Superposición de dos y tres señales
De Laplace
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===Segundo caso=== | ===Segundo caso=== | ||
| - | <math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)</math> | + | En el segundo caso |
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| + | <center><math>y_1= A \cos(\omega t - kx)\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)</math></center> | ||
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| + | se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria. | ||
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| + | Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno | ||
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| + | <math>y_2 = A \,\mathrm{sen}\,(\omega t+kx)=A\cos\left(\omega t + k x - \frac{\pi}{2}\right)</math> | ||
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| + | y la transformación de sumas en productos, lo que nos da | ||
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| + | <center><math>y=y_1+y_2=A \cos(\omega t - kx)+A\cos\left(\omega t + k x - \frac{\pi}{2}\right) = 2A\cos\left(k x - \frac{\pi}{4}\right)\cos\left(\omega t - \frac{\pi}{4}\right)</math></center> | ||
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| + | [[Imagen:seno+coseno-2.gif|left]]Esta es la ecuación de una onda estacionaria, con amplitud dependiente de la posición | ||
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| + | <center><math>A(x) = 2A\cos\left(k x - \frac{\pi}{4}\right)</math></center> | ||
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| + | que alcanza el valor máximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posición de los nodos y el desfase de la oscilación de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria. | ||
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===Tercer caso=== | ===Tercer caso=== | ||
<math>y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)</math> | <math>y_1= A\cos(\omega t - kx)\qquad y_2 = -2A\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\,\mathrm{sen}\,(k x)</math> | ||
Revisión de 21:32 10 mar 2009
Contenido |
1 Enunciado
Considere los casos de superposición siguientes
Para cada uno de los casos, determine la ecuación de la señal resultante, ¿es una onda viajera o una estacionaria?
2 Solución
2.1 Primer caso
Debemos sumar las señales
Ambas representan señales viajando hacia la izquierda, con la misma frecuencia, por lo que su suma será otra onda viajera, cuya amplitud dependerá del desfase.
Para sumarlas de forma sencilla las escribimos ambas como cosenos. Aplicando la relación trigonométrica
las señales quedan como
Aplicando ahora la relación
la superposición es
(aproximadamente vez y media de la amplitud de cada onda), y con un desfase inicial de π/4.
2.2 Segundo caso
En el segundo caso
se trata de sumar dos ondas de la misma amplitud pero que se propagan en direcciones diferentes. Por ello, su suma va a consistir en una onda estacionaria.
Como en el apartado anterior, escribimos el seno como un coseno
y la transformación de sumas en productos, lo que nos da
que alcanza el valor máximo de 2. Vemos que el efecto de introducir una fase simplemente traslada la posición de los nodos y el desfase de la oscilación de cada punto, pero produce el mismo efecto de onda estacionaria.
2.3 Tercer caso
2.4 Cuarto caso
