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Propiedades de un sistema de tres partículas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Respecto al CM)
 
(12 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
==Enunciado==
==Enunciado==
-
Considere un sistema de tres partículas de masas <math>m_1=100\,\mathrm{g}</math>, <math>m_2=200\,\mathrm{g}</math>, <math>m_3=100\,\mathrm{g}</math> que en un instante dado están situadas en las posiciones de la figura y moviéndose con la velocidad indicada, siendo la rapidez de cada una de ellas <math>10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>. Suponga
+
Considere un sistema de tres partículas de masas <math>m_A=100\,\mathrm{g}</math>, <math>m_B=200\,\mathrm{g}</math>, <math>m_C=100\,\mathrm{g}</math> que en un instante dado están situadas en las posiciones de la figura y moviéndose con la velocidad indicada, siendo la rapidez de cada una de ellas <math>10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}</math>. Suponga
-
que la masa 1 y la 3 está unidas por un resorte de longitud natural nula y constante <math>k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math>. Para el instante indicado  
+
que la masa A y la C está unidas por un resorte de longitud natural nula y constante <math>k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}</math>. Para el instante indicado  
# Halle la posición del centro de masas (CM) del sistema.
# Halle la posición del centro de masas (CM) del sistema.
Línea 14: Línea 14:
==Posición del centro de masas==
==Posición del centro de masas==
-
La posición del centro de masas (CM) es la media ponderada de las tres posiciones
+
La posición del centro de masas (CM) es la media ponderada de las tres posiciones (que identificamos respectivamente como A, B y C)
-
<center><math>\vec{r}_G = \frac{m_1\vec{r}_1+m_2\vec{r}_2+m_3\vec{r}_3}{m_1+m_2+m_3}</math></center>
+
<center><math>\overrightarrow{OG} = \frac{m_A\overrightarrow{OA}+m_B\overrightarrow{OB}+m_C\overrightarrow{OC}}{m_A+m_B+m_C}</math></center>
Sustituyendo los diferentes valores
Sustituyendo los diferentes valores
-
<center><math>\vec{r}_G = \frac{100(0.04\vec{\jmath})+200(0.04\vec{\imath}+0.04\vec{\jmath})+400(0.044\vec{\imath})}{100+200+100}\,\mathrm{m}=(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath})\mathrm{cm}=(0.03\vec{\imath}+0.03\vec{\jmath})\mathrm{cm}</math></center>
+
<center><math>\overrightarrow{OG} = \frac{0.100(0.04\vec{\jmath})+0.200(0.04\vec{\imath}+0.04\vec{\jmath})+0.100(0.04\vec{\imath})}{0.100+0.200+0.100}\,\mathrm{m}=(0.03\vec{\imath}+0.03\vec{\jmath})\mathrm{m}=(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath})\mathrm{cm}</math></center>
==Cantidad de movimiento==
==Cantidad de movimiento==
La cantidad de movimiento de un sistema es la suma de la de cada una de las partículas que lo componen
La cantidad de movimiento de un sistema es la suma de la de cada una de las partículas que lo componen
-
<center><math>\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2+m_3\vec{v}_3</math></center>
+
<center><math>\vec{p}=m_A\vec{v}_A+m_B\vec{v}_B+m_C\vec{v}_C</math></center>
y su valor en este caso es
y su valor en este caso es
-
<center><math>\vec{p}=\left(100(-10\vec{\jmath})+200(-10\vec{\imath})+100(10\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(-2000\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}=\left(-0.02\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
+
<center><math>\vec{p}=\left(0.100(-0.10\vec{\jmath})+0.200(-0.10\vec{\imath})+0.100(0.10\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left(-0.02\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
A partir de la cantidad de movimiento podemos hallar la velocidad del CM dividiendo por la masa total
A partir de la cantidad de movimiento podemos hallar la velocidad del CM dividiendo por la masa total
-
<center><math>\vec{v}_G = \frac{\vec{p}}{M}=\left(\frac{-2000\vec{\imath}}{400}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}= \left(-5\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
+
<center><math>\vec{v}_G = \frac{\vec{p}}{M}=\left(\frac{-0.02\vec{\imath}}{0.400}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}= \left(-0.05\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left(-5\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}</math></center>
==Momento cinético==
==Momento cinético==
Línea 39: Línea 39:
El momento cinético es igual a la suma de los momentos cinéticos de las diferentes partículas respecto al mismo punto
El momento cinético es igual a la suma de los momentos cinéticos de las diferentes partículas respecto al mismo punto
-
<center><math>\vec{L}_O = m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2+m_3\vec{r}_3\times\vec{v}_3</math></center>
+
<center><math>\vec{L}_O = m_A\overrightarrow{OA}\times\vec{v}_A+m_B\overrightarrow{OB}\times\vec{v}_B+m_C\overrightarrow{OC}\times\vec{v}_C</math></center>
siendo cada uno
siendo cada uno
-
* <math>\vec{L}_1 = 100\,(4\vec{\jmath})\times(-10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=\vec{0}</math>
+
* <math>\vec{L}_A = 0.100\,(0.04\vec{\jmath})\times(-0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\vec{0}</math>
