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Partícula en una superficie cónica (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Momento cinético)
(→Rapidez)
 
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<center><math>\vec{F}_n=F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)</math></center>
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Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal
Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal
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<center><math>m\vec{g}+\vec{F}_n=-m\frac{v_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho</math></center>
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<center><math>m\vec{g}+\vec{F}_n=m\vec{a}=-m\frac{v_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho</math></center>
siendo el radio de la circunferencia
siendo el radio de la circunferencia
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<center><math>v_0=\sqrt{gh}</math></center>
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==Fuerza de reacción==
==Fuerza de reacción==
La fuerza de reacción, en módulo, ya la hemos calculado
La fuerza de reacción, en módulo, ya la hemos calculado
Línea 97: Línea 100:
La fuerza resultante es la suma de la normal y del peso que como hemos visto, dan
La fuerza resultante es la suma de la normal y del peso que como hemos visto, dan
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<center><math>\vec{F}=\vec{F}_n+m\vec{g}=<center><math>\vec{F}_n=mg\left(-\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)-mg\vec{k}=-mg\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho</math></center>
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<center><math>\vec{F}=\vec{F}_n+m\vec{g}=mg\left(-\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)-mg\vec{k}=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho</math></center>
También se puede hallar aplicando la segunda ley de Newton
También se puede hallar aplicando la segunda ley de Newton
<center><math>\vec{F}=-\frac{mv_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho=-\frac{mgh}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho</math></center>
<center><math>\vec{F}=-\frac{mv_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho=-\frac{mgh}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho</math></center>
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===Momento de las fuerzas===
===Momento de las fuerzas===
El momento de las fuerzas se calcula a partir del resultado anterior
El momento de las fuerzas se calcula a partir del resultado anterior
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<center><math>\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}=h\left(\mathrm{tg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)\times\left(-mg\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho\right)=-mgh\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\theta</math></center>
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<center><math>\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}=h\left(\mathrm{tg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)\times\left(-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho\right)=-mgh\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\theta</math></center>
[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de dinámica de la partícula (GIE)]]

última version al 18:58 27 nov 2017

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m se encuentra obligada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto, de eje vertical y cuyo semiángulo en el vértice mide β. La partícula puede deslizar sin rozamiento sobre esta superficie y está sometido a la acción del peso, que va en la dirección vertical. Se desea que la partícula describa uniformemente circunferencias horizontales a una altura h respecto al vértice. Con ayuda de las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas,

  1. ¿Qué rapidez v0 debe comunicársele a la partícula, en función de la altura h?
  2. ¿Cuánto vale, en módulo, la reacción de la superficie cónica en este movimiento?
  3. ¿Cuánto vale la proporción E/U entre la energía mecánica y la potencial para este movimiento circular? Tómese como origen de energía potencial el vértice del cono.
  4. Exprese, en la base de las coordenadas cilíndricas:
    1. La cantidad de movimiento. ¿Es constante?
    2. El momento cinético respecto a O. ¿Es constante?
    3. La fuerza resultante sobre la partícula
    4. El momento de las fuerzas sobre la partícula.

2 Rapidez

Este problema es, en lo esencial, idéntico al de la Masa girando alrededor de una mano y muy parecido al de curvas y peraltes

La partícula se mueve sometida a la acción de dos fuerzas: el peso

m\vec{g}=-mg\vec{k}

y la reacción de la superficie. Esta se calcula como en el caso de los problemas citados:

\vec{F}_n=F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)

Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal

m\vec{g}+\vec{F}_n=m\vec{a}=-m\frac{v_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho

siendo el radio de la circunferencia

\frac{\rho}{h}=\mathrm{tg}(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad \rho = h\,\mathrm{tg}(\beta)

Esto nos da

-mg\vec{k}+F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)=-m\frac{v_0^2}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho

Separando por componentes, queda, en la dirección vertical

-mg+F_n\,\mathrm{sen}(\beta)=0\qquad\Rightarrow\qquad F_n=\frac{mg}{\mathrm{sen}(\beta)}

y en la radial

-F_n\cos(\beta)=-m\frac{v_0^2}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad v_0^2=\frac{F_nh\,\mathrm{tg}(\beta)\cos(\beta)}{m}=\frac{F_nh\,\mathrm{sen}(\beta)}{m}=gh

y por tanto la rapidez buscada es

v_0=\sqrt{gh}

3 Fuerza de reacción

La fuerza de reacción, en módulo, ya la hemos calculado

F_n=\frac{mg}{\mathrm{sen}(\beta)}

y, en forma vectorial

\vec{F}_n=F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)=mg\left(-\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)

4 Proporción de energía

La energía mecánica es la suma de la cinética y la potencial

E=\frac{1}{2}mv_0^2 + mgh

Sustituimos el valor de la rapidez calculada antes

E=\frac{1}{2}m(gh)+mgh=\frac{3}{2}mgh

por lo que la proporción buscada es

\frac{E}{U}=\frac{3}{2}

5 Expresión de cantidades

5.1 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es igual al producto de la masa por la velocidad, la cual va en la dirección acimutal

\vec{p}=mv_0\vec{u}_\theta=m\sqrt{gh}\vec{u}_\theta

Esta cantidad no es constante, ya que el vector \vec{u}_\theta va cambiando de dirección al moverse la partícula.

5.2 Momento cinético

El momento cinético es el momento de la cantidad de movimiento

\vec{L}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{p}

siendo el vector de posición

\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+h\vec{k}=h\left(\mathrm{tg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)

lo que da

\vec{L}_O=mh\sqrt{gh}\left(-\vec{u}_\rho+\mathrm{tg}(\theta)\vec{k}\right)

Este vector tampoco es constante, pues \vec{u}_\rho depende del tiempo.

Aquí hemos aplicado que el triedro en cilíndricas es ortonormal

Archivo:Triedro-cilíndricas.png

5.3 Fuerza resultante

La fuerza resultante es la suma de la normal y del peso que como hemos visto, dan

\vec{F}=\vec{F}_n+m\vec{g}=mg\left(-\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)-mg\vec{k}=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho

También se puede hallar aplicando la segunda ley de Newton

\vec{F}=-\frac{mv_0^2}{\rho}\vec{u}_\rho=-\frac{mgh}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho=-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho

5.4 Momento de las fuerzas

El momento de las fuerzas se calcula a partir del resultado anterior

\vec{M}_O=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}=h\left(\mathrm{tg}(\beta)\vec{u}_\rho+\vec{k}\right)\times\left(-mg\,\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\rho\right)=-mgh\mathrm{cotg}(\beta)\vec{u}_\theta
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