Ejemplos de superficies equiescalares
De Laplace
(→Un campo inversamente proporcional a la distancia) |
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donde <math>k\,</math> y <math>q\,</math> son constantes, <math>\mathbf{r}\,</math> es el vector de posición (variable) y <math>\mathbf{r}_0\,</math> un punto fijo. Las superficies equiescalares verifican | donde <math>k\,</math> y <math>q\,</math> son constantes, <math>\mathbf{r}\,</math> es el vector de posición (variable) y <math>\mathbf{r}_0\,</math> un punto fijo. Las superficies equiescalares verifican | ||
| - | <math>\phi = V = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right| = \frac{kq}{V} =\mathrm{cte}</math> | + | <center><math>\phi = V = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad \left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_0\right| = \frac{kq}{V} =\mathrm{cte}</math></center> |
Por definición, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo forman una superficie esférica. El centro será el punto <math>\mathbf{r}_0\,</math> y el radio <math>kq/V\,</math>. | Por definición, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo forman una superficie esférica. El centro será el punto <math>\mathbf{r}_0\,</math> y el radio <math>kq/V\,</math>. | ||
Revisión de 18:54 1 dic 2007
Contenido |
1 Superficies de fase constante
En el estudio de la ondas electromagnéticas aparecen frecuentemente las superficies de fase constante, que son las equiescalares de la fase de oscilación de la onda en cada punto. En el caso particular de las ondas planas, estas superficies verifican
donde 
es un vector constante (el vector de onda) y 
es el vector de posición. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.
Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje 
apuntando en la dirección de , de forma que este vector se escribe
y el campo escalar 
es simplemente
por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos entre sí
Estos planos son perpendiculares al eje . Por tanto, las superficies de fase constante de 
son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector .
2 Un campo inversamente proporcional a la distancia
En el estudio del potencial eléctrico de cargas puntuales, aparece el campo escalar
donde 
y 
son constantes, es el vector de posición (variable) y 
un punto fijo. Las superficies equiescalares verifican
Por definición, el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo forman una superficie esférica. El centro será el punto y el radio 
.
Puesto que el centro es el mismo para todas las esferas, mientras que el radio depende del valor del potencial, resulta que las superficies equiescalares constituyen una familia de esferas concéntricas.
3 Simetría traslacional
El campo 
es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, sus superficies equiescalares no son la suma de nada, ya que no se pueden sumar planos con esferas.
Si, como en el ejemplo anterior, tomamos el eje como el que apunta en la dirección de 
, podemos escribir el campo en cartesianas como
y las superficies equiescalares cumplen
Sumando el mismo término en ambos miembros queda
que son las ecuaciones de esferas concéntricas, con centro y radio
4 Simetría acimutal
5 Un ejemplo aparentemente más complicado
Supongamos que se nos pide dibujar las superficies equiescalares del campo
Aunque de entrada puede parecer complicado, si recordamos las relaciones entre los distintos sistemas de coordenadas podemos ver que
y por tanto las superficies 
son conos rectos con vértice el origen y eje el eje .