-
* <math>\vec{L}_2 = 200\,(4\vec{\imath}+4\vec{\jmath})\times(-10\vec{\imath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=\left(8000\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}</math>
+
* <math>\vec{L}_B = 0.200\,(0.04\vec{\imath}+0.04\vec{\jmath})\times(-0.10\vec{\imath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\left(8\times 10^{-4}\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math>
-
* <math>\vec{L}_3 = 100\,(4\vec{\imath})\times(10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=\left(4000\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}</math>
+
* <math>\vec{L}_C = 0.100\,(0.04\vec{\imath})\times(0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\left(4\times10^{-4}\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math>
lo que nos da el total
lo que nos da el total
-
<center><math>\vec{L}_O=\left(12000\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
+
<center><math>\vec{L}_O=\left(1.2\times 10^{-3}\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
Cada uno de los momentos individuales se puede hallar observando que en módulo cumplen
Cada uno de los momentos individuales se puede hallar observando que en módulo cumplen
Línea 55: Línea 55:
<center><math>|\vec{L}_i|=m_id_i |\vec{v}_i|</math></center>
<center><math>|\vec{L}_i|=m_id_i |\vec{v}_i|</math></center>
-
siendo <math>d_i</math> la distancia de O a la recta soporte de la velocidad (aquella que pasa por el punto y tiene la dirección de la velocidad). La dirección y el sentido de cada uno lo da la regla de la mano derecha.
+
siendo <math>d_i</math> la distancia de O a la recta soporte de la velocidad (aquella que pasa por el punto y tiene la dirección de la velocidad). La dirección y el sentido de cada uno lo da la regla de la mano derecha.  
===Respecto al CM===
===Respecto al CM===
El momento cinético se puede descomponer en una parte debida al movimiento con el CM más una parte debida al movimiento alrededor de éste
El momento cinético se puede descomponer en una parte debida al movimiento con el CM más una parte debida al movimiento alrededor de éste
-
<center><math>\vec{L}_O=M\vec{r}_G\times\vec{v}_G+\vec{L}^{\,,}</math></center>
+
<center><math>\vec{L}_O=M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G</math></center>
Podemos hallar el momento respecto al CM o bien empleando las posiciones y velocidades relativas
Podemos hallar el momento respecto al CM o bien empleando las posiciones y velocidades relativas
-
<center><math>\vec{L}^{\,,}=\sum_im_i\vec{r}_i^{\,,}\times\vec{v}^{\,,}_i</math></center>
+
<center><math>\vec{L}_G=\sum_im_i\overrightarrow{GP}_i\times(\vec{v}_i-\vec{v}_G)</math></center>
o bien despejando de la expresión anterior
o bien despejando de la expresión anterior
-
<center><math>\vec{L}^{\,,}=\vec{L}_O-M\vec{r}_G\times\vec{v}_G</math></center>
+
<center><math>\vec{L}_G=\vec{L}_O-M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G</math></center>
El momento cinético del sistema por moverse con el CM vale
El momento cinético del sistema por moverse con el CM vale
<center><math>
<center><math>
-
M\vec{r}_G\times\vec{v}_G = \vec{r}_G\times\vec{p}=\left(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath}\right)\times(-2000\vec{\imath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=(6000\vec{k})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
+
M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G = \overrightarrow{OG}\times\vec{p}=\left(0.03\vec{\imath}+0.03\vec{\jmath}\right)\times(-0.02\vec{\imath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=(6\times10^{-4}\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
por lo cual el momento cinético respecto al CM es la mitad del completo
por lo cual el momento cinético respecto al CM es la mitad del completo
-
<center><math>\vec{L}^{\,,}=\vec{L}_O-M\vec{r}_G\times\vec{v}_G=((12000-6000)\vec{k})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}=(6000\vec{k})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
+
<center><math>\vec{L}_G=\vec{L}_O-M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G=((12-6)\times 10^{-4}\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=(6\times 10^{-4}\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
==Energía cinética==
==Energía cinética==
Línea 82: Línea 82:
La energía cinética también es la suma de las individuales
La energía cinética también es la suma de las individuales
-
<center><math>K = \frac{1}{2}m_1|\vec{v}_1|^2+\frac{1}{2}m_2|\vec{v}_2|^2+\frac{1}{2}m_3|\vec{v}_3|^2</math></center>
+
<center><math>K = \frac{1}{2}m_A|\vec{v}_A|^2+\frac{1}{2}m_B|\vec{v}_B|^2+\frac{1}{2}m_C|\vec{v}_C|^2</math></center>
En este ejemplo, en que las tres partículas se mueven con la misma rapidez, el cálculo es inmediato
En este ejemplo, en que las tres partículas se mueven con la misma rapidez, el cálculo es inmediato
-
<center><math>K = \frac{1}{2}\left(100+200+100\right)(10)^2\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2} = 20000\,\mathrm{erg}</math></center>
+
<center><math>K = \frac{1}{2}\left(0.100+0.200+0,100\right)(0.10)^2\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} = 2\,\mathrm{mJ}</math></center>
-
 
