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Ejemplos de superficies equiescalares

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Superficies de fase constante)
(→¿Por qué la <math>a\,</math>?)
 
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==Un campo inversamente proporcional a la distancia==
==Un campo inversamente proporcional a la distancia==
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Aunque en cartesianas la visualización del campo <math>\phi =  |\mathbf{r}|^2\,</math> es sencilla, en coordenadas esféricas es inmediata ya que <math> |\mathbf{r}| = r</math>, con r la coordenada esférica radial. Por tanto las superficies equiescalares cumplen
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En el estudio del potencial eléctrico de cargas puntuales, aparece el campo escalar
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<center><math>\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad r = \mathrm{cte}</math></center>
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<center><math>\phi = k\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}</math></center>
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esto es, son esferas con centro el origen (las [[Coordenadas esféricas. Líneas y superficies coordenadas|superficies coordenadas]] de la coordenada radial).
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donde <math>k\,</math> y <math>q\,</math> son constantes, <math>\mathbf{r}\,</math> es el vector de posición (variable) y <math>\mathbf{r}_0\,</math> un punto fijo. Las superficies equiescalares verifican
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==Simetría traslacional==
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<center><math>\phi = V = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right| = \frac{kq}{V} =\mathrm{cte}</math></center>
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El campo <math>\phi =  |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,</math> es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, sus superficies equiescalares no son la suma de nada, ya que no se pueden sumar planos con esferas.
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Por definición, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo forman una superficie esférica. El centro será el punto <math>\mathbf{r}_0\,</math> y el radio <math>kq/V\,</math>.
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Si, como en el ejemplo anterior, tomamos el eje <math>OZ\,</math> como el que apunta en la dirección de <math>\mathbf{A}\,</math>, podemos escribir el campo en cartesianas como
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Puesto que el centro es el mismo para todas las esferas, mientras que el radio depende del valor del potencial, resulta que las superficies equiescalares constituyen una familia de esferas concéntricas.
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<center><math>\phi = x^2 + y^2 + z^2 + Az\,</math></center>
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==Simetría traslacional==
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y las superficies equiescalares cumplen
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Supongamos un campo escalar de la forma
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<center><math>x^2 + y^2 + z^2 + Az = k\,</math></center>
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<center><math>\phi = ay - x^2\,</math></center>
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Sumando el mismo término en ambos miembros queda
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con <math>a\,</math> una constante. Examinando la forma funcional de este campo, vemos que no depende de la coordenada <math>z\,</math>, esto es, posee [[Elección de ejes. Simetría|simetría traslacional]]. Lo que esto implica para sus superficies equiescalares es que estas son ''cilíndricas'', lo cual '''no''' quiere decir que tengan forma de cilindros circulares, sino que se extienden paralelamente al eje <math>OZ\,</math>.
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<center><math>x^2+y^2 + \left(z+\frac{A}{2}\right) = k + \frac{A^2}{4}</math></center>
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El corte de estas superficies con el plano <math>z = 0\,</math> nos da las ''bases'' de las superficies cilíndricas. En este caso
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que son las ecuaciones de esferas concéntricas, con centro y radio
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<center><math>ay - x^2 = k \qquad \Rightarrow\qquad y = \frac{k}{a} + \frac{x^2}{a}</math></center>
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<center><math>\mathbf{C} = -\frac{A}{2}\mathbf{u}_z = - \frac{\mathbf{A}}{2} \qquad R(k) = \sqrt{k + \frac{A^2}{2}}</math></center>
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En el plano <math>XY\,</math> resultan parábolas. Por tanto las superficies equiescalares son cilindros parabólicos (que no paraboloides, que eso es otra cosa).
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===¿Por qué la constante "a"?===
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Puede parecer raro, especielmente si uno acude a lo que se estudia en asignaturas de matemáticas, que a la hora de escribir el campo sea necesario poner <math>ay\,</math> y no simplemente <math>\phi = y - x^2\,</math>. La razón es que, en física, las magnitudes tienen dimensiones, y no pueden sumarse peras con manzanas. Una superficie, como <math>x^2\,</math> no puede sumarse con una distancia, <math>y\,</math>. Para poder efectuar la suma es necesario incluir una constante <math>a\,</math> con dimensiones de distancia.
==Simetría acimutal==
==Simetría acimutal==
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Consideremos ahora el campo
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Este campo no posee simetría traslacional, pero si [[Elección de ejes. Simetría|acimutal]]. Para verlo lo escribimos en coordenadas cilíndricas, como
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que es independiente de la coordenada <math>\varphi</math>.
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Para las equipotenciales esta simetría implica que son ''superficies de revolución'', esto es, que se obtienen al girar curvas del semiplano <math>\varphi = 0</math> (<math>y=0\,</math>, con <math>x > 0\,</math>) alrededor del eje <math>OZ\,</math>.
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En nuestro caso particular, las curvas son hipérbolas (o arcos de hipérbola, pues son media hipérbola) y las superficies equipotenciales son hiperboloides
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==Un ejemplo aparentemente más complicado==
==Un ejemplo aparentemente más complicado==
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Supongamos que se nos pide dibujar las superficies equiescalares del campo
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[[Imagen:conos.png|right]]Supongamos que se nos pide dibujar las superficies equiescalares del campo
<center><math>\phi = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)</math></center>
<center><math>\phi = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)</math></center>
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y por tanto las superficies <math>\phi = \mathrm{cte}\,</math> son conos rectos con vértice el origen y eje el eje <math>OZ\,</math>.
y por tanto las superficies <math>\phi = \mathrm{cte}\,</math> son conos rectos con vértice el origen y eje el eje <math>OZ\,</math>.
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[[Categoría:Concepto de campo|40]]
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Estas superficies también poseen simetría acimutal.
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==Enlaces==
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* '''Siguiente:''' [[Representación de campos vectoriales]]
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* '''Anterior:''' [[Superficies equiescalares]]
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[[Categoría:Campos escalares y vectoriales|40]]

