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Movimiento oscilatorio

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Oscilaciones amortiguadas y forzadas)
(→Oscilaciones forzadas)
Línea 48: Línea 48:
\gamma=b/2&&&\omega_0^2=k/m
\gamma=b/2&&&\omega_0^2=k/m
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El parámetro <math>\gamma</math> indica la intensidad del rozamiento y <math>\omega_0</math> es la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento. Recibe el nombre de '''frecuencia natural'''.
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====Soluciones de la ecuación diferencial ====
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La ecuación que determina el movimiento de la masa es la del oscilador armónico con un término añadido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento al que está sometida la masa. Es una ecuación diferencial de coeficientes constantes. La técnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones de la forma
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La idea es que al derivar esta función el resultado es ella misma multiplicada por el parámetro <math>\lambda</math>. Tenemos
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x(t)=Ae^{\lambda t},& &\dot{x}(t)=A\lambda e^{\lambda t}, & &
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Sustituyendo en la ecuación, podemos eliminar el factor común <math>Ae^{\lambda t}</math>, pues es siempre distinto de cero. Con ello obtenemos la ecuación que debe cumplir <math>\lambda</math> para que x(t) sea solución
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\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2=0
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\lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}
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Obtenemos dos posibles valores de <math>\lambda</math>. La solución general es una combinación lineal de las dos funciones definidas por estos dos posibles valores
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x(t) = A_+e^{\lambda_+t}+A_-e^{\lambda_-t}
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Aquí, <math>\lambda_+</math> corersponde a la solución con la raíz positiva y <math>\lambda_-</math> a la solución con la raíz negativa.
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El comportamiento de la solución depende de como es el radicando de la ecuación de segundo grado. Examinemos cada uno de los casos.
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=====Caso <math> \omega_0^2>\gamma^2</math> =====
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Cuando se cumple esta condición el radicando es negativo, con lo cual la raíz cuadrada es un número imaginario puro. Si definimos <math>\omega^2=\omega_0^2-\gamma^2>0</math>, los valores de <math>\lambda</math> quedan
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\lambda_{\pm}(t)=-\gamma\pm j \omega=-\gamma\pm j\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}
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siendo <math>j=\sqrt{-1}</math>la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación es de la forma
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x(t)=A_+e^{(-\gamma+j\omega)t}+A_-e^{(-\gamma-j\omega)t}=
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e^{-\gamma t}\left(A_+e^{j\omega t}+A_-e^{-j\omega t}\right)
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Los coeficientes <math>A_+</math>, <math>A_-</math> deben ser tales que <math>x(t)</math> sea real. Recordando que según la fórmula de Euler
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e^{j\alpha}=\cos(\alpha)+j\mathrm{sen}(\alpha)
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vemos que la solución general se puede escribir como
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e^{-\gamma t}\left(a_1+cos(\omega t)+a_2\mathrm{sen}(\omega t)\right)
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Revisión de 15:05 6 mar 2009

Contenido

1 Movimiento oscilatorio

2 Movimiento armónico simple

3 Representación matemática del MAS: fase, periodo y frecuencia

4 Energía del MAS

5 Sistemas oscilantes: péndulo simple y péndulo físico

6 Oscilaciones amortiguadas y forzadas

6.1 Oscilaciones forzadas

Consideremos el caso de una masa m unida a un muelle de consntante recuperadora k y longitud natural nula,y sometida además a una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad. En este caso, las fuerzas que actúan sobre la masa son la fuerza recuperadora del muelle y la fuerza de rozamiento

\begin{array}{lcr} \mathbf{F}_k=-k\mathbf{r}&& \mathbf{F}_v=-b\mathbf{v} \end{array}

El coeficiente b indica la intensidad de la fuerza del rozamiento. El signo negativo indica que esta fuerza se opone siempre a la velocidad.

Si suponemos que el movimiento se produce en una dimensión, escogiendo el eje X a lo largo de la dirección del movimiento podemos expresar las fuerzas como

\begin{array}{lcr} F_k=-kx&& F_v=-b\dot{x} \end{array}

El movimiento de la masa viene determinado por la Segunda Ley de Newton

m\ddot{x}=F_k+F_v=-kx-b\dot{x}

Reordenamos los términos de la ecuación y la escribimos

\ddot{x}+2\gamma\dot{x}+\omega_0^2x=0

siendo

\begin{array}{lccr} \gamma=b/2&&&\omega_0^2=k/m \end{array}

El parámetro γ indica la intensidad del rozamiento y ω0 es la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento. Recibe el nombre de frecuencia natural.

6.1.1 Soluciones de la ecuación diferencial

La ecuación que determina el movimiento de la masa es la del oscilador armónico con un término añadido proporcional a la velocidad, que representa el rozamiento al que está sometida la masa. Es una ecuación diferencial de coeficientes constantes. La técnica para resolver este tipo de ecuaciones es buscar soluciones de la forma

x(t) = Aeλt

La idea es que al derivar esta función el resultado es ella misma multiplicada por el parámetro λ. Tenemos

\begin{array}{ccccc} x(t)=Ae^{\lambda t},& &\dot{x}(t)=A\lambda e^{\lambda t}, & & \ddot{x}(t)=A\lambda^2 e^{\lambda t}. \end{array}

Sustituyendo en la ecuación, podemos eliminar el factor común Aeλt, pues es siempre distinto de cero. Con ello obtenemos la ecuación que debe cumplir λ para que x(t) sea solución

\lambda^2 + 2\gamma \lambda + \omega_0^2=0 \Rightarrow \lambda=-\gamma\pm\sqrt{\gamma^2-\omega_0^2}

Obtenemos dos posibles valores de λ. La solución general es una combinación lineal de las dos funciones definidas por estos dos posibles valores

x(t) = A_+e^{\lambda_+t}+A_-e^{\lambda_-t}

Aquí, λ + corersponde a la solución con la raíz positiva y λ − a la solución con la raíz negativa.

El comportamiento de la solución depende de como es el radicando de la ecuación de segundo grado. Examinemos cada uno de los casos.

6.1.1.1 Caso \omega_0^2>\gamma^2

Cuando se cumple esta condición el radicando es negativo, con lo cual la raíz cuadrada es un número imaginario puro. Si definimos \omega^2=\omega_0^2-\gamma^2>0, los valores de λ quedan

\lambda_{\pm}(t)=-\gamma\pm j \omega=-\gamma\pm j\sqrt{\omega_0^2-\gamma^2}

siendo j=\sqrt{-1}la unidad imaginaria. La solución general de la ecuación es de la forma

x(t)=A_+e^{(-\gamma+j\omega)t}+A_-e^{(-\gamma-j\omega)t}= e^{-\gamma t}\left(A_+e^{j\omega t}+A_-e^{-j\omega t}\right)

Los coeficientes A + , A − deben ser tales que x(t) sea real. Recordando que según la fórmula de Euler

ejα = cos(α) + jsen(α)

vemos que la solución general se puede escribir como

x(t)= e^{-\gamma t}\left(a_1+cos(\omega t)+a_2\mathrm{sen}(\omega t)\right)

7 Problemas

Artículo completo: Problemas de movimiento oscilatorio
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Movimiento_oscilatorio"

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