Oscilador amortiguado

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 21:51 8 feb 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

Un oscilador amortiguado experimenta una fuerza de rozamiento viscoso $\mathbf{F}_r=-b \mathbf{v}$ , de forma que su ecuación de movimiento, para un movimiento unidimensional es

$ma =-b v-kx\,$

Demuestre que la energía mecánica $E=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$ es una función decreciente con el tiempo.
Si buscamos una solución particular de la forma $x = A e λ t$ , calcule los dos valores que puede tener $λ$ . La solución general será una combinación de las dos posibilidades: $x = A_1 \mathrm{e}^{\lambda_1 t}+A_2 \mathrm{e}^{\lambda_2 t}\,$ con $A 1$ y $A 2$ dos constantes a determinar mediante las condiciones iniciales.
¿Cuál es el máximo valor de $b$ para que haya oscilaciones? ¿cómo es el movimiento si $b$ supera ese valor?
Considere el caso particular de una partícula de masa $m=1\,\mathrm{kg}$ se encuentra sujeta a un muelle de constante $k=1\,\mathrm{N}/\mathrm{m}$ , existiendo un rozamiento $b$ . Determine la posición en cualquier instante si se impulsa desde la posición de equilibrio con velocidad $v_0=0.6\,\mathrm{m}/\mathrm{s}$ si (a) $b = 1.6\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}$ $; (b) $b = 2.5\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}$ , (c) $b = 2.0\,\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}/\mathrm{m}$ .

2 Solución

2.1 Disipación de la energía

Para ver que en presencia de rozamiento la energía mecánica se va perdiendo progresivamente, simplemente calculamos la derivada de la energía respecto al tiempo, para ver su signo.

Aplicando el mismo método que en el caso sin rozamiento

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=mv\,\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}+kx\,\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = v\left(ma+kx\right)$

De acuerdo con al ecuación de movimiento para el oscilador armónico con rozamiento

$ma + kx = -bv\,$

así que nos queda

$\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}=v(-bv) = -bv^2$

Esta cantidad siempre es negativa, por lo que la energía es una función que decrece de forma continuada. El decrecimiento no es constante. Se anula en los puntos de retorno (en los que la velocidad es cero) y es máximo cuando lo es la velocidad.

2.2 Soluciones exponenciales

Vamos a buscar ahora soluciones particulares de forma exponencial

$x = A \mathrm{e}^{\lambda t}\,$

Calculamos la velocidad y la aceleración de este movimiento

$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = \lambda A \mathrm{e}^{\lambda t}$ $a = \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \lambda^2 A \mathrm{e}^{\lambda t}$

Sustituyendo en la ecuación de movimiento

$0 = ma + bv + kx = (m\lambda^2 +b\lambda + k)A\mathrm{e}^{\lambda t}\,$

vemos que para que esta exponencial sea una solución, $λ$ no puede tener cualquier valor, sino que debe cumplir la ecuación de segundo grado

$m\lambda^2+b\lambda + k = 0\,$

Resolviendo esta ecuación obtenemos dos posibles valores de $λ$

$\lambda = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4mk}}{2m}$

La solución general de la ecuación de movimiento será una combinación lineal de dos soluciones, una por cada exponente, exponenciales

$x = A_1\mathrm{e}^{\lambda_1 t}+A_2\mathrm{e}^{\lambda_2t}\,$

2.3 Oscilaciones amortiguadas

Dependiendo del valor de la constante de rozamiento $b$ tenemos dos posibilidades para los valores de $λ$ (en realidad, tres, pero la tercera la dejaremos por ahora).

2.3.1 Rozamiento fuerte

Cuando $b$ es lo suficientemente grande

$b > 2\sqrt{mk}$ $\Rightarrow$ $b^2-4mk > 0\,$

esto quiere decir que la raíz que aparece en la expresión del exponente $λ$ es real. Por tanto, los dos valores de $λ$ son reales y negativos (uno más grande en magnitud que el otro). La solución general es una combinación de dos exponenciales decrecientes

$x = A_1\mathrm{e}^{-|\lambda_1|t}+A_2\mathrm{e}^{-|\lambda_2|t}\,$

en este caso no hay oscilación alguna, sino que la partícula tiende, de forma más o menos rápida, hacia la posición de equilibrio $x = 0$ .

Este caso de conoce como de oscilador sobreamortiguado.

2.3.2 Rozamiento débil

Si el coeficiente $b$ es lo suficientemente pequeño

$b < 2\sqrt{mk}$ $\Rightarrow$ $b^2-4mk < 0\,$

Tenemos entonces que en la expresión de $λ$ aparece la raíz de número negativo, que es una cantidad imaginaria. De hecho, resultan dos valores para el exponente que son complejos conjugados

$\lambda_1 = -\alpha + \mathrm{j}\omega\,$ $\lambda_2 = -\alpha - \mathrm{j}\omega\,$ $\alpha = \frac{b}{2m}$ $\omega = \sqrt{\frac{k}{m}-\left(\frac{b}{2m}\right)^2}$

Una exponencial de un número imaginario significa una oscilación, ya que, por aplicación de la fórmula de Euler tenemos que

$\mathrm{e}^{\lambda t} = \mathrm{e}^{(-\alpha + \mathrm{j}\omega)t} = \mathrm{e}^{-\alpha t}\left(\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)\right)$

de forma que la solución general de la ecuación de movimiento se puede escribir en la forma

$x = a\mathrm{e}^{-\alpha t}\cos(\omega t)+b \mathrm{e}^{-\alpha t}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Cada una de estos sumandos es lo que se conoce como oscilaciones amortiguadas: la elongación varía con el tiempo como un coseno o un seno, pero la amplitud de esas oscilaciones decae exponencialmente. Al final, pasado un tiempo más o menos largo dependiendo de la intensidad del rozamiento, la partícula tiende a la posición de equilibrio $x = 0$ .

Este caso de conoce como de oscilador subamortiguado.

Así pues, el valor máximo para que haya oscilaciones es

$b_\mathrm{max} = 2\sqrt{km}=2m\sqrt{\frac{k}{m}}=2m\omega_0$

con $ω 0$ la frecuencia que tendría el oscilador si no hubiera rozamiento.

2.4 Casos particulares

@@ Línea 98: / Línea 98: @@
 Cada una de estos sumandos es lo que se conoce como ''oscilaciones amortiguadas'': la elongación varía con el tiempo como un coseno o un seno, pero la amplitud de esas oscilaciones decae exponencialmente. Al final, pasado un tiempo más o menos largo dependiendo de la intensidad del rozamiento, la partícula tiende a la posición de equilibrio <math>x=0</math>.
+Este caso de conoce como de ''oscilador subamortiguado''.
 Así pues, el valor máximo para que haya oscilaciones es

Oscilador amortiguado

De Laplace

Revisión de 21:51 8 feb 2009

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Disipación de la energía

2.2 Soluciones exponenciales

2.3 Oscilaciones amortiguadas

2.3.1 Rozamiento fuerte

2.3.2 Rozamiento débil

2.4 Casos particulares

Herramientas:

Buscar

Vistas

Herramientas

Herramientas personales

Navegación

SEARCH

TOOLBOX

LANGUAGES