+
-
siendo un ergio la unidad cegesimal de energía
+
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+
-
<center><math>1\,\mathrm{erg} = 1\,\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^2}=10^{-7}\mathrm{J}</math></center>
+
-
 
+
-
Empleando el SI para la energía cinética queda
+
-
 
+
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<center><math>K = 2\,\mathrm{mJ}</math></center>
+
===Respecto al CM===
===Respecto al CM===
Línea 103: Línea 95:
La energía cinética que tiene el sistema por moverse con el centro de masas es
La energía cinética que tiene el sistema por moverse con el centro de masas es
-
<center><math>\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2 = \frac{1}{2}(400)(5)^2\mathrm{erg}= 5000\,\mathrm{erg}=0.5\,\mathrm{mJ}</math></center>
+
<center><math>\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2 = \frac{1}{2}(0.400)(0.05)^2= 0.5\,\mathrm{mJ}</math></center>
que es la cuarta parte de la total. La energía cinética del movimiento alrededor del CM lo forman los ¾ restantes
que es la cuarta parte de la total. La energía cinética del movimiento alrededor del CM lo forman los ¾ restantes
-
<center><math>K' = K-\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2=15000\,\mathrm{erg}=1.5\,\mathrm{mJ}</math></center>
+
<center><math>K' = K-\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2=1.5\,\mathrm{mJ}</math></center>
==Aceleraciones==
==Aceleraciones==
Línea 114: Línea 106:
<center><math>\vec{a}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}</math></center>
<center><math>\vec{a}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}</math></center>
-
En este sistema no está sometida a fuerza alguna por lo que
+
En este sistema la masa 2 no está sometida a fuerza alguna por lo que
-
<center><math>\vec{a}_2 = \vec{0}</math></center>
+
<center><math>\vec{a}_B = \vec{0}</math></center>
-
mientras que la partícula 1 y la 3 está sometidas a una fuerza elástica, que cumple la ley de Hooke
+
mientras que la partícula 1 y la 3 están sometidas a una fuerza elástica, que cumple la ley de Hooke
-
<center><math>\vec{a}_1 = \frac{\vec{F}_{3\to 1}}{m_1}=\frac{-k(\vec{r}_1-\vec{r}_3)}{m_1}\qquad\qquad \vec{a}_3 = \frac{\vec{F}_{1\to 3}}{m_3}=\frac{-k(\vec{r}_3-\vec{r}_1)}{m_3}</math></center>
+
<center><math>\vec{a}_A = \frac{\vec{F}_{C\to A}}{m_A}=\frac{-k\overrightarrow{CA}}{m_A}\qquad\qquad \vec{a}_C = \frac{\vec{F}_{A\to C}}{m_C}=\frac{-k\overrightarrow{AC}}{m_C}</math></center>
siendo la constante del muelle
siendo la constante del muelle
-
<center><math>k = 100\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = 100\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}=100\,000\,\frac{\mathrm{g}}{\mathrm{cm}^2}</math></center>
+
<center><math>k = 100\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = 100\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}=</math></center>
-
Esto nos da, para la aceleración de la partícula 1
+
Esto nos da, para la aceleración de la partícula A
-
<center><math>\vec{a}_1=\frac{-100\,000(4\vec{\jmath}-4\vec{\imath})}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} =4000(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=40(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+
<center><math>\vec{a}_A=\frac{-100(0.04\vec{\jmath}-0.04\vec{\imath})}{0.100}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} =40(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
-
y para la partícula 3
+
y para la partícula C
-
<center><math>\vec{a}_3=\frac{-100\,000(4\vec{\imath}-4\vec{\jmath})}{100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} =4000(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=40(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}</math></center>
+
<center><math>\vec{a}_C=\frac{-100(0.04\vec{\imath}-0.04\vec{\jmath})}{0.100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} =40(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=</math></center>
 +
 
 +
Por ser internas todas las fuerzas, la suma de todas ellas es nula.
==Derivada del momento cinético==
==Derivada del momento cinético==
Línea 152: Línea 146:
En nuestro caso, las únicas fuerzas que existen son las fuerzas elásticas sobre las partículas 1 y 3, siendo sus respectivas potencias
En nuestro caso, las únicas fuerzas que existen son las fuerzas elásticas sobre las partículas 1 y 3, siendo sus respectivas potencias
-
<center><math>P_1 = \vec{F}_{3\to 1}\cdot\vec{v}_1 = 400\,000(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^3}=0.4\,\mathrm{W}</math></center>
+
<center><math>P_A = \vec{F}_{C\to A}\cdot\vec{v}_A = 4(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=0.4\,\mathrm{W}</math></center>
y
y
-
<center><math>P_3 = \vec{F}_{1\to 3}\cdot\vec{v}_3 = 400\,000(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\cdot(10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{g}\cdot\mathrm{cm}^2}{\mathrm{s}^3}=0.4\,\mathrm{W}</math></center>
+
<center><math>P_C = \vec{F}_{A\to C}\cdot\vec{v}_C = 4(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\cdot(0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=0.4\,\mathrm{W}</math></center>
-
Para la partícula 2 la potencia es nula. Esto nos da para la derivada de la energía cinética en ese instante
+
Para la partícula B la potencia es nula. Esto nos da para la derivada de la energía cinética en ese instante
<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=0.8\,\mathrm{W}</math></center>
<center><math>\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=0.8\,\mathrm{W}</math></center>
 +
 +
Dado que las fuerzas son conservativas, este incremento en la energía cinética equivale a una disminución en la potencial, de manera que la energía mecánica sí permanece constante.
[[Categoría:Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de dinámica de los sistemas de partículas (GIE)]]

última version al 21:59 4 ene 2021

Contenido

1 Enunciado

Considere un sistema de tres partículas de masas m_A=100\,\mathrm{g}, m_B=200\,\mathrm{g}, m_C=100\,\mathrm{g} que en un instante dado están situadas en las posiciones de la figura y moviéndose con la velocidad indicada, siendo la rapidez de cada una de ellas 10\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}. Suponga que la masa A y la C está unidas por un resorte de longitud natural nula y constante k=100\,\mathrm{N}/\mathrm{m}. Para el instante indicado

