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No Boletín - Eje central (Ex.Ene/19)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto)
(→Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto)
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\begin{array}{lll}
\begin{array}{lll}
-
\overrightarrow{AB}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{5}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\left(\,-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
+
\overrightarrow{AB}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{5}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
-
\overrightarrow{AC}=\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}=\left(\,-\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
+
\overrightarrow{AC}=\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}=\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
\overrightarrow{AD}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{11}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_D=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AD}=\left(\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{16}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
\overrightarrow{AD}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{11}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_D=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AD}=\left(\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{16}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\
\overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_E=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{20}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+4\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\
\overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_E=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{20}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+4\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\

Revisión de 21:19 29 mar 2019

Contenido

1 Enunciado

Sea un sólido rígido en movimiento instantáneo. La velocidad angular es \vec{\omega}=(2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}\,, la velocidad de deslizamiento (segundo invariante) es v_d=-2\,\,\mathrm{m/s}\,, y la velocidad del punto A(2,1,2)\,\,\mathrm{m}\, es \vec{v}_{\! A}=(v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m/s}\,.

  1. ¿Cuánto vale la componente x\, de la velocidad del punto A\,?
  2. ¿Cuál es el valor (en \mathrm{m/s}\,) de la velocidad de los puntos del eje central del campo de velocidades?
  3. ¿Cuál de los siguientes puntos pertenece a dicho eje central?
B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, C\left(\displaystyle\frac{8}{3},0,-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, D\left(0,-\displaystyle\frac{8}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, E\left(\displaystyle\frac{4}{3},\displaystyle\frac{4}{3},0\right)\,\mathrm{m}

2 Componente x de la velocidad del punto A

La velocidad de deslizamiento v_d\, (segundo invariante) es la proyección de la velocidad de cualquier punto sobre la velocidad angular. Por tanto, conocidas la velocidad de deslizamiento v_d\,, la velocidad angular \vec{\omega}\, y dos componentes de la velocidad \vec{v}_{\! A}\,, es posible deducir la componente de \vec{v}_{\! A}\, que falta a partir de la definición de la velocidad de deslizamiento:

v_d=\frac{\vec{v}_{\! A}\cdot\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\frac{(\,v_x\,\vec{\imath}\,-2\,\vec{\jmath}\,+4\,\vec{k}\,)\cdot(\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,)}{|\,2\,\vec{\imath}-\vec{\jmath}+2\,\vec{k}\,|}=\frac{2\,v_x+10}{3}=-2\,\,\mathrm{m/s}\,\,\,\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,\,\,\,v_x=-8\,\,\mathrm{m/s}

3 Velocidad de los puntos del eje central

La velocidad de los puntos del eje central es precisamente la velocidad mínima (de módulo mínimo) de todo el campo de velocidades, y se determina mediante la siguiente fórmula que ha sido deducida en la teoría:

\vec{v}^{\,\mathrm{min}}=v_d\,\displaystyle\frac{\vec{\omega}}{|\,\vec{\omega}\,|}=\left(-\;\!\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}\;\!+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}\;\!-\;\!\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\,\mathrm{m/s}

4 Punto perteneciente al eje central. Primer método: cálculo de la velocidad del punto

Mediante la ecuación del campo de velocidades del sólido rígido, se calculan las velocidades de los puntos B\,, C\,, D\, y E\,:

\begin{array}{lll} \overrightarrow{AB}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{5}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_B=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}=\left(-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{4}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AC}=\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}-\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_C=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AC}=\left(-\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+6\,\vec{\jmath}+\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AD}=\left(-2\,\vec{\imath}-\displaystyle\frac{11}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{10}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}& \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, &\vec{v}_D=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AD}=\left(\displaystyle\frac{8}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}-\displaystyle\frac{16}{3}\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \\ \overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{1}{3}\,\vec{\jmath}-2\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m} & \,\,\longrightarrow\,\,\,\,\, & \vec{v}_E=\vec{v}_A+\vec{\omega}\times\overrightarrow{AE}=\left(-\displaystyle\frac{20}{3}\,\vec{\imath}+\displaystyle\frac{2}{3}\,\vec{\jmath}+4\,\vec{k}\,\right)\,\mathrm{m}/\mathrm{s} \\ \end{array}

Si un punto pertenece al eje central, su velocidad es necesariamente la velocidad mínima \vec{v}^{\,\mathrm{min}}\, calculada en el apartado anterior. Comprobamos que tal cosa sólo ocurre para el punto B\,, el cual es por tanto la respuesta correcta.

5 Punto perteneciente al eje central. Segundo método: determinación del eje central

Partiendo del conocimiento de la reducción cinemática \{\vec{\omega},\vec{v}_A\}\,, es posible determinar el eje central. En efecto: aplicando la ecuación vectorial del eje central, obtenemos el vector de posición de un punto genérico I\, del eje central:

\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\overrightarrow{AI}=\overrightarrow{OA}\,+\,\frac{\vec{\omega}\times\vec{v}_A}{|\,\vec{\omega}\,|^2}\,+\,\lambda\,\vec{\omega}=\left[\,\left(2\,+\,2\lambda\right)\vec{\imath}\,+\left(-\displaystyle\frac{5}{3}\,-\,\lambda\right)\vec{\jmath}\,+\left(\,\displaystyle\frac{2}{3}\,+\,2\lambda\right)\vec{k}\,\right]\,\mathrm{m}

Por tanto, las coordenadas de un punto genérico I\, del eje central en el triedro OXYZ de referencia son:

I\left(2+2\lambda\,,-\,\displaystyle\frac{5}{3}-\lambda\,,\,\frac{2}{3}+2\lambda\right)\,\mathrm{m}

Comparando esta terna \,\lambda-paramétrica de coordenadas con las ternas de los cuatro puntos propuestos en el enunciado, deducimos que el único punto que pertenece al eje central es el punto B\,. En efecto: B\left(0,-\displaystyle\frac{2}{3},-\displaystyle\frac{4}{3}\right)\,\mathrm{m}\, es el punto del eje central correspondiente a \lambda=-1\,.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Eje_central_(Ex.Ene/19)"

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