Generalización del teorema de Stokes

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 18:49 26 mar 2009

Contenido

1 Teorema de Stokes
2 Generalización a un campo escalar
3 Generalización a un producto vectorial
4 Expresión general

1 Teorema de Stokes

El teorema de Stokes establece que, dada una curva cerrada $Γ$ , la circulación de un campo vectorial $\mathbf{F}$ equivale al flujo de su rotacional a través de una superficie $S$ arbitraria con $Γ$ como borde, y orientada según la regla de la mano derecha

$\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{F} = \int_S \mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\times\mathbf{F})$

Este teorema es sólo uno de una familia de teoremas de estructura similar.

2 Generalización a un campo escalar

La primera generalización viene de considerar la integral vectorial

$\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi$

Esta integral no es una circulación, sino que da como resultado un vector, obtenido sumando el valor del campo escalar $φ$ en cada punto de $Γ$ multiplicado por el desplazamiento diferencial a lo largo de la curva.

La pregunta que nos hacemos es si podemos convertir esta integral en una sobre la superficie $S$ apoyada en $Γ$ . Vamos a demostrar que se puede y se cumple la identidad

$\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi$

Para ver cómo, multiplicamos la integral por un vector constante $\mathbf{u}$

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\,\phi=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot\mathbf{u}\phi$

El vector puede entrar en la integral por ser constante. Ahora sí tenemos una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{u}\phi)=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{u}\phi)$

Desarrollando el rotacional del producto de un escalar por un vector

$\nabla\times(\mathbf{u}\phi)=\overbrace{(\nabla\times\mathbf{u})}^{=0}\phi+(\nabla\phi)\times\mathbf{u} = (\nabla\phi)\times\mathbf{u}$

Sustituyendo en la expresión anterior

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot(\nabla\phi\times\mathbf{u})$

Aplicando ahora la propiedad del producto mixto

$\mathbf{A}\cdot(\mathbf{B}\times\mathbf{C})=(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\cdot\mathbf{C}$

nos queda

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi)\cdot\mathbf{u}$

Usando de nuevo el que $\mathbf{u}$ es un vector constante

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi\right)$

y, puesto que esta identidad se verifica sea cual sea el vector $\mathbf{u}$ , debe cumplirse que, finalmente,

$\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\phi$

3 Generalización a un producto vectorial

Nos preguntamos ahora por la integral también vectorial

$\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}$

Vamos a demostrar que también puede reducirse a una integral sobre $S$ . En este caso

$\mathbf{I}=\int_S(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}$

El procedimiento es similar al anterior. Multiplicamos la integral por un vector constante $\mathbf{u}$

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}=\oint_\Gamma (\mathrm{d}\mathbf{r}\times\mathbf{F}\cdot\mathbf{u}$

Aplicando de nuevo la propiedad del producto mixto

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\oint_\Gamma \mathrm{d}\mathbf{r}\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})$

Ya tenemos de nuevo una circulación, a la que se puede aplicar el teorema de Stokes

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})$

Aplicamos ahora dos veces la propiedad del producto mixto

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\right)\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{u}$

Aquí también hemos hecho uso de que $\mathbf{u}$ es constante y por tanto puede salir de las derivadas. También puede salir de las integrales y nos queda

$\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)$

4 Expresión general

@@ Línea 72: / Línea 72: @@
 Aplicamos ahora dos veces la propiedad del producto mixto
-<center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{u}</math></center>
+<center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\cdot\nabla\times(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left(\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla\right)\cdot(\mathbf{F}\times\mathbf{u})=\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)\cdot\mathbf{u}</math></center>
 Aquí también hemos hecho uso de que <math>\mathbf{u}</math> es constante y por tanto puede salir de las derivadas. También puede salir de las integrales y nos queda
-<center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\left((\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F})\right)</math></center>
+<center><math>\mathbf{u}\cdot\mathbf{I}=\mathbf{u}\cdot\left(\int_S\mathrm{d}\mathbf{S}\times\nabla)\times\mathbf{F}\right)</math></center>
 ==Expresión general==
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Generalización del teorema de Stokes

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