última version al 10:41 3 dic 2007

Contenido

1 Superficies de fase constante

En el estudio de la ondas electromagnéticas aparecen frecuentemente las superficies de fase constante, que son las equiescalares de la fase de oscilación de la onda en cada punto. En el caso particular de las ondas planas, estas superficies verifican

\varphi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}

donde \mathbf{k}\, es un vector constante (el vector de onda) y \mathbf{r}\, es el vector de posición. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que \mathbf{k}\, tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.

Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje OZ\, apuntando en la dirección de \mathbf{k}\,, de forma que este vector se escribe

\mathbf{k} = k\,\mathbf{u}_z

y el campo escalar \varphi\, es simplemente

\varphi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\, = kz

por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos entre sí

\varphi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad z = \mathrm{cte}

Estos planos son perpendiculares al eje OZ\,. Por tanto, las superficies de fase constante de \varphi = \mathbf{k}\cdot\mathbf{r}\, son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector \mathbf{k}\,.

2 Un campo inversamente proporcional a la distancia

En el estudio del potencial eléctrico de cargas puntuales, aparece el campo escalar

\phi = k\frac{q}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0|}

donde k\, y q\, son constantes, \mathbf{r}\, es el vector de posición (variable) y \mathbf{r}_0\, un punto fijo. Las superficies equiescalares verifican

\phi = V = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right| = \frac{kq}{V} =\mathrm{cte}

Por definición, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo forman una superficie esférica. El centro será el punto \mathbf{r}_0\, y el radio kq/V\,.

Puesto que el centro es el mismo para todas las esferas, mientras que el radio depende del valor del potencial, resulta que las superficies equiescalares constituyen una familia de esferas concéntricas.

3 Simetría traslacional

Supongamos un campo escalar de la forma

\phi = ay - x^2\,

con a\, una constante. Examinando la forma funcional de este campo, vemos que no depende de la coordenada z\,, esto es, posee simetría traslacional. Lo que esto implica para sus superficies equiescalares es que estas son cilíndricas, lo cual no quiere decir que tengan forma de cilindros circulares, sino que se extienden paralelamente al eje OZ\,.

El corte de estas superficies con el plano z = 0\, nos da las bases de las superficies cilíndricas. En este caso

ay - x^2 = k \qquad \Rightarrow\qquad y = \frac{k}{a} + \frac{x^2}{a}

En el plano XY\, resultan parábolas. Por tanto las superficies equiescalares son cilindros parabólicos (que no paraboloides, que eso es otra cosa).

Imagen:parabolas.png Imagen:cilindrosparabolicos.png

3.1 ¿Por qué la constante "a"?

Puede parecer raro, especielmente si uno acude a lo que se estudia en asignaturas de matemáticas, que a la hora de escribir el campo sea necesario poner ay\, y no simplemente \phi = y - x^2\,. La razón es que, en física, las magnitudes tienen dimensiones, y no pueden sumarse peras con manzanas. Una superficie, como x^2\, no puede sumarse con una distancia, y\,. Para poder efectuar la suma es necesario incluir una constante a\, con dimensiones de distancia.

4 Simetría acimutal

Consideremos ahora el campo

\phi = az - x^2 - y^2\,

Este campo no posee simetría traslacional, pero si acimutal. Para verlo lo escribimos en coordenadas cilíndricas, como

\phi = az - \rho^2\,

que es independiente de la coordenada \varphi.

Para las equipotenciales esta simetría implica que son superficies de revolución, esto es, que se obtienen al girar curvas del semiplano \varphi = 0 (y=0\,, con x > 0\,) alrededor del eje OZ\,.

En nuestro caso particular, las curvas son hipérbolas (o arcos de hipérbola, pues son media hipérbola) y las superficies equipotenciales son hiperboloides

Imagen:hiperbolas.png Imagen:hiperboloides.png

5 Un ejemplo aparentemente más complicado

Supongamos que se nos pide dibujar las superficies equiescalares del campo
\phi = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)

Aunque de entrada puede parecer complicado, si recordamos las relaciones entre los distintos sistemas de coordenadas podemos ver que

φ = θ

y por tanto las superficies \phi = \mathrm{cte}\, son conos rectos con vértice el origen y eje el eje OZ\,.

Estas superficies también poseen simetría acimutal.

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