Desarrollo Multipolar magnético

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:06 4 abr 2009

Contenido

1 Introducción
- 1.1 Demostración detallada
2 Ejemplos
3 Momentos de orden superior

1 Introducción

Supongamos que tenemos una distribución de corriente estacionaria que ocupa una pequeña región del espacio y queremos hallar el campo en puntos alejados.

Cuando se dice “una pequeña región del espacio” se entiende que comparada con la distancia al punto de observación. Matemáticamente:

$\delta=\frac{\mathrm{max}(|\mathbf{r}'|)}{r}\ll 1$

Como con el campo eléctrico, la idea del desarrollo multipolar es hacer un cálculo aproximado, más sencillo que la integral exacta (la cual puede ser imposible de calcular) mediante el empleo de una serie de Taylor. Partimos de la expresión del potencial vector para el caso de una espira

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\oint\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}$

Aplicando el desarrollo del binomio de Newton

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}+\mathrm{O}(\delta^2)$

resulta (de forma no trivial) la expresión aproximada para el potencial vector

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\frac{\mathbf{m}\times\mathbf{r}}{r^3}+\cdots$

donde

$\mathbf{m}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}'\times\mathrm{d}\mathbf{r}'$

es el denominado momento dipolar magnético de la espira.

A una distribución de corriente que produce este potencial vector (y el campo magnético resultante) se le denomina dipolo magnético. Podemos imaginar un dipolo magnético como una pequeña espira de corriente, si bien el concepto es más general:

Una distribución de corriente de volumen confinada a una pequeña región del espacio también produce el campo de un dipolo magnético, siendo su momento dipolar

$\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{J}\,\mathrm{d}\tau'$

En particular, este resultado incluye el caso de una distribución de carga en rotación.

Lo mismo ocurre para una distribución de corriente superficial

$\mathbf{m}= \frac{1}{2}\int \mathbf{r}'\times\mathbf{K}\,\mathrm{d}S'$

La partículas elementales (electrones, protones,…) producen un campo magnético dipolar, en el que el momento magnético es proporcional al llamado espín de la partícula. Este momento dipolar no está asociado a ninguna corriente “clásica”, pero su comportamiento es análogo.

1.1 Demostración detallada

La obtención de la expresión aproximada del potencial vector no es elemental.

Para empezar hay que justificar el desarrollo de $1/|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|$ . Para ello observamos que se puede escribir como

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=\frac{1}{\sqrt{(\mathbf{r}-\mathbf{r}')\cdot(\mathbf{r}-\mathbf{r}')}}=\left(r^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'+r^{'2}\right)^{-1/2}$

y sacando factor común un $r 2$ de la raíz

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|}=(r^2)^{-1/2}\left(1-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2}$

Hasta aquí no hay aproximación alguna. Observamos que en el último factor tenemos 1 más algo mucho más pequeño que la unidad (pues $r'\ll r$ ). La fórmula general del binomio de Newton nos dice que si $x\ll 1$

$(1+x)^n = 1 + n x + \mathrm{O}(x^2)\,$

Aplicando esto al resultado anterior

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\left(1+\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)\right)^{-1/2} = \frac{1}{r}\left(1-\frac{1}{2}\left(-2\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\frac{r^{'2}}{r^2}\right)+\mathrm{O}(\delta^2)\right)$

pero de hecho, el segundo de los dos sumandos del paréntesis también es de orden $δ 2$ , por lo que podemos despreciarlo y reducir el desarrollo a

$\frac{1}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|} = \frac{1}{r}\left(1+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^2}+\mathrm{O}(\delta^2)\right)= \frac{1}{r}+\frac{\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}'}{r^3}+\cdots$

El segundo paso es sustituir esto en la expresión del potencial vector. Nos queda

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\oint\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}'}{r}+\oint\frac{(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')\mathrm{d}\mathbf{r}'}{r^3}+\cdots\right)$

Estas integrales son sobre la variable $\mathbf{r}'$ , así que $\mathbf{r}$ es una constante en ellas y puede ser extraído en la medida de lo posible

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\left(\frac{1}{r}\oint\mathrm{d}\mathbf{r}'+\frac{1}{r^3}\oint(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')\mathrm{d}\mathbf{r}'+\cdots\right)$

La primera de estas dos integrales es el desplazamiento neto al recorrer una curva cerrada, por lo que se anula identicamente,

$\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'=\left.\mathbf{r}'\right|_{\mathbf{r}_0}^{\mathbf{r}_0}=\mathbf{0}$

Lo que nos dice este resultado, de nuevo, es que el campo magnético de corrientes estacionarias, no posee término monopolar, esto es, que el campo de corrientes no equivale al campo de cargas magnéticas (monopolos).

