Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Esfera cargada con hueco relleno (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 78: Línea 78:
El trabajo vale por consiguiente
El trabajo vale por consiguiente
-
<center><math>W_{B\to C} =q((V_{+}(C)+V_(C))-(V_+(B)+V_-(B)))=q\left(\left(\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(2R)}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(3R)}\right)+\left(\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(2R)}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(R)}\right)=\frac{4q_0}{3\pi\varepsilon_0R}</math></center>
+
<center><math>W_{B\to C} =q((V_{+}(C)+V_(C))-(V_+(B)+V_-(B)))=q\left(\left(\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(2R)}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(3R)}\right)+\left(\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(2R)}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(R)}\right)\right)=\frac{4q_0}{3\pi\varepsilon_0R}</math></center>
==Trabajo de B a O==
==Trabajo de B a O==
==Momento dipolar==
==Momento dipolar==
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]]

Revisión de 12:37 7 abr 2018

Contenido

1 Enunciado

Una esfera de radio 2R posee un hueco también esférico de radio R cuyo centro se encuentra a una distancia R del centro de la esfera grande. La esfera grande almacena una carga + 7q0 distribuida uniformemente en su volumen, mientras que en el hueco hay una carga − 7q0 también distribuida uniformemente.

  1. Halle el campo eléctrico en los puntos O, B, C, A y D marcados en la figura. A es el centro de la esfera negativa y D es equidistante de O y A.
  2. Calcule el trabajo para mover una carga puntual q desde el punto B al punto C, diametralmente opuesto.
  3. Calcule el trabajo para mover la misma carga desde el punto B hasta el punto O.
  4. En puntos exteriores a la esfera y alejados de ella, el sistema se ve como un dipolo. ¿Cuánto vale el momento dipolar eléctrico de este dipolo?

2 Campo eléctrico

El campo eléctrico se halla por superposición. Tenemos una distribución de carga positiva de densidad

\rho_1=\frac{Q_1}{V_1}=\frac{7q_0}{(4\pi/3)((2R)^3-R^3)}=\frac{3q_0}{4\pi R^3}=\rho_0

y una negativa

\rho_2=\frac{Q_2}{V_2}=\frac{-7q_0}{(4\pi/3)(R^3)}=-\frac{21q_0}{4\pi R^3}=-7\rho_0

Sin embargo, si tratamos de superponer simplemente las dos contribuciones encontramos que la de la carga positiva no es una esfera completa sino una esfera con hueco. Este sistema se analiza en otro problema y requiere usar de nuevo el principio de superposición.

Es más sencillo considerar directamente este problema como la superposición de dos esferas:

  • Una esfera de radio 2R centrada en O y densidad de carga ρ0. Esto implica que hemos rellenado el hueco con una densidad
\rho_+=\rho_0\,
La carga de esta esfera completa de radio 2R sería
Q_+=\rho_+ \left(\frac{4\pi}{3}(2R)^3\right)=8q_0
  • Una esfera de radio R, centrada en A y de densidad de carga
\rho_-=(\rho_2-\rho_1)=-8\rho_0\,
es decir, la esfera de carga negativa que ya tenemos más una adicional para compensar lo que hemos añadido a la esfera positiva. La carga de esta segunda esfera es
Q_-=\rho_- \left(\frac{4\pi}{3}R^3\right)=-8q_0

El campo creado por una esfera de radio a cargada uniformemente en volumen con una carga Q es, para todo punto del espacio

\vec{E}(\vec{r})=\begin{cases}\dfrac{Qr}{4\pi\varepsilon_0 a^3}\vec{u}_r & (r\leq a) \\ & \\ \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r^2}\vec{u}_r & (r\geq a)\end{cases}

siendo r la distancia al centro de la esfera y \vec{u}_r el unitario radial desde el centro de la esfera

\vec{r}=\overrightarrow{CP}\qquad\qquad r=\left|\overrightarrow{CP}\right|\qquad\qquad \vec{u}_r = \dfrac{\overrightarrow{CP}}{\left|\overrightarrow{CP}\right|}

A partir de aquí, podemos hallar el campo en cada punto

2.1 En el punto O

El punto O es el centro de la esfera positiva (por lo que el campo de ésta es nulo en este punto) y está en el borde de la esfera negativa, a una distancia R de su centro. El unitario radial desde el centro de la esfera negativa es -\vec{\imath}. Por tanto

\vec{E}_O=\vec{0}+\frac{Q_-}{4\pi\varepsilon_0 R^2}(-\vec{\imath})=\frac{2q_0}{\pi\varepsilon_0}\vec{\imath}

2.2 En el punto B

El punto B se halla en el borde de ambas esferas, a distancias 2R y R de sus centros respectivos, siendo el unitario radial +\vec{\imath} para ambas. Esto nos da el campo

\vec{E}_B=\frac{Q_+}{4\pi\varepsilon_0(2R)^2}\vec{\imath}+\frac{Q_-}{4\pi\varepsilon_0R^2}\vec{\imath}=\left(\frac{8q_0}{16\pi\varepsilon_0 R^2}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0R^2}\right)\vec{\imath}=-\frac{3q_0}{2\pi\varepsilon_0R^2}\vec{\imath}

2.3 En el punto C

El punto C se halla en el exterior de ambas esferas, a distancias 2R y 3R de cada centro, siendo el unitario radial -\vec{\imath} en ambos casos

\vec{E}_B=\frac{Q_+}{4\pi\varepsilon_0(2R)^2}(-\vec{\imath})+\frac{Q_-}{4\pi\varepsilon_0(3R)^2}(-\vec{\imath})=\left(\frac{8q_0}{16\pi\varepsilon_0 R^2}-\frac{8q_0}{36\pi\varepsilon_0R^2}\right)(-\vec{\imath})=-\frac{5q_0}{18\pi\varepsilon_0R^2}\vec{\imath}

2.4 En el punto A

El punto A se encuentra en el centro de la esfera negativa, por lo que el campo debida a ésta es nulo. A se halla en el interior de la esfera positiva, por lo que hay que emplear la expresión del campo interior para esta esfera

\vec{E}_A=\frac{Q_+}{4\pi\varepsilon_0(2R)^3}R\vec{\imath}+\vec{0}=\frac{q_0}{4\pi\varepsilon_0R^2}\vec{\imath}

2.5 En el punto D

El punto D es interior a ambas esferas. El vector unitario radial es +\vec{\imath} para la esfera positiva y -\vec{\imath} para la negativa. D se halla a una distancia (R/2) de cada uno de los centros. Por tanto

\vec{E}_D=\frac{Q_+}{4\pi\varepsilon_0(2R)^3}\left(\frac{R}{2}\right)\vec{\imath}+\frac{Q_-}{4\pi\varepsilon_0R^3}\left(\frac{R}{2}\right)(-\vec{\imath})=\frac{3q_0}{2\pi\varepsilon_0R^2}\vec{\imath}

3 Trabajo de B a C

El trabajo para mover una carga q desde B a C lo podemos mediante la diferencia de potencial entre ambos puntos

W_{B\to C}=q(V(C)-V(B))\,

El potencial en cada punto es la suma de los debidos a las dos esferas.

A su vez, ambos puntos, B y C se hallan en el exterior de las dos esferas, por lo que el potencial de cada una equivale al de una carga puntual situada en su centro.

El trabajo vale por consiguiente

W_{B\to C} =q((V_{+}(C)+V_(C))-(V_+(B)+V_-(B)))=q\left(\left(\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(2R)}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(3R)}\right)+\left(\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(2R)}-\frac{8q_0}{4\pi\varepsilon_0(R)}\right)\right)=\frac{4q_0}{3\pi\varepsilon_0R}

4 Trabajo de B a O

5 Momento dipolar

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Esfera_cargada_con_hueco_relleno_(GIE)"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Aviso legal - Acerca de Laplace