\!\mathbf{E}\cdot \mathrm{d}\mathbf{S}</math></center>
-	Obviamente, dicho campo debe ser el creado por toda la distribución de carga descrita: la carga puntual <math>\ -Q</math> y la varilla cargada uniformemente con una carga <math>\ Q</math>:	+	Dicho campo debe ser el creado por toda la distribución de carga descrita; es decir, la carga puntual <math>\ -Q</math> colocada en el punto dado por el vector <math>\mathbf{r}_0=(a/2)\mathbf{u}_x</math>, y la varilla cargada uniformemente, con una densidad lineal de carga constante  <math>\ \lambda_e(z)=Q/2a=\lambda_0</math>:
-	<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_\mathrm{car}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r})\, \mbox{siendo}\ldots \left\{\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{E}_\mathrm{car}(\mathbf{r})=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}\\ \\ \end{array}\right.</math></center>	+	<center><math>\mathbf{E}(\mathbf{r})=\mathbf{E}_\mathrm{car}(\mathbf{r})+\mathbf{E}_\mathrm{var}(\mathbf{r})\, \quad\mbox{siendo}\ldots \quad\left\{\begin{array}{l}\displaystyle \mathbf{E}_\mathrm{car}(\mathbf{r})=-\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\, \frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}_0}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|^3}\\ \\ \end{array}\right.</math></center>

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Revisión de 17:18 13 jul 2009

1 Enunciado

Una carga eléctrica Q está uniformemente distribuida a lo largo de un segmento rectilíneo de longitud 2a. A una distancia a del punto medio de dicho segmento y en dirección perpendicular a éste, se halla una carga puntual − Q.

1. Calcule el flujo del campo eléctrico a través de una superficie esférica de radio a / 2 centrada en el punto medio del segmento cargado (punto O).
2. Obtenga la fuerza que actúa sobre la carga puntual.
3. Calcule los momentos monopolar y dipolar de la distribución de carga descrita. Proponga expresiones aproximadas para el potencial y el campo eléctrico en puntos suficientemente alejados de la distribución.
4. ¿Qué trabajo habría que realizar para mover la carga puntual entre los puntos A al B? (ver figura)

2 Solución

2.1 Flujo del campo eléctrico a través de superficie esférica

Tal como se indica en las figuras, adoptaremos un sistema de referencia cartesiano con origen en el centro de la varilla cargada, la cuál va a ser colineal con el eje . Además, consideraremos que la carga puntual se halla en el eje .

En este apartado hay que calcular el flujo del campo eléctrico , a través de una superficie esférica :

Dicho campo debe ser el creado por toda la distribución de carga descrita; es decir, la carga puntual colocada en el punto dado por el vector , y la varilla cargada uniformemente, con una densidad lineal de carga constante :

La expresión del campo eléctrico de una carga puntual es bien conocida, y el cálculo del campo eléctrico creado por un segmento con densidad lineal de carga constante puede verse en el ejercicio Campo eléctrico de un segmento cargado