El segundo término no se puede integrar de forma inmediata. Para conseguir extraer $\mathbf{r}$ de la integral podemos usar el teorema vectorial, generalización del teorema de Stokes

$\oint \mathrm{d}\mathbf{r}' \phi = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi$

que, en nuestro caso da

$\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}') = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}')$

pero, como se puede demostrar

$\nabla'(\mathbf{r}\cdot\mathbf{r}')=\mathbf{r}$

por lo que la integral se convierte en

$\oint \mathrm{d}\mathbf{r}'(\mathbf{r}\cdot\mathrm{r}') = \int \mathrm{d}\mathbf{S}\times\mathbf{r}=\mathbf{S}\times\mathbf{r}$

y, aplicación la expresión del vector superficie

$\mathbf{S}=\frac{1}{2}\oint \mathbf{r}'\times \mathrm{d}\mathbf{r}'$

nos queda finalmente

$\mathbf{A}=\frac{\mu_0}{4\pi}\,\frac{\mathrm{m}\times\mathbf{r}}{r^3}+\cdots$ $\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I}{2}\oint \mathbf{r}'\times \mathrm{d}\mathbf{r}'$

La extensión al caso de una distribución de corriente volumétrica o superficial requiere aun más cálculo vectorial, por lo que nos limitaremos a señalar que puede obtenerse siguiento las reglas usuales de transformación

$\int_\Gamma(\ldots)I\mathrm{d}\mathbf{r}'\to \int_S(\ldots)\mathbf{K}\mathrm{d}S'\to\int_\tau(\ldots)\mathbf{J}\mathrm{d}\tau'$

2 Ejemplos

2.1 Espira plana

Para una espira plana, el vector superficie es

$\mathbf{S}=S\mathbf{n}$

Siendo $S$ el área de la porción de plano limitada por la curva y n la normal a éste (con el sentido asignado por la regla de la mano derecha. Dos casos frecuentes son:

Espira rectangular: En el caso más sencillo, de una espira rectangular de lados $a$ y $b$ , el momento magnético será

$\mathbf{m}=Iab\mathbf{n}\,$

Si consideramos los lados de la espira como vectores, esta expresión equivale a

$\mathbf{m}=I\mathbf{a}\times\mathbf{b}\,$

Espira circular: Para una espira circular el momento es

$\mathbf{m}=I\pi R^2\,\mathbf{n}$

2.2 Espira alabeada

Para una espira no contenida en un plano el vector superficie es

$\mathbf{S}=S_x\mathbf{u}_x+S_y\mathbf{u}_y+S_z\mathbf{u}_z$

con $S i$ las áreas de las proyecciones sobre los planos coordenados.

Como ejemplo, consideremos una espira alabeada formada por tres cuadrantes de circunferencia, de radio $R$ que van de $R\mathbf{u}_x$ a $R\mathbf{u}_y$ , de ahí a $R\mathbf{u}_z$ , y de vuelta a $R\mathbf{u}_x$ . Tal como se ve en artículo sobre el vector superficie, para esta superficie tenemos

$\mathbf{m}=I\mathbf{S}=\frac{I\pi R^2}{4}(\mathbf{u}_x+\mathbf{u}_y+\mathbf{u}_z)$

2.3 Esfera cargada rotante

Artículo completo: Momento magnético de una esfera en rotación

Un caso particular de corriente de volumen localizada en el espacio es el de una distribución de carga en rotación. Este modelo puede ayudar a describir el comportamiento de una partícula cargada, como un electrón, que se caracteriza por un momento angular (el espín), equivalente en ciertos aspectos a una rotación.

Supongamos una esfera de radio $R$ , con una carga $q$ distribuida uniformemente en el volumeny que gira en torno a un eje (que tomaremos como eje Z) con velocidad angular $\mathbf{w}$ . Para este sistema la densidad de corriente es, en esféricas

$\mathbf{J}=\rho_0\mathbf{v}=\rho_0\mathbf{w}\times\mathbf{r}=\rho_0\omega r\,\mathrm{sen}\,\theta\,\mathbf{u}_\varphi$ $\rho_0=\frac{q}{4\pi R^3/3}$

llevando esto a la integral resulta el momento magnético

$\mathbf{m}=\frac{q R^2}{5}\mathbf{w}$

3 Momentos de orden superior

Como en el desarrollo multipolar eléctrico, existen situaciones en las que el momento dipolar se anula y es preciso ir a órdenes superiores del desarrollo. Así tenemos el cuadrupolo magnético, el octupolo, etc.

Un ejemplo de sistema cuadrupolar lo forman dos espiras muy próximas por las cuales circulan corrientes en sentidos opuestos. En este caso, los campos dipolares se anulan mutuamente, por lo que es necesario recurrir a un orden superior del desarrollo.

Desarrollo Multipolar magnético

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1 Introducción

1.1 Demostración detallada

2 Ejemplos

2.1 Espira plana

2.2 Espira alabeada

2.3 Esfera cargada rotante

3 Momentos de orden superior

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 ==Momentos de orden superior==
-Como en el desarrollo multipolar eléctrico
+Como en el desarrollo multipolar eléctrico, existen situaciones en las que el momento dipolar se anula y es preciso ir a órdenes superiores del desarrollo. Así tenemos el cuadrupolo magnético, el octupolo, etc.
+Un ejemplo de sistema cuadrupolar lo forman dos espiras muy próximas por las cuales circulan corrientes en sentidos opuestos. En este caso, los campos dipolares se anulan mutuamente, por lo que es necesario recurrir a un orden superior del desarrollo.
 [[Categoría:Campo magnético de corrientes estacionarias]]