  1. Halle la posición del centro de masas (CM) del sistema.
  2. Calcule la cantidad de movimiento del sistema.
  3. Halle el momento cinético respecto al origen y respecto al CM.
  4. Calcule la energía cinética del sistema respecto a un sistema fijo y respecto al CM.
  5. Halle la aceleración de cada masa y la del CM.
  6. Halle la derivada respecto al tiempo del momento cinético (calculado respecto al origen).
  7. Calcule la derivada respecto al tiempo de la energía cinética del sistema (calculada respecto a un sistema fijo).
Archivo:tres-particulas-resorte.png

2 Posición del centro de masas

La posición del centro de masas (CM) es la media ponderada de las tres posiciones (que identificamos respectivamente como A, B y C)

\overrightarrow{OG} = \frac{m_A\overrightarrow{OA}+m_B\overrightarrow{OB}+m_C\overrightarrow{OC}}{m_A+m_B+m_C}

Sustituyendo los diferentes valores

\overrightarrow{OG} = \frac{0.100(0.04\vec{\jmath})+0.200(0.04\vec{\imath}+0.04\vec{\jmath})+0.100(0.04\vec{\imath})}{0.100+0.200+0.100}\,\mathrm{m}=(0.03\vec{\imath}+0.03\vec{\jmath})\mathrm{m}=(3\vec{\imath}+3\vec{\jmath})\mathrm{cm}

3 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de un sistema es la suma de la de cada una de las partículas que lo componen

\vec{p}=m_A\vec{v}_A+m_B\vec{v}_B+m_C\vec{v}_C

y su valor en este caso es

\vec{p}=\left(0.100(-0.10\vec{\jmath})+0.200(-0.10\vec{\imath})+0.100(0.10\vec{\jmath})\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left(-0.02\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

A partir de la cantidad de movimiento podemos hallar la velocidad del CM dividiendo por la masa total

\vec{v}_G = \frac{\vec{p}}{M}=\left(\frac{-0.02\vec{\imath}}{0.400}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}= \left(-0.05\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=\left(-5\vec{\imath}\right)\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}

4 Momento cinético

4.1 Respecto al origen

El momento cinético es igual a la suma de los momentos cinéticos de las diferentes partículas respecto al mismo punto

\vec{L}_O = m_A\overrightarrow{OA}\times\vec{v}_A+m_B\overrightarrow{OB}\times\vec{v}_B+m_C\overrightarrow{OC}\times\vec{v}_C

siendo cada uno

  • \vec{L}_A = 0.100\,(0.04\vec{\jmath})\times(-0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\vec{0}
  • \vec{L}_B = 0.200\,(0.04\vec{\imath}+0.04\vec{\jmath})\times(-0.10\vec{\imath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\left(8\times 10^{-4}\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}
  • \vec{L}_C = 0.100\,(0.04\vec{\imath})\times(0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=\left(4\times10^{-4}\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

lo que nos da el total

\vec{L}_O=\left(1.2\times 10^{-3}\,\vec{k}\right)\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

Cada uno de los momentos individuales se puede hallar observando que en módulo cumplen

|\vec{L}_i|=m_id_i |\vec{v}_i|

siendo di la distancia de O a la recta soporte de la velocidad (aquella que pasa por el punto y tiene la dirección de la velocidad). La dirección y el sentido de cada uno lo da la regla de la mano derecha.

4.2 Respecto al CM

El momento cinético se puede descomponer en una parte debida al movimiento con el CM más una parte debida al movimiento alrededor de éste

\vec{L}_O=M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G+\vec{L}_G

Podemos hallar el momento respecto al CM o bien empleando las posiciones y velocidades relativas

\vec{L}_G=\sum_im_i\overrightarrow{GP}_i\times(\vec{v}_i-\vec{v}_G)

o bien despejando de la expresión anterior

\vec{L}_G=\vec{L}_O-M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G

El momento cinético del sistema por moverse con el CM vale

M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G = \overrightarrow{OG}\times\vec{p}=\left(0.03\vec{\imath}+0.03\vec{\jmath}\right)\times(-0.02\vec{\imath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=(6\times10^{-4}\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

por lo cual el momento cinético respecto al CM es la mitad del completo

\vec{L}_G=\vec{L}_O-M\overrightarrow{OG}\times\vec{v}_G=((12-6)\times 10^{-4}\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}=(6\times 10^{-4}\vec{k})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

