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Relación entre los distintos sistemas de coordenadas

De Laplace

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[[Imagen:cil-esf.png|frame|right]]Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada <math>z,</math> es la misma,
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Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada <math>z</math> es la misma, mientras que las coordenadas <math>x</math> e <math>y</math> constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa <math>ρ</math>, por lo que
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x = ρ cos(φ) y = ρ sen(φ)
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<center><math>z = z\,</math></center>
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Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada φ es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo
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mientras que las coordenadas <math>x\,</math> e <math>y\,</math> constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa <math>\rho\,</math>, por lo que
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ρ = r sen(θ) z = r cos(θ)
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<center><math>x = \rho\cos{\varphi} \qquad y = \rho\mathrm{sen}\,\varphi</math></center>
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A partir de estas relaciones y de las anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.
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De aquí se tienen las relaciones inversas
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Igualmente, despejando, pueden obtenerse las relaciones inversas. Todas estas relaciones figuran en la tabla de fórmulas (Apéndice A)  
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<center><math>\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\qquad z = z</math></center>
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Algunos ejemplos numéricos
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==Entre cilíndricas y esféricas==
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Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada <math>\varphi</math> es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo
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<center><math>\rho = r\,\mathrm{sen}\,\theta\qquad z = r\,\cos\theta\qquad {\varphi} = {\varphi}</math></center>
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y con las correspondientes relaciones inversas
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<center><math>r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta= \mathrm{arctg}\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi = \varphi</math></center>
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==Entre cartesianas y esféricas==
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Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.
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<center><math>x = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\qquad y = r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\qquad z = r\cos\theta</math></center>
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y sus correspondientes relaciones inversas
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<center><math>r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\qquad \theta = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)</math></center>
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==Algunos ejemplos numéricos==
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===De cartesianas a otros sistemas===
Supongamos que debemos dar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto dado, en cartesianas, por  
Supongamos que debemos dar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto dado, en cartesianas, por  
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x = 2 m y=-3 m z=4 m
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<center><math>x=2\,\mathrm{m}\qquad y=-3\,\mathrm{m}\qquad z=4\,\mathrm{m}</math></center>
La misma posición, en cilíndricas, se expresa  
La misma posición, en cilíndricas, se expresa  
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ρ = √(x²+y²)=3.606 m φ = arctg(−3/2)=-0.983 rad z=4 m
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<center><math>\rho=\sqrt{x^2+y^2}=3.606\,\mathrm{m}\qquad {\varphi} = \mathrm{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}\qquad
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z=4\,\mathrm{m}</math></center>
y, en esféricas,  
y, en esféricas,  
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r = √(ρ²+z²)==5.385 m θ = arctg(3.606/4) = 0.734 rad φ = −0.983 rad
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<center><math>r=\sqrt{\rho^2+z^2}=5.385\,\mathrm{m}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{3.606}{4}\right)=0.734\,\mathrm{rad}\qquad {\varphi}= -0.983\,\mathrm{rad}</math></center>
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===De esféricas a otros sistemas===
Ahora supongamos que nos dan un punto, en esféricas, de coordenadas
Ahora supongamos que nos dan un punto, en esféricas, de coordenadas
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r = 3 m θ = π/6 rad φ = π/4 rad
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<center><math>r=3\,\mathrm{m}\qquad \theta=\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\qquad{\varphi}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}</math></center>
Este mismo punto, en cilíndricas, es  
Este mismo punto, en cilíndricas, es  
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ρ = 1.5 m φ = π/4 rad z = 2.598 m
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<center><math>\rho=1.5\,\mathrm{m}\qquad {\varphi}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}\qquad z =2.598\,\mathrm{m}</math></center>
y en cartesianas  
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x = 1.061 m y = 1.061 m z = 2.598 m
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Dos detalles importantes:  
Dos detalles importantes:  
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Las coordenadas poseen unidades.
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* Las coordenadas poseen unidades.
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* El que un punto se exprese de forma sencilla en un sistema no implica que sea simple en otro diferente.
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==Enlaces==
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* '''Siguiente:''' [[Líneas y superficies coordenadas]]
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* '''Anterior:''' [[Coordenadas esféricas. Definición]]
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El que un punto se exprese de forma sencilla en un sistema no implica que sea simple en otro diferente.
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[[Categoría:Definición de sistemas|50]]

