Partícula en una superficie cónica (GIE)
De Laplace
| Línea 12: | Línea 12: | ||
## El momento de las fuerzas sobre la partícula. | ## El momento de las fuerzas sobre la partícula. | ||
| + | ==Rapidez== | ||
| + | La partícula se mueve sometida a la acción de dos fuerzas: el peso | ||
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| + | <center><math>m\vec{g}=-mg\vec{k}</math></center> | ||
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| + | y la reacción de la superficie. Esta se calcula como en el caso de un peralte o el de una masa que da vueltas sujeta a un hilo: | ||
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| + | <center><math>\vec{F}_n=F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)</math></center> | ||
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| + | Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal | ||
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| + | <center><math>m\vec{g}+\vec{F}_n=-m\frac{v_0^2}{r}\vec{u}_\rho</math></center> | ||
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| + | siendo el radio de la circunferencia | ||
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| + | <center><math>\frac{r}{h}=\mathrm{tg}(\beta)\qquad\Rightarrow\qquad r = h\,\mathrm{tg}(\beta)</math></center> | ||
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| + | Esto nos da | ||
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| + | <center><math>-mg\vec{k}+F_n\left(-\cos(\beta)\vec{u}_\rho+\mathrm{sen}(\beta)\vec{k}\right)=-m\frac{v_0^2}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\vec{u}_\rho</math></center> | ||
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| + | Separando por componentes, queda, en la dirección vertical | ||
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| + | <center><math>-mg+F_n\,\mathrm{sen}(\beta)=0\qquad\Rightarrow\qquad F_n=\frac{mg}{\mathrm{sen}(\beta)}</math></center> | ||
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| + | y en la radial | ||
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| + | <center><math>-F_n\cos(\beta)=-m\frac{v_0^2}{h\,\mathrm{tg}(\beta)}\qquad\Rightarrow\qquad v_0^2=\frac{F_nh\,\mathrm{tg}(\beta)\cos(\beta)}{m}=\frac{F_nh\,\mathrm{sen}(\beta)}{m}=gh</math></center> | ||
| + | |||
| + | y por tanto la rapidez buscada es | ||
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| + | <center><math>v_0=\sqrt{gh}</math></center> | ||
| + | ==Fuerza de reacción== | ||
| + | ==Proporción de energía== | ||
| + | ==Expresión de cantidades== | ||
| + | ===Cantidad de movimiento=== | ||
| + | ===Momento cinético=== | ||
| + | ===Fuerza resultante=== | ||
| + | ===Momento de las fuerzas=== | ||
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Revisión de 18:02 27 nov 2017
Contenido |
1 Enunciado
Una partícula de masa m se encuentra obligada a moverse sobre la superficie interior de un cono recto, de eje vertical y cuyo semiángulo en el vértice mide β. La partícula puede deslizar sin rozamiento sobre esta superficie y está sometido a la acción del peso, que va en la dirección vertical. Se desea que la partícula describa uniformemente circunferencias horizontales a una altura h respecto al vértice. Con ayuda de las coordenadas cilíndricas y la base asociada a ellas,
- ¿Qué rapidez v0 debe comunicársele a la partícula, en función de la altura h?
- ¿Cuánto vale, en módulo, la reacción de la superficie cónica en este movimiento?
- ¿Cuánto vale la proporción E/U entre la energía mecánica y la potencial para este movimiento circular? Tómese como origen de energía potencial el vértice del cono.
- Exprese, en la base de las coordenadas cilíndricas:
- La cantidad de movimiento. ¿Es constante?
- El momento cinético respecto a O. ¿Es constante?
- La fuerza resultante sobre la partícula
- El momento de las fuerzas sobre la partícula.
2 Rapidez
La partícula se mueve sometida a la acción de dos fuerzas: el peso
y la reacción de la superficie. Esta se calcula como en el caso de un peralte o el de una masa que da vueltas sujeta a un hilo:
Puesto que el movimiento es circular uniforme, la resultante de las dos fuerzas produce una aceleración puramente normal
siendo el radio de la circunferencia
Esto nos da
Separando por componentes, queda, en la dirección vertical
y en la radial
y por tanto la rapidez buscada es
