Tres superficies conductoras esféricas concéntricas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:04 4 jul 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

El sistema de la figura está formado por tres superficies conductoras esféricas concéntricas de espesor despreciable y radios $a$ , $a / 2$ y $a / 3$ . Las superficies de mayor y menor radio están conectadas por un hilo conductor, formando el conductor “1”, que puede conectarse a una fuente de potencial $V 0$ . Dicho hilo pasa a través de un orificio practicado en la superficie de radio $a / 2$ (conductor “2”), sin tocarla. Otro hilo conductor permite conectar esta superficie intermedia con la fuente de potencial $V 0$ a trav\'{e}s de otro orificio existente en al superficie esférica exterior. El espesor de los hilos y el tamaño de los orificios son despreciables frente al tamaño de las superficies.

Obtenga un circuito equivalente para el sistema de conductores descrito y calcule su matriz de coeficientes de capacidad.
Estando el conductor “1” descargado, se conecta el “2” a la fuente de potencial. Determine la carga eléctrica que se localiza en este conductor y el potencial a que se encuentra el “1”.
Posteriormente, el conmutador del sistema conecta la fuente al conductor “1”, desconectándola del “2”. Calcule las cargas y los potenciales en los conductores para esta nueva situación. Especifique la cantidad de carga almacenada en cada una de las caras de las tres superficies esféricas.
Determine la energía suministrada por la fuente en los procesos descritos en los apartados anteriores.

2 Solución

2.1 Circuito equivalente y matriz de coeficientes de capacidad

En primer lugar insistiremos en la idea de que, aunque el sistema descrito está formado por tres superficies conductoras, éstas se hayan conectadas de forma que sólo hay dos conductores “activos”; es decir, que se pueden conectar a una fuente para cargarlos o fijar su valor de potencial. Por otra parte, como en el enunciado no se indica explícitamente que algún conductor esté conectado a tierra, la referencia para la medida del potencial electrostático estará en el infinito. Consideremos ambos conductores “1” y “2” cargados y/o conectados a fuentes, de manera que el potencial electrostático tendrá un valor $\ V_2$ en la superficie conductora intermedia de radio $\ a/2$ , y un valor $\ V_1$ en las superficies exterior e interior, de radios $\ a$ y $\ a/3$ , respectivamente. Si, en general, estos valores son no nulos y distintos, habrá líneas de campo eléctrico entre la superficie exterior de la esfera de mayor radio (conductor $1$ ) y el infinito. También habrá líneas de campo eléctrico en los espacios que hay entre las tres superficies conductoras, debido a la diferencia de potencial $\ \Delta V=V_1-V_2$ que existe entre ellas.

El circuito equivalente estará formado por dos nodos (uno por cada conductor) y tierra. Entre ésta y el nodo “1” habrá una autocapacidad $\overline{C}_{11}$ que modela las líneas de campo entre la superficie esférica de mayor radio y el infinito. En consecuencia, $\overline{C}_{11}$ debe ser la capacidad eléctrica de una superficie conductora esférica de radio $\ a$ . Además, dicha superficie apantalla completamente a la intermedia, impidienddo la existencia de líneas de campo entre el conductor “2”, por lo que la autocapacidad entre el nodo “2” y tierra es siempre nula. Se tendrá, por tanto:

$\overline{C}_{11}=4\pi\varepsilon_0 a=C;$ $\overline{C}_{22}=0$

La capacidad $\overline{C}_{12}$ está ligada a la existencia de campo eléctrico entre los conductores “1” y “2” cuando éstos se hallan a diferente potencial. Su valor es la relación entre la cantidad parcial de carga eléctrica en estos conductores que se encuentra en influencia total, y la diferencia de potencial. Como el conductor “1” apantalla completamente al “2” la carga total $\ Q_2$ en éste conductor está en influencia total con parte de la del conductor “1”; concretamente, la que se localiza en la cara exterior de la esfera de menor radio y en la cara interior de la superficie de radio mayor. También, la carga $\ Q_2$ se reparte entre las caras interna y externa de la superficie conductora de radio $\ a/2$ . De esta forma, se tendrá...

$\displaystyle\overline{C}_{12}=\frac{Q_2}{V_2-V_1}=\frac{Q_2^\mathrm{int}}{V_2-V_1}+\frac{Q_2^\mathrm{ext}}{V_2-V_1}=C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}+C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}$

donde $C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}$ y $C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}$ son las capacidades eléctricas de sendos condensadores esféricos: utilizando coordenadas esféricas y tomando como punto origen el centro común de las tres superficies conductoras, $C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}$ es la capacidad del condensador formado por la cara externa de la superficie $\ \Sigma:r=(a/3)^+$ con la cara interna del conductor intermedio $\ \Sigma:r=(a/2)^-$ ; análogamente, la cara externa de este conductor, $\ \Sigma:r=(a/2)^+$ y la interna del de mayor radio, $\ \Sigma:r=a^-$ , forman un condensador de capacidad $C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}$ . Obsérvese que la anterior expresión indica que $\overline{C}_{12}$ es la capacida equivalente de una asociación en parelelo de los condensadores esféricos descritos.

