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Ejemplos de superficies equiescalares

De Laplace

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y por tanto las superficies <math>\phi = \mathrm{cte}\,</math> son conos rectos con vértice el origen y eje el eje <math>OZ\,</math>.
y por tanto las superficies <math>\phi = \mathrm{cte}\,</math> son conos rectos con vértice el origen y eje el eje <math>OZ\,</math>.
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[[Categoría:Concepto de campo|40]]

Revisión de 18:09 1 dic 2007

Contenido

1 Ejemplos de superficies equiescalares

No obstante lo anterior, existen ejemplos sencillos (e importantes) en los cuales se puede determinar la forma de las superficies equipotenciales.

1.1 El campo \phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,

Sea \mathbf{A}\, un vector constante y \mathbf{r}\, el vector de posición. Construimos un campo escalar \phi\, multiplicándolos escalarmente. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que \mathbf{A}\, tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.

Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje OZ\, apuntando en la dirección de \mathbf{A}\,, de forma que este vector se escribe

\mathbf{A} = A\,\mathbf{u}_z

y el campo escalar \phi\, es simplemente

\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\, = Az

por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos

\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad z = \mathrm{cte}

Estos planos son perpendiculares al eje OZ\,. Por tanto, las superficies equipotenciales del campo \phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\, son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector \mathbf{A}\,.

1.2 El campo \phi = |\mathbf{r}|^2\,

Aunque en cartesianas la visualización del campo \phi = |\mathbf{r}|^2\, es sencilla, en coordenadas esféricas es inmediata ya que |\mathbf{r}| = r, con r la coordenada esférica radial. Por tanto las superficies equiescalares cumplen

\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad r = \mathrm{cte}

esto es, son esferas con centro el origen (las superficies coordenadas de la coordenada radial).

1.3 El campo \phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,

El campo \phi = |\mathbf{r}|^2 + \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\, es la suma de los dos anteriores. Sin embargo, sus superficies equiescalares no son la suma de nada, ya que no se pueden sumar planos con esferas.

Si, como en el ejemplo anterior, tomamos el eje OZ\, como el que apunta en la dirección de \mathbf{A}\,, podemos escribir el campo en cartesianas como

\phi = x^2 + y^2 + z^2 + Az\,

y las superficies equiescalares cumplen

x^2 + y^2 + z^2 + Az = k\,

Sumando el mismo término en ambos miembros queda

x^2+y^2 + \left(z+\frac{A}{2}\right) = k + \frac{A^2}{4}

que son las ecuaciones de esferas concéntricas, con centro y radio

\mathbf{C} = -\frac{A}{2}\mathbf{u}_z = - \frac{\mathbf{A}}{2} \qquad R(k) = \sqrt{k + \frac{A^2}{2}}

1.4 Un ejemplo aparentemente más complicado

Supongamos que se nos pide dibujar las superficies equiescalares del campo

\phi = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)

Aunque de entrada puede parecer complicado, si recordamos las relaciones entre los distintos sistemas de coordenadas podemos ver que

φ = θ

y por tanto las superficies \phi = \mathrm{cte}\, son conos rectos con vértice el origen y eje el eje OZ\,.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ejemplos_de_superficies_equiescalares"

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