Superficies equiescalares

De Laplace

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	===El campo <math>\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,</math>===		===El campo <math>\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,</math>===
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		+	Sea <math>\mathbf{A}\,</math> un vector constante y <math>\mathbf{r}\,</math> el vector de posición. Construimos un campo escalar <math>\phi\,</math> multiplicándolos escalarmente. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que <math>\mathbf{A}\,</math> tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.
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		+	Puesto que los ejes no están fijados de antemano, [[Elección de ejes. Simetrías|podemos elegirlos como más nos convenga]]. En particular, podemos tomar el eje <math>OZ\,</math> apuntando en la dirección de <math>\mathbf{A}\,</math>, de forma que este vector se escribe
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		+	<center><math>\mathbf{A} = A\,\mathbf{u}_z</math></center>
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		+	<center><math>\phi = \mathrm{cte}\qquad\Rightarrow\qquad z = \mathrm{cte}</math></center>
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		+	Estos planos son perpendiculares al eje <math>OZ\,</math>. Por tanto, las superficies equipotenciales del campo <math>\phi = \mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,</math> son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector <math>\mathbf{A}\,</math>.
	===El campo <math>\phi = r^2\,</math>===		===El campo <math>\phi = r^2\,</math>===

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Revisión de 17:26 1 dic 2007

Contenido 1 Campos en tres dimensiones 2 Definición 3 Ejemplos de superficies equiescalares 3.1 El campo 3.2 El campo 3.3 El campo 3.4 Otros ejemplos 4 Enlaces

1 Campos en tres dimensiones

La visualización de campos dependientes de dos coordenadas es relativamente sencilla

Sin embargo, cuando se trata de una función de las tres coordenadas, la cosa se complica. Ya no disponemos de la tercera dimensión para hacer una gráfica de elevación, y cualquier representación bidimensional se referirá a una sección del espacio.

2 Definición

La forma más fructífera de representar los campos escalares funciones de las tres coordenadas es con ayuda de las superficies equiescalares o equipotenciales, definida cada una de ellas como el conjunto de los puntos en que el campo escalar tiene un cierto valor fijado:

Una propiedad importante de las superficies equipotenciales es que no se cortan entre sí, dado que el campo posee un solo valor en cada punto.

Un ejemplo habitual es el de las isobaras de un mapa del tiempo.

Sin embargo, este mapa es sólo una representación de las líneas correspondientes a la presión a nivel del mar, . Una verdadera representación de las isobaras debería incluir superficies en un volumen tridimensional. Estas superficies, en el caso de la presión, se envolverían unas a otras como capas de una cebolla.

Para casos más generales, las superficies equipotenciales pueden tener formas muy complejas. Por ejemplo, en el caso del campo escalar

φ = − x⁴ + x² − y⁴ + y² + z²

resultan superficies como estas:

Normalmente, en muy pocos casos puede uno imaginar la forma de las superficies equipotenciales. Eso no impide usarlas como herramientas por sus propiedades geométricas. Lo veremos en su aplicación al potencial eléctrico y su gradiente, el campo electrostático.

3 Ejemplos de superficies equiescalares

No obstante lo anterior, existen ejemplos sencillos (e importantes) en los cuales se puede determinar la forma de las superficies equipotenciales.

3.1 El campo

Sea un vector constante y el vector de posición. Construimos un campo escalar multiplicándolos escalarmente. Para describir las superficies equipotenciales podemos suponer que tiene componentes según los tres ejes de coordenadas, pero en realidad no tenemos por qué.

Puesto que los ejes no están fijados de antemano, podemos elegirlos como más nos convenga. En particular, podemos tomar el eje apuntando en la dirección de , de forma que este vector se escribe

y el campo escalar es simplemente

por tanto las superficies equiescalares son planos paralelos

Estos planos son perpendiculares al eje . Por tanto, las superficies equipotenciales del campo son planos paralelos entre sí y perpendiculares al vector .

3.2 El campo

3.3 El campo

3.4 Otros ejemplos

4 Enlaces

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