última version al 11:39 23 nov 2007

Contenido

1 Entre cartesianas y cilíndricas

Con un poco de trigonometría se puede establecer la relación entre los tres sistemas. Entre cartesianas y esféricas tenemos que la coordenada z, es la misma,
z = z\,

mientras que las coordenadas x\, e y\, constituyen los catetos de un triángulo rectángulo de hipotenusa \rho\,, por lo que

x = \rho\cos{\varphi} \qquad y = \rho\mathrm{sen}\,\varphi

De aquí se tienen las relaciones inversas

\rho = \sqrt{x^2+y^2}\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)\qquad z = z

2 Entre cilíndricas y esféricas

Empleando de nuevo trigonometría podemos pasar de esféricas a cilíndricas. En primer lugar, la coordenada \varphi es la misma en los dos sistemas. El resto de coordenadas se relacionan mediante un nuevo triángulo rectángulo

\rho = r\,\mathrm{sen}\,\theta\qquad z = r\,\cos\theta\qquad {\varphi} = {\varphi}

y con las correspondientes relaciones inversas

r = \sqrt{\rho^2+z^2}\qquad \theta= \mathrm{arctg}\left(\frac{\rho}{z}\right)\qquad \varphi = \varphi

3 Entre cartesianas y esféricas

Combinando las relaciones anteriores obtenemos el paso de esféricas a cartesianas.

x = r\mathrm{sen}\,\theta\cos\varphi\qquad y = r\mathrm{sen}\,\theta\mathrm{sen}\,\varphi\qquad z = r\cos\theta

y sus correspondientes relaciones inversas

r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\qquad \theta = \mathrm{arctg}\left(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\right)\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(\frac{y}{x}\right)

4 Algunos ejemplos numéricos

4.1 De cartesianas a otros sistemas

Supongamos que debemos dar las coordenadas cilíndricas y esféricas del punto dado, en cartesianas, por

x=2\,\mathrm{m}\qquad y=-3\,\mathrm{m}\qquad z=4\,\mathrm{m}

La misma posición, en cilíndricas, se expresa

\rho=\sqrt{x^2+y^2}=3.606\,\mathrm{m}\qquad {\varphi} = \mathrm{arctg}\left(-\frac{3}{2}\right)=-0.983\,\mathrm{rad}\qquad z=4\,\mathrm{m}

y, en esféricas,

r=\sqrt{\rho^2+z^2}=5.385\,\mathrm{m}\qquad \theta=\mathrm{arctg}\left(\frac{3.606}{4}\right)=0.734\,\mathrm{rad}\qquad {\varphi}= -0.983\,\mathrm{rad}

4.2 De esféricas a otros sistemas

Ahora supongamos que nos dan un punto, en esféricas, de coordenadas

r=3\,\mathrm{m}\qquad \theta=\frac{\pi}{6}\,\mathrm{rad}\qquad{\varphi}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}

Este mismo punto, en cilíndricas, es

\rho=1.5\,\mathrm{m}\qquad {\varphi}=\frac{\pi}{4}\,\mathrm{rad}\qquad z =2.598\,\mathrm{m}

y en cartesianas

x=1.061\,\mathrm{m}\qquad y = 1.061\,\mathrm{m}\qquad z = 2.598\,\mathrm{m}

Dos detalles importantes:

  • Las coordenadas poseen unidades.
  • El que un punto se exprese de forma sencilla en un sistema no implica que sea simple en otro diferente.

5 Enlaces

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Relaci%C3%B3n_entre_los_distintos_sistemas_de_coordenadas"

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