Generalización del teorema de Stokes
De Laplace
(→Generalización a un campo escalar) |
(→Expresión general) |
||
(15 ediciones intermedias no se muestran.) | |||
Línea 13: | Línea 13: | ||
Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar <math>\phi</math> en cada punto de <math>\Gamma</math> multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva. | Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar <math>\phi</math> en cada punto de <math>\Gamma</math> multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva. | ||
- | La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie <math>S</math> apoyada en <math>\Gamma</math>. Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante <math>\mathbf{u}</math> | + | La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie <math>S</math> apoyada en <math>\Gamma</math>. Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad |
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi</math></center> | ||
+ | |||
+ | Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante <math>\mathbf{u}</math> | ||
<center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi</math></center> | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi</math></center> | ||
Línea 23: | Línea 27: | ||
Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector | Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector | ||
- | <center><math>\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{\nabla\times\mathbf{u}}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}</math></center> | + | <center><math>\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{(\nabla\times\mathbf{u})}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}</math></center> |
Sustituyendo en la expresión anterior | Sustituyendo en la expresión anterior | ||
Línea 37: | Línea 41: | ||
<center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}</math></center> | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}</math></center> | ||
- | + | Usando de nuevo el que <math>\mathbf{u}</math> es un vector constante | |
- | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S | + | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi\right)</math></center> |
- | y, puesto que esta | + | y, puesto que esta identidad se verifica sea cual sea el vector <math>\mathbf{u}</math>, debe cumplirse que, finalmente, |
- | <center><math>\mathbf{ | + | <center><math>\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi</math></center> |
==Generalización a un producto vectorial== | ==Generalización a un producto vectorial== | ||
+ | Nos preguntamos ahora por la integral también vectorial | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Vamos a demostrar que también puede reducirse a una integral sobre <math>S</math>. En este caso | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}</math></center> | ||
+ | |||
+ | El procedimiento es similar al anterior. Multiplicamos la integral por un vector constante <math>\mathbf{u}</math> | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\oint_\Gamma (\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}\cdot\mathbf{u}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Aplicando de nuevo la propiedad del producto mixto | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})</math></center> | ||
+ | |||
+ | Ya tenemos de nuevo una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})</math></center> | ||
+ | |||
+ | Aplicamos ahora dos veces la propiedad del producto mixto | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\right)\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{u}</math></center> | ||
+ | |||
+ | Aquí también hemos hecho uso de que <math>\mathbf{u}</math> es constante y por tanto puede salir de las derivadas. También puede salir de las integrales y nos queda | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)</math></center> | ||
+ | |||
+ | y, puesto que se debe cumplir para todo vector <math>\mathbf{u}</math>, | ||
+ | |||
+ | <center><math>\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}</math></center> | ||
==Expresión general== | ==Expresión general== | ||
+ | Si comparamos el teorema de Stokes, (escrito de una forma ligeramente diferente, con ayuda, de nuevo, de la propiedad del producto mixto), junto con los otros dos teoremas que hemos demostrado, resulta una estructura común | ||
+ | <center><math> | ||
+ | \begin{matrix} | ||
+ | \displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} & = & \displaystyle\int_S (\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\cdot\mathbf{F} \\ | ||
+ | & & \\ | ||
+ | \displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi & = & \displaystyle\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi \\ | ||
+ | & & \\ | ||
+ | \displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F} & = & \displaystyle\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\end{matrix}</math> | ||
+ | </center> | ||
+ | Vemos que los tres pueden ponerse en la forma | ||
+ | |||
+ | <center><math>\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\star A = \int_S (\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\star A</math></center> | ||
+ | |||
+ | donde <math>\star</math> representa cualquie tipo de producto (por un escalar, escalar, vectorial u otros que no hemos visto) y <math>A</math> es un campo cualquiera, escalar, vectorial o tensorial. | ||
+ | |||
+ | Teniendo en cuenta que <math>\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}S\,\mathbf{n}</math>, en la integral de superficie aparece el operador <math>\mathbf{n}\times\nabla</math>, que puede desarrollarse empleando coordenadas cartesianas | ||
+ | |||
+ | <center><math>\mathbf{n}\times\nabla = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ n_x & n_y & n_z \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial z} \end{matrix}\right|= \mathbf{u}_x\left(n_y\frac{\partial\ }{\partial z}-n_z\frac{\partial\ }{\partial y}\right)+\mathbf{u}_y\left(n_z\frac{\partial\ }{\partial x}-n_x\frac{\partial\ }{\partial z}\right)+\mathbf{u}_z\left(n_x\frac{\partial\ }{\partial y}-n_y\frac{\partial\ }{\partial x}\right)</math></center> | ||
+ | |||
+ | o las correspondientes en otros sistemas de coordenadas. En particular, si la integral se hace sobre una superficie coordenada, dos de las componentes de <math>\mathbf{n}</math> se anulan, lo que simplifica notablemente la expresión. | ||
[[Categoría:Fundamentos matemáticos]] | [[Categoría:Fundamentos matemáticos]] |
última version al 19:55 26 mar 2009
Contenido |
1 Teorema de Stokes
El teorema de Stokes establece que, dada una curva cerrada Γ, la circulación de un campo vectorial equivale al flujo de su rotacional a través de una superficie S arbitraria con Γ como borde, y orientada según la regla de la mano derecha
![\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} = \int_S \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})](/wiki/images/math/9/1/2/912705fea5f0e2850f69ecea925e4b7e.png)
Este teorema es sólo uno de una familia de teoremas de estructura similar.
2 Generalización a un campo escalar
La primera generalización viene de considerar la integral vectorial
![\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi](/wiki/images/math/5/e/4/5e49e4cedf2b6f153e9cc383812adb2e.png)
Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar φ en cada punto de Γ multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva.
La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie S apoyada en Γ. Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad
![\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi](/wiki/images/math/3/2/9/3295077db35e57856e18861dd6ec6aae.png)
Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi](/wiki/images/math/3/d/c/3dc20073aaeff77f47d3505e740bb45d.png)
El vector puede entrar en la integral por ser constante. Ahora sí tenemos una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}\phi)=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{u}\phi)](/wiki/images/math/d/f/8/df8909dd115545c83cddbac595579dfe.png)
Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector
![\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{(\nabla\times\mathbf{u})}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}](/wiki/images/math/4/5/8/45896897a7e141d298833d6a8a1b25c6.png)
Sustituyendo en la expresión anterior
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\phi\times\mathbf{u})](/wiki/images/math/9/1/6/9168d3c375ec9ccab486a54de90f9a21.png)
Aplicando ahora la propiedad del producto mixto
![\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}](/wiki/images/math/a/6/1/a615302b8708ae19a34ef381f3e83177.png)
nos queda
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}](/wiki/images/math/8/2/6/826cbb78d3af953e7aa40369e3dddbe9.png)
Usando de nuevo el que es un vector constante
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi\right)](/wiki/images/math/5/0/a/50a63ee23eeeab48560a0338ddc23911.png)
y, puesto que esta identidad se verifica sea cual sea el vector , debe cumplirse que, finalmente,
![\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi](/wiki/images/math/0/1/b/01b33059c353a4eef09ae1393e519418.png)
3 Generalización a un producto vectorial
Nos preguntamos ahora por la integral también vectorial
![\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}](/wiki/images/math/8/0/5/805a371dc4c624dced8afe1f35057acc.png)
Vamos a demostrar que también puede reducirse a una integral sobre S. En este caso
![\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}](/wiki/images/math/7/8/1/78134ccdc978c7fb9c6981b2a5e01efc.png)
El procedimiento es similar al anterior. Multiplicamos la integral por un vector constante
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\oint_\Gamma (\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}\cdot\mathbf{u}](/wiki/images/math/4/6/0/460680cee9787655146e332e5824dba1.png)
Aplicando de nuevo la propiedad del producto mixto
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})](/wiki/images/math/7/2/1/72112d2b2191e1b782efe31952dafd71.png)
Ya tenemos de nuevo una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})](/wiki/images/math/e/1/5/e15b2c87e2c7ef3d6ac791c27dc205d8.png)
Aplicamos ahora dos veces la propiedad del producto mixto
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\right)\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{u}](/wiki/images/math/b/0/a/b0ac36500abcffce98d6cbf58336722d.png)
Aquí también hemos hecho uso de que es constante y por tanto puede salir de las derivadas. También puede salir de las integrales y nos queda
![\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)](/wiki/images/math/c/b/6/cb656b786c8c52d218e13a28b1b414de.png)
y, puesto que se debe cumplir para todo vector ,
![\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}](/wiki/images/math/0/7/9/0791b7853c32c1137a7b30107424cb02.png)
4 Expresión general
Si comparamos el teorema de Stokes, (escrito de una forma ligeramente diferente, con ayuda, de nuevo, de la propiedad del producto mixto), junto con los otros dos teoremas que hemos demostrado, resulta una estructura común
![\begin{matrix}
\displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} & = & \displaystyle\int_S (\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\cdot\mathbf{F} \\
& & \\
\displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi & = & \displaystyle\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi \\
& & \\
\displaystyle\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F} & = & \displaystyle\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\end{matrix}](/wiki/images/math/1/8/0/180eb067bd9f31413afef97716692623.png)
Vemos que los tres pueden ponerse en la forma
![\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\star A = \int_S (\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\star A](/wiki/images/math/c/3/d/c3d75ed4a8a092a24a63e912e123099f.png)
donde representa cualquie tipo de producto (por un escalar, escalar, vectorial u otros que no hemos visto) y A es un campo cualquiera, escalar, vectorial o tensorial.
Teniendo en cuenta que , en la integral de superficie aparece el operador
, que puede desarrollarse empleando coordenadas cartesianas
![\mathbf{n}\times\nabla = \left|\begin{matrix} \mathbf{u}_x & \mathbf{u}_y & \mathbf{u}_z \\ n_x & n_y & n_z \\ & & \\ \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial\ }{\partial z} \end{matrix}\right|= \mathbf{u}_x\left(n_y\frac{\partial\ }{\partial z}-n_z\frac{\partial\ }{\partial y}\right)+\mathbf{u}_y\left(n_z\frac{\partial\ }{\partial x}-n_x\frac{\partial\ }{\partial z}\right)+\mathbf{u}_z\left(n_x\frac{\partial\ }{\partial y}-n_y\frac{\partial\ }{\partial x}\right)](/wiki/images/math/e/3/2/e32cc2b63ad2d370c33b1436f486123c.png)
o las correspondientes en otros sistemas de coordenadas. En particular, si la integral se hace sobre una superficie coordenada, dos de las componentes de se anulan, lo que simplifica notablemente la expresión.