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Colisión en tiro parabólico

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 12: Línea 12:
Tómese g = 10m/s². Desprecie el rozamiento con el aire. Suponga que el proyectil y el blanco son partículas puntuales.
Tómese g = 10m/s². Desprecie el rozamiento con el aire. Suponga que el proyectil y el blanco son partículas puntuales.
==Velocidad inicial==
==Velocidad inicial==
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En todo lo que sigue, se emplearan las unidades fundamentales del SI (distancias en m, tiempos en s, masas en kg) y productos de ellas.
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Por ser un tiro parabólico, el movimiento horizontal es uniforme
Por ser un tiro parabólico, el movimiento horizontal es uniforme
Línea 52: Línea 54:
<center><math>\beta=\mathrm{arctg}\left(\frac{v_{y0}}{v_{x0}}\right)=\mathrm{arctg}\left(\frac{4}{3}\right)=0.927\,\mathrm{rad}=53.13^\circ</math></center>
<center><math>\beta=\mathrm{arctg}\left(\frac{v_{y0}}{v_{x0}}\right)=\mathrm{arctg}\left(\frac{4}{3}\right)=0.927\,\mathrm{rad}=53.13^\circ</math></center>
==Colisión elástica==
==Colisión elástica==
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En el momento que impacta, el proyectil ha perdido su velocidad vertical, pero conserva la horizontal. Justo antes de la colisión, en m/s
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<center><math>\vec{v}_{1i}=\left(15\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\vec{\imath}</math></center>
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En la colisión se conserva la cantidad de movimiento, por tanto, en el SI
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<center><math>0.2\times 15 = 0.2v_{1f}+0.8v_{2f}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1f}+4v_{2f}=15</math></center>
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y por ser una colisión elástica, el coeficiente de restitución vale la unidad
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<center><math>1 = \frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}=\frac{v_{2f}-v_{1f}}{15}\qquad\Rightarrow\qquad -v_{1f}+v_{2f}=15</math></center>
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Del sistema de ecuaciones, sumando
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<center><math>5v_{2f}=30\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_{2f}=\left(6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\vec{\imath}</math></center>
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y
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<center><math>\vec{v}_{1f}=\left(-9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\vec{\imath}</math></center>
==Colisión inelástica==
==Colisión inelástica==

Revisión de 22:20 7 sep 2018

Contenido

1 Enunciado

En un videojuego que reproduce correctamente las leyes de la física, es preciso golpear una masa de 0.80 kg encajada entre un bloque fijo por abajo y uno idéntico por arriba, de manera que la única forma de sacarlo es mediante un golpe horizontal. Para ello se dispone de un cañón que lanza un proyectil de 0.20kg desde un punto situado a 30m en la horizontal y 20m en la vertical.

  1. Calcule la velocidad inicial que debe tener el proyectil para impactar el blanco de forma horizontal. ¿Cuánto vale la rapidez inicial? ¿Qué ángulo debe formar la velocidad inicial con el suelo?
  2. Suponiendo que la colisión es elástica, halle
    1. Las velocidades del proyectil y el blanco justo tras la colisión
    2. Las posiciones donde proyectil y blanco impactan con el suelo.
    3. La proporción de la energía mecánica inicial que tiene el proyectil y la que tiene el blanco en el momento del impacto con el suelo. Tómese este suelo como origen de la energía potencial.
  3. Suponiendo ahora que la colisión es completamente inelástica, de forma que el proyectil queda empotrado en el blanco, halle:
    1. La velocidad del conjunto justo tras la colisión
    2. La posición donde impacta con el suelo.
    3. La proporción de la energía mecánica inicial que se ha perdido desde el lanzamiento al impacto final.

Tómese g = 10m/s². Desprecie el rozamiento con el aire. Suponga que el proyectil y el blanco son partículas puntuales.

2 Velocidad inicial

En todo lo que sigue, se emplearan las unidades fundamentales del SI (distancias en m, tiempos en s, masas en kg) y productos de ellas.

Por ser un tiro parabólico, el movimiento horizontal es uniforme

x=v_{x0}t\qquad\qquad v_x=v_{x0}

y el vertical es uniformemente acelerado

y=v_{y0}t-\frac{1}{2}gt^2\qquad\qquad v_y=v_{y0}-gt

El impacto debe producirse cuando vy = 0, lo que ocurre en

v_y=0\qquad\Rightarrow\qquad t_1=\frac{v_{y0}}{g}

En ese momento la altura debe ser h, la del blanco. Sustituimos t por t1

h = v_{y0}t_1-\frac{1}{2}gt_1^2 \qquad\Rightarrow\qquad h = \frac{v_{y0}^2}{2g}

y por tanto

v_{y0}=\sqrt{2gh}

A este resultado también se llega por conservación de la energía. El valor numérico es

v_{y0}=\sqrt{2\times 10\times 20}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=20\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

La velocidad horizontal sale de que en el mismo tiempo debe recorrer la distancia horizontal b = 30\,\mathrm{m}

b = v_{x0}t_1\qquad\Rightarrow\qquad v_{x0} = \frac{b}{t_1}=\frac{bg}{v_{y0}}=\frac{30\times 10}{20}=15\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

El vector velocidad inicial es entonces

\vec{v}_0=\left(15\vec{\imath}+20\vec{\jmath}\right)\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

siendo la rapidez inicial

|\vec{v}_0|=\sqrt{15^2+20^2}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}=25\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y el ángulo de lanzamiento

\beta=\mathrm{arctg}\left(\frac{v_{y0}}{v_{x0}}\right)=\mathrm{arctg}\left(\frac{4}{3}\right)=0.927\,\mathrm{rad}=53.13^\circ

3 Colisión elástica

En el momento que impacta, el proyectil ha perdido su velocidad vertical, pero conserva la horizontal. Justo antes de la colisión, en m/s

\vec{v}_{1i}=\left(15\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\vec{\imath}

En la colisión se conserva la cantidad de movimiento, por tanto, en el SI

0.2\times 15 = 0.2v_{1f}+0.8v_{2f}\qquad\Rightarrow\qquad v_{1f}+4v_{2f}=15

y por ser una colisión elástica, el coeficiente de restitución vale la unidad

1 = \frac{v_{2f}-v_{1f}}{v_{1i}-v_{2i}}=\frac{v_{2f}-v_{1f}}{15}\qquad\Rightarrow\qquad -v_{1f}+v_{2f}=15

Del sistema de ecuaciones, sumando

5v_{2f}=30\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}_{2f}=\left(6\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\vec{\imath}

y

\vec{v}_{1f}=\left(-9\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}\right)\vec{\imath}

4 Colisión inelástica

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Colisi%C3%B3n_en_tiro_parab%C3%B3lico"

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