Teniendo en cuenta cuanto vale la capacidad de este tipo de condesadores en función de sus radios interior y exterior, se obtiene...

$\left.\begin{array}{ll}\displaystyle C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}=4\pi\varepsilon_0\ \frac{(a/2)(a/3)}{(a/2)-(a/3)}=4\pi\varepsilon_0a=C \\ \\ \displaystyle C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}=4\pi\varepsilon_0\ \frac{a(a/2)}{a-(a/2)}=4\pi\varepsilon_0a=C \end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\overline{C}_{12}=C_\mathrm{esf}^\mathrm{int}+C_\mathrm{esf}^\mathrm{ext}=8\pi\varepsilon_0a=2C$

Una vez obtenidos los parámetros del circuito equivalente, la matriz de coeficientes de capacidad se calcula de forma inmediata sin más que aplicar la relación de verifican estos coeficientes con las capacidades del circuito:

$\left.\begin{array}{ll}\displaystyle C_{11}=\overline{C}_{11}+\overline{C}_{12}=12\pi\varepsilon_0a=3C\\ \\ \displaystyle C_{12}=C_{21}=-\overline{C}_{12}=-8\pi\varepsilon_0a=-2C\\ \\ \displaystyle C_{22}=\overline{C}_{12}+\overline{C}_{22}=8\pi\varepsilon_0a=2C \end{array}\right\}$ $\Rightarrow$ $\displaystyle\mathbf{C} =C\left(\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ \\ -2 & 2 \end{array}\right)\qquad \mbox{con}\qquad C=4\pi\varepsilon_0$

2.2 Cargas y potenciales en el estado (b)

Estando el sistema descargado, se conecta el conductor “2” al generador mientras el conductor “1” está aislado. Cuando el sistema alcanza el equilibrio, éste conductor permanacerá descargado, $\ Q_1=0$ , mientras que el “2”, a potencial $\ V_2=V_0$ , adquirirá una cierta cantidad de carga. Para determinar el valor de esta carga, así como el del potencial del conductor “1” sólo hay que tener en cuenta que los valores de cargas y potenciales en el sistema está relacionados por la matriz de coeficientes de capacidad calculada en el apartado anterior: $\ \mathbf{Q}=\mathbf{C\cdot V}$

$\left(\begin{array}{c}Q_1\\ \\ Q_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ \\ -2 & 2 \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V_1\\ \\ V_2\end{array}\right)$ $\Rightarrow$ $\begin{array}{c}0=C\left(3V_1-2V_0\right)\\ \\ Q_2=2C\left(V_0-V_1\right)\end{array}$

$\begin{array}{c} \displaystyle V_1=\frac{2}{3}\ V_0 \\ \\ Q_2=\frac{2}{3}\ C V_0 =\frac{8}{3}\pi\varepsilon_0aV_0\end{array}$

2.3 Cargas y potenciales en el estado (c)

2.4 Energía suministrada por el generador

@@ Línea 40: / Línea 40: @@
 Estando el sistema descargado, se conecta el conductor &ldquo;2&rdquo; al generador mientras el conductor &ldquo;1&rdquo; está aislado. Cuando el sistema alcanza el equilibrio, éste conductor permanacerá descargado, &nbsp;<math>\ Q_1=0</math>&nbsp;, mientras que el &ldquo;2&rdquo;, a potencial &nbsp;<math>\ V_2=V_0</math>&nbsp;, adquirirá una cierta cantidad de carga. Para determinar el valor de esta carga, así como el del potencial del conductor &ldquo;1&rdquo; sólo hay que tener en cuenta que los valores de cargas y potenciales en el sistema está relacionados por la matriz de coeficientes de capacidad calculada en el apartado anterior: <math>\ \mathbf{Q}=\mathbf{C\cdot V}</math>
-[[Imagen:P1_b.gif|left]] <math>\left(\begin{array}{c}0\\ \\ Q_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ \\ -2 &  2
+[[Imagen:P1_b.gif|left]] <math>\left(\begin{array}{c}Q_1\\ \\ Q_2\end{array}\right)=C\left(\begin{array}{rr} 3 & -2 \\ \\ -2 &  2
-\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V_1\\ \\ V_0\end{array}\right)</math>&nbsp; {{tose}} &nbsp;
+\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}V_1\\ \\ V_2\end{array}\right)</math>&nbsp; {{tose}} &nbsp;<math>\begin{array}{c}0=C\left(3V_1-2V_0\right)\\ \\ Q_2=2C\left(V_0-V_1\right)\end{array}</math>
 <math style="border:solid green 2px;padding:10px">\begin{array}{c} \displaystyle  V_1=\frac{2}{3}\ V_0 \\ \\ Q_2=\frac{2}{3}\ C V_0 =\frac{8}{3}\pi\varepsilon_0aV_0\end{array}</math>

Tres superficies conductoras esféricas concéntricas

De Laplace

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Circuito equivalente y matriz de coeficientes de capacidad

2.2 Cargas y potenciales en el estado (b)

2.3 Cargas y potenciales en el estado (c)

2.4 Energía suministrada por el generador

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