Partícula en montaña rusa (GIE)
De Laplace
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| - | Una masa m de peso 10& | + | Una masa m de peso 10 N puede deslizar sin rozamiento por una pista al estilo de una montaña rusa formada por un plano inclinado de pendiente tg(β) = 4/3, seguida de un valle en forma de arco de circunferencia que mide 8 m en línea recta (lo que se denomina “la cuerda”) y 2m de profundidad (lo que sería “la flecha”). Esta depresión es seguida por una cresta también en forma de arco de circunferencia de 8m de cuerda y 2m de flecha. |
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# Determine la altura máxima H desde la cual se puede soltar la masa si no se desea que salga volando al llegar a la cima de la cresta, B. | # Determine la altura máxima H desde la cual se puede soltar la masa si no se desea que salga volando al llegar a la cima de la cresta, B. | ||
# Para la altura máxima anterior, calcule la reacción normal de la superficie cuando la masa pasa por el fondo del valle, A. | # Para la altura máxima anterior, calcule la reacción normal de la superficie cuando la masa pasa por el fondo del valle, A. | ||
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| - | + | En el punto B las fuerzas son perpendiculares a la trayectoria por lo que toda la aceleración es normal | |
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| + | <center><math>F_n - mg = -m\frac{v_B^2}{R}</math></center> | ||
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| + | El valor máximo de H es el que hace <math>F_n=0</math> | ||
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| + | <center><math>F_n=0\qquad\Rightarrow\qquad mg = m\frac{v_B^2}{R}</math></center> | ||
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| + | La rapidez al cuadrado sale de la conservación de la energía mecánica | ||
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| + | <center><math>mgH = \frac{1}{2}m v^2_B + mgh \qquad\Rightarrow\qquad mv_B^2 = 2mg(H-h)</math></center> | ||
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| + | Por tanto | ||
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| + | <center><math>mg = \frac{2mg(H-h)}{R}\qquad\Rightarrow\qquad H = h + \frac{R}{2}</math></center> | ||
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| + | <math>h = 2\,\mathrm{m}</math> y R sale de aplicar el teorema de Pitágoras | ||
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| + | <center><math>(R-2)^2 + 4^2 = R^2 \qquad\Rightarrow \qquad R = 5\,\mathrm{m}</math></center> | ||
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| + | Por tanto | ||
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| + | <center><math>H = 2\,\mathrm{m}+\frac{5\,\mathrm{m}}{2}=4.5\,\mathrm{m}</math></center> | ||
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| + | ==Reacción en el punto más bajo== | ||
| + | Ahora la reacción normal va hacia arriba | ||
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| + | <center><math>F_n - mg = \frac{mv_A^2}{R}\qquad\Rightarrow\qquad F_n = mg + \frac{mv_A^2}{R}</math></center> | ||
| + | |||
| + | Por conservación de la energía, como antes, | ||
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| + | <center><math>mv_A^2 = 2mg(H+h)\,</math></center> | ||
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| + | y por tanto | ||
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| + | <center><math>F_n = mg\left(1+\frac{2(H+h)}{R}\right)=10\,\mathrm{N}\left(1+\frac{2(4.5+2)}{5}\right)=36\,\mathrm{N}</math></center> | ||
última version al 00:13 4 dic 2018
1 Enunciado
Una masa m de peso 10 N puede deslizar sin rozamiento por una pista al estilo de una montaña rusa formada por un plano inclinado de pendiente tg(β) = 4/3, seguida de un valle en forma de arco de circunferencia que mide 8 m en línea recta (lo que se denomina “la cuerda”) y 2m de profundidad (lo que sería “la flecha”). Esta depresión es seguida por una cresta también en forma de arco de circunferencia de 8m de cuerda y 2m de flecha.
- Determine la altura máxima H desde la cual se puede soltar la masa si no se desea que salga volando al llegar a la cima de la cresta, B.
- Para la altura máxima anterior, calcule la reacción normal de la superficie cuando la masa pasa por el fondo del valle, A.
2 Altura máxima
En el punto B las fuerzas son perpendiculares a la trayectoria por lo que toda la aceleración es normal
El valor máximo de H es el que hace Fn = 0
La rapidez al cuadrado sale de la conservación de la energía mecánica
Por tanto
y R sale de aplicar el teorema de Pitágoras
Por tanto
3 Reacción en el punto más bajo
Ahora la reacción normal va hacia arriba
Por conservación de la energía, como antes,
y por tanto