5 Energía cinética

5.1 Respecto a un sistema fijo

La energía cinética también es la suma de las individuales

K = \frac{1}{2}m_A|\vec{v}_A|^2+\frac{1}{2}m_B|\vec{v}_B|^2+\frac{1}{2}m_C|\vec{v}_C|^2

En este ejemplo, en que las tres partículas se mueven con la misma rapidez, el cálculo es inmediato

K = \frac{1}{2}\left(0.100+0.200+0,100\right)(0.10)^2\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^2} = 2\,\mathrm{mJ}

5.2 Respecto al CM

Para la energía cinética se aplica una descomposición similar a la del momento cinético

K = \frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2+K'

La energía cinética que tiene el sistema por moverse con el centro de masas es

\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2 = \frac{1}{2}(0.400)(0.05)^2= 0.5\,\mathrm{mJ}

que es la cuarta parte de la total. La energía cinética del movimiento alrededor del CM lo forman los ¾ restantes

K' = K-\frac{1}{2}M|\vec{v}_G|^2=1.5\,\mathrm{mJ}

6 Aceleraciones

La aceleración de cada partícula es, de acuerdo con la segunda ley de Newton

\vec{a}_i=\frac{\vec{F}_i}{m_i}

En este sistema la masa 2 no está sometida a fuerza alguna por lo que

\vec{a}_B = \vec{0}

mientras que la partícula 1 y la 3 están sometidas a una fuerza elástica, que cumple la ley de Hooke

\vec{a}_A = \frac{\vec{F}_{C\to A}}{m_A}=\frac{-k\overrightarrow{CA}}{m_A}\qquad\qquad \vec{a}_C = \frac{\vec{F}_{A\to C}}{m_C}=\frac{-k\overrightarrow{AC}}{m_C}

siendo la constante del muelle

k = 100\,\frac{\mathrm{N}}{\mathrm{m}} = 100\,\frac{\mathrm{kg}}{\mathrm{s}^2}=

Esto nos da, para la aceleración de la partícula A

\vec{a}_A=\frac{-100(0.04\vec{\jmath}-0.04\vec{\imath})}{0.100}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2} =40(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}^2}

y para la partícula C

\vec{a}_C=\frac{-100(0.04\vec{\imath}-0.04\vec{\jmath})}{0.100}\,\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2} =40(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\frac{\mathrm{cm}}{\mathrm{s}^2}=

Por ser internas todas las fuerzas, la suma de todas ellas es nula.

7 Derivada del momento cinético

La derivada del momento cinético respecto a un punto fijo O es la resultante del momento de las fuerzas externas aplicadas

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O

En este sistema, sin embargo, las únicas fuerzas que hay son internas, por lo que el momento cinético tiene derivada nula

\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{0}

y es constante.

8 Derivada de la energía cinética

Para la energía cinética, a diferencia del momento cinético, si debemos tener en cuenta las fuerzas internas, siendo

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=P=\sum_i\vec{F}_i\cdot\vec{v}_i

En nuestro caso, las únicas fuerzas que existen son las fuerzas elásticas sobre las partículas 1 y 3, siendo sus respectivas potencias

P_A = \vec{F}_{C\to A}\cdot\vec{v}_A = 4(\vec{\imath}-\vec{\jmath})\cdot(-0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=0.4\,\mathrm{W}

y

P_C = \vec{F}_{A\to C}\cdot\vec{v}_C = 4(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})\cdot(0.10\vec{\jmath})\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}^3}=0.4\,\mathrm{W}

Para la partícula B la potencia es nula. Esto nos da para la derivada de la energía cinética en ese instante

\frac{\mathrm{d}K}{\mathrm{d}t}=0.8\,\mathrm{W}

Dado que las fuerzas son conservativas, este incremento en la energía cinética equivale a una disminución en la potencial, de manera que la energía mecánica sí permanece constante.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Propiedades_de_un_sistema_de_tres_part%C3%ADculas"

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