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Aceleración de una partícula (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 67: Línea 67:
<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}</math></center>
<center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}</math></center>
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[[Categoría:Cinemática (CMR)]]
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[[Categoría:Cinemática de la partícula (CMR)]]

Revisión de 11:37 3 oct 2017

Contenido

1 Definición

Se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo

\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}

En una base fija, las componentes de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y la segunda derivada de las de la posición)

\vec{a}=\dot{v}_x\vec{\imath}+\dot{v}_y\vec{\jmath}+\dot{v}_z\vec{k}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}

2 Componentes intrínsecas

Derivando la expresión de la velocidad como producto de la rapidez y el vector tangente

\vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}

queda

\vec{a}=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}+|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}

El primero de los dos sumandos es paralelo al vector tangente y a la velocidad. El segundo es ortogonal a \vec{T}, por ser éste un vector de módulo constante. Por tanto, la aceleración se puede escribir como suma de una aceleración tangencial, responsable del cambio en la rapidez, y de una aceleración normal, asociada al cambio en la dirección del movimiento.

\vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}_n=|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}

Estas dos componentes pueden también hallarse proyectando sobre la velocidad

\vec{a}_t=\frac{\vec{v}(\vec{a}\cdot\vec{v})}{|\vec{v}|^2}\qquad\qquad\vec{a}_n= \vec{a}-\vec{a}_t=\frac{\vec{v}\times(\vec{a}\times\vec{v})}{|\vec{v}|^2}

3 Triedro de Frenet

Como hemos visto, a partir de la velocidad puede definirse un unitario tangente a la trayectoria

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}

y a partir de la aceleración normal podemos definir un vector unitario normal a la trayectoria

\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}

Este vector es siempre ortogonal a la trayectoria y hacia adentro de las curvas que describe.

Completamos un triedro (denominado triedro de Frenet) mediante el producto de estos dos, obteniendo el vector binormal

\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}

Cualquier vector puede expresarse como cominación lineal de este triedro

\vec{A}=A_t\vec{T}+A_n\vec{N}+A_b\vec{B}

En particular

\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}

A diferencia de la base cartesiana, el triedro de Frenet es una función del tiempo, ya que se desplaza y gira con la partícula en su movimiento. Por ello, cualquier derivada respecto al tiempo deberá tener en cuenta las derivadas de estos vectores.

4 Curvatura

La curvatura de una trayectoