Esfera cargada con hueco relleno (GIE)
De Laplace
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| - | Una esfera de radio 2R posee un hueco también esférico de radio R cuyo centro se encuentra a una distancia R del centro de la esfera grande. La esfera grande almacena una carga +7q_0 distribuida uniformemente en su volumen, mientras que en el hueco hay una carga -7q_0 también distribuida uniformemente. | + | Una esfera de radio <math>2R</math> posee un hueco también esférico de radio R cuyo centro se encuentra a una distancia <math>R</math> del centro de la esfera grande. La esfera grande almacena una carga <math>+7q_0</math> distribuida uniformemente en su volumen, mientras que en el hueco hay una carga <math>-7q_0</math> también distribuida uniformemente. |
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==Campo eléctrico== | ==Campo eléctrico== | ||
| + | El campo eléctrico se halla por superposición. Tenemos una distribución de carga positiva de densidad | ||
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| + | <center><math>\rho_1=\frac{Q_1}{V_1}=\frac{7q_0}{(4\pi/3)((2R)^3-R^3)}=\frac{3q_0}{4\pi R^3}=\rho_0</math></center> | ||
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| + | <center><math>\rho_2=\frac{Q_2}{V_2}=\frac{-7q_0}{(4\pi/3)(R^3)}=-\frac{21q_0}{4\pi R^3}=-7\rho_0</math></center> | ||
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| + | Sin embargo, si tratamos de superponer simplemente las dos contribuciones encontramos que la de la carga positiva no es una esfera completa sino una esfera con hueco. Este sistema se analiza en [[Campo_y_potencial_de_una_esfera_con_hueco|otro problema]] y requiere usar de nuevo el principio de superposición. | ||
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| + | Es más sencillo considerar directamente este problema como la superposición de dos esferas: | ||
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| + | * Una esfera de radio 2R centrada en O y densidad de carga <math>\rho_0</math>. Esto implica que hemos rellenado el hueco con una densidad | ||
| + | <center><math>\rho_+=\rho_0\,</math></center> | ||
| + | :La carga de esta esfera sería | ||
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| + | <center><math>Q_+=\rho_+ \left(\frac{4\pi}{3}(2R)^3}=8q_0</math></center> | ||
| + | * Una esfera de radio R, centrada en A y de densidad de carga | ||
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| + | <center><math>\rho_-=(\rho_2-\rho_1)=-8\rho_0\,</math></center> | ||
| + | :es decir, la esfera de carga negativa que ya tenemos más una adicional para compensar lo que hemos añadido a la esfera positiva. La carga de esta segunda esfera es | ||
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| + | <center><math>Q_-=\rho_- \left(\frac{4\pi}{3}R^3}=-8q_0</math></center> | ||
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| + | A partir de aquí, podemos hallar el campo en cada punto | ||
==Trabajo de B a C== | ==Trabajo de B a C== | ||
==Trabajo de B a O== | ==Trabajo de B a O== | ||
==Momento dipolar== | ==Momento dipolar== | ||
[[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]] | [[Categoría:Problemas de electrostática en el vacío]] | ||
Revisión de 08:56 7 abr 2018
Contenido |
1 Enunciado
Una esfera de radio 2R posee un hueco también esférico de radio R cuyo centro se encuentra a una distancia R del centro de la esfera grande. La esfera grande almacena una carga + 7q0 distribuida uniformemente en su volumen, mientras que en el hueco hay una carga − 7q0 también distribuida uniformemente.
- Halle el campo eléctrico en los puntos O, B, C, A y D marcados en la figura. A es el centro de la esfera negativa y D es equidistante de O y A.
- Calcule el trabajo para mover una carga puntual q desde el punto B al punto C, diametralmente opuesto.
- Calcule el trabajo para mover la misma carga desde el punto B hasta el punto O.
- En puntos exteriores a la esfera y alejados de ella, el sistema se ve como un dipolo. ¿Cuánto vale el momento dipolar eléctrico de este dipolo?
2 Campo eléctrico
El campo eléctrico se halla por superposición. Tenemos una distribución de carga positiva de densidad
y una negativa
Sin embargo, si tratamos de superponer simplemente las dos contribuciones encontramos que la de la carga positiva no es una esfera completa sino una esfera con hueco. Este sistema se analiza en otro problema y requiere usar de nuevo el principio de superposición.
Es más sencillo considerar directamente este problema como la superposición de dos esferas:
- Una esfera de radio 2R centrada en O y densidad de carga ρ0. Esto implica que hemos rellenado el hueco con una densidad
- La carga de esta esfera sería
- Una esfera de radio R, centrada en A y de densidad de carga
- es decir, la esfera de carga negativa que ya tenemos más una adicional para compensar lo que hemos añadido a la esfera positiva. La carga de esta segunda esfera es
A partir de aquí, podemos hallar el campo en cada punto
