Estudio analítico de máquina de Atwood

De Laplace

Revisión de 09:52 23 ene 2018

1 Enunciado

Una máquina de Atwood está formada por dos masas m₁ y m₂ unidas por un hilo ideal, inextensible y sin masa, que pasa por una polea ideal, sin rozamiento y sin masa.

1. Empleando el principio de D’Alembert halle la aceleración de cada una de las masas.
2. Con ayuda de los multiplicadores de Lagrange, calcule la tensión del hilo que pasa por la polea.
3. Empleando también multiplicadores, halle la fuerza que ejerce el gancho que sostiene a la polea.
4. Suponga ahora que la polea es un disco de radio R con momento de inercia I. ¿Cómo queda en ese caso la aceleración de las masas? ¿Y las tensiones de la cuerda?

2 Aceleración

Las dos masas m₁ y m₂ están unidas por un hilo que pasa por una polea ideal (sin masa y sin rozamiento), de forma que ambas cuelgan verticalmente.

Si consideramos el eje X vertical y hacia abajo, la ecuación fundamental de la dinámica puede escribirse como

Las coordenadas están relacionadas por el vínculo

lo que llevado a la ecuación anterior nos da

Como δx₁ es arbitrario, el coeficiente debe anularse:

Por otro lado, del mismo vínculo tenemos

y por tanto

3 Tensión

Si deseamos hallar la tensión del hilo debemos desvincular la relación

Vemos que la tensión es la misma para las dos masas. Llevamos esto a la ecuación de D'Alembert

Al desaparecer el vínculo ambos diferenciales son independientes, por lo que los coeficientes deben anularse por separado

Dado que ya conocemos la aceleración, de cualquiera de estas dos ecuaciones podemos hallar el multiplicador de Lagrange (el resultado, lógicamente, debe ser el mismo).

Esta es la tensión de la cuerda que sujeta a ambas masas.

4 Polea con inercia