Inducción mutua de dos solenoides cuadrados

De Laplace

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		+	Si este cálculo se hace por energías debemos identificar las dos expresiones para la energía magnética
-	Si este cálculo se hace por energías debemos identificar las dos	+	<center><math>U_\mathrm{m}=\frac{1}{2\mu_0}\int B^2\,\mathrm{d}\tau= \frac{1}{2}\left(L_{11}I_1^2+2L_{12}I_1I_2+L_{22}I_2^2\right)</math></center>
-	expresiones para la energía	+
-	\[	+	El campo magnético ya lo conocemos y vale <math>B_1</math> en una zona de altura <math>h</math> y sección <math>b^2-a^2</math>, <math>B_2</math> en otra región de las mismas dimensiones y <math>B_1+B_2</math> en la intersección, de longitud <math>h</math> y sección a^2$. Puesto
-	W=\frac{1}{2\mu_0}\int B^2\,d\tau=	+
-	\frac{1}{2}\left(L_{11}I_1^2+2L_{12}I_1I_2+L_{22}I_2^2\right)	+
-	\]	+
-	El campo magnético ya lo conocemos y vale $B_1$ en una zona de altura	+
-	$h$ y sección $a^2-b^2$, $B_2$ en otra región de las mismas dimensiones	+
-	y $B_1+B_2$ en la intersección, de longitud $h$ y sección $b^2$. Puesto	+
	que $B$ es constante en cada región, puede sacarse de la integral y el		que $B$ es constante en cada región, puede sacarse de la integral y el
	resultado es		resultado es
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	\left(a-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2		\left(a-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2
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	==Asociaciones==		==Asociaciones==
	[[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]]		[[Categoría:Problemas de inducción electromagnética]]

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Revisión de 19:42 1 jun 2009

Contenido 1 Enunciado 2 Coeficientes 2.1 De autoinducción 2.2 De inducción mutua 3 De acoplamiento 3.1 Empleando la energía magnética 4 Asociaciones

1 Enunciado

Se tienen dos solenoides de sección cuadrada de lado de un hilo ideal sin resistencia. La longitud de ambos solenoides es () y el número de vueltas es N₁ = N y N₂ = 2N, respectivamente. Ambos solenoides se colocan de forma que intersecan en una sección cuadrada de lado a, tal como muestra la figura.

1. Halle los coeficientes de autoinducción, de inducción mutua y de acoplamiento.
2. Sin mover los solenoides de sitio, el sistema se conecta a un circuito. Para el caso a = b / 3, halle todas las posibles autoinducciones equivalentes que se pueden obtener con este sistema, teniendo en cuenta que los solenoides pueden conectarse entre sí, cortocircuitarse con un hilo ideal o dejarse en circuito abierto.

2 Coeficientes

2.1 De autoinducción

Si despreciamos los efectos de borde, cada uno de los solenoides produce un campo magnético que es constante en el interior y nulo en el exterior. El campo en el interior es el mismo que produciría una corriente superficial de módulo K = NI / h, esto es, la corriente total partida por la longitud. El campo resultante es

donde N_i es el número de espiras de un solenoide e I_i la corriente que circula por él.

Para hallar el coeficiente de autoinducción L₁₁ debemos hallar el flujo en el primer solenoide del campo magnético producido por él mismo. Este flujo se calcula a través de N₁ espiras cuadradas y el campo es constante en cada una por lo que el flujo vale

y el coeficiente de autoinducción correspondiente será

Igualmente se calcula el coeficiente L₂₂

2.2 De inducción mutua

Para hallar el coeficiente de inducción mutua L₁₂ = L₂₁ hay que calcular el flujo en el solenoide 1 del campo producido por el solenoide 2. Este flujo sólo es distinto de cero en el cuadrado de intersección, cuyo lado es a. Este flujo vale

y de aquí

3 De acoplamiento

Combinando los resultados anteriores obtenemos

El acoplamiento es igual a la unidad cuando a = b, esto es, cuando ambos solenoides son coincidentes.

3.1 Empleando la energía magnética

Si este cálculo se hace por energías debemos identificar las dos expresiones para la energía magnética

El campo magnético ya lo conocemos y vale B₁ en una zona de altura h y sección b² − a², B₂ en otra región de las mismas dimensiones y B₁ + B₂ en la intersección, de longitud h y sección a^2$. Puesto que $B$ es constante en cada región, puede sacarse de la integral y el resultado es \ba W & = & \frac{1}{2\mu_0}\left(B_1^2(a^2-b^2)h+B_2^2(a^2-b^2)h+ (B_1+B_2)^2b^2h\right)= \\ & = & \frac{1}{2}\left(\frac{\mu_0N_1^2a^2}{h}I_1^2+ \frac{\mu_0N_2^2a^2}{h}I_2^2+ 2\frac{\mu_0N_1N_2b^2}{h}I_1I_2\right) \ea de donde \ba L_{11} & = & \frac{\mu_0N_1^2 a^2}{h} \qquad L_{22}=\frac{\mu_0N_2^2 a^2}{h} \\ L_{12} & = & L_{21}=\frac{\mu_0N_1N_2}{h} \left(a-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)^2 \ea

4 Asociaciones