Error en el péndulo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 18:48 12 feb 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1° (b) 10° (c) 30° (d) 60° (e) 90°.

2 Solución

2.1 Valor aproximado

Un péndulo obedece la ecuación de movimiento $\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\,\mathrm{sen}\,\theta$

siendo $θ$ la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación

$\mathrm{sen}\,\theta\simeq\theta \qquad\theta\ll 1$

lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico

$\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}\simeq-\frac{g}{l}\theta=-\omega^2\theta$

Cuando parte del reposo, desde una cierta separación $θ 0$ , el ángulo sigue una ley cosenoidal

$\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,$

La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es

$v = l\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t} = -l\omega\theta_0\,\mathrm{sen}(\omega t)$

El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo

$v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0= \sqrt{gl}\,\theta_0$

2.2 Valor exacto

Esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica.

La energía inicial, cuando parte del reposo, es puramente potencial. Tomando el origen de alturas en el punto más bajo de la trayectoria

$E = U(0) = mg h = mgl(1-\cos\theta_0)\,$

La energía en el punto más bajo es puramente cinética

$E = T = \frac{1}{2}mv^2$

Igualando estas dos cantidades

$v_\mathrm{max}(\mathrm{exacta}) = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_0)}$

2.3 Comparación

El cociente entre el valor aproximado y el exacto es

$\frac{v_\mathrm{ap}}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0}{\sqrt{2(1-\cos\theta_0)}} = \frac{\theta_0/2}{\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}$

donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que

$\mathrm{sen}\,(x) < x\qquad \forall x > 0$

esto quiere decir que la aproximación de oscilador armónico predice una velocidad mayor que la real. El periodo calculado con esta aproximación será entonces más pequeño que el exacto.

El error relativo cometido en la aproximación es

$\epsilon = \frac{|v_\mathrm{ap}-v_\mathrm{ex}|}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0/2-\,\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}{\mathrm{sen}\,(\theta/2)}$

Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado

$θ 0$ (°)	$θ 0$ (rad)	$\epsilon\ (\%)$
1	π/180	0.00127
10	π/10	0.127
30	π/6	1.15
60	π/3	4.72
90	π/2	11.07

Vemos que, en general la aproximación es bastante buena y que incluso para ángulos tan grandes como 60° el error es inferior al 5 %.

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 ==Solución==
-Un péndulo obedece la ecuación de movimiento
+===Valor aproximado===
+[[Imagen:animacionpendulo.gif|left]]Un péndulo obedece la ecuación de movimiento
 <center><math>\frac{\mathrm{d}^2\theta}{\mathrm{d}t^2}=-\frac{g}{l}\,\mathrm{sen}\,\theta</math></center>
@@ Línea 18: / Línea 19: @@
 Cuando parte del reposo, desde una cierta separación <math>\theta_0</math>, el ángulo sigue una ley cosenoidal
-<div style="text-align: left; direction: ltr; margin-left: 1em;"><math>\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,</math></div>
+<center><math>\theta = \theta_0\cos(\omega t)\,</math></center>
 La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es
@@ Línea 26: / Línea 27: @@
 El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo
-<center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0</math></center>
+<center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0= \sqrt{gl}\,\theta_0</math></center>
+===Valor exacto===
+Esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica.
+La energía inicial, cuando parte del reposo, es puramente potencial. Tomando el origen de alturas en el punto más bajo de la trayectoria
+<center><math>E = U(0) = mg h = mgl(1-\cos\theta_0)\,</math></center>
+La energía en el punto más bajo es puramente cinética
+<center><math>E = T = \frac{1}{2}mv^2</math></center>
+Igualando estas dos cantidades
+<center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{exacta}) = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_0)}</math></center>
+===Comparación===
+El cociente entre el valor aproximado y el exacto es
+<center><math>\frac{v_\mathrm{ap}}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0}{\sqrt{2(1-\cos\theta_0)}} = \frac{\theta_0/2}{\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}</math></center>
+donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que
+<center><math>\mathrm{sen}\,(x) < x\qquad \forall x > 0</math></center>
+esto quiere decir que la aproximación de oscilador armónico predice una velocidad mayor que la real. El periodo calculado con esta aproximación será entonces más pequeño que el exacto.
+El error relativo cometido en la aproximación es
+<center><math>\epsilon = \frac{|v_\mathrm{ap}-v_\mathrm{ex}|}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0/2-\,\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}{\mathrm{sen}\,(\theta/2)}</math></center>
+Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado
+<center>
+{| class="bordeado"
+|-
+! <math>\theta_0</math> (&deg;)
+! <math>\theta_0</math> (rad)
+! <math>\epsilon\ (\%)</math>
+|-
+| 1
+| &pi;/180
+| 0.00127
+|-
+| 10
+| &pi;/10
+| 0.127
+|-
+| 30
+| &pi;/6
+| 1.15
+|-
+| 60
+| &pi;/3
+| 4.72
+|-
+| 90
+| &pi;/2
+| 11.07
+|}
+</center>
+Vemos que, en general la aproximación es bastante buena y que incluso para ángulos tan grandes como 60&deg; el error es inferior al 5&thinsp;%.
-Por otro lado, esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica.
 [[Categoría:Problemas de movimiento oscilatorio]]

Error en el péndulo

De Laplace

última version al 18:48 12 feb 2009

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1 Enunciado

2 Solución

2.1 Valor aproximado

2.2 Valor exacto

2.3 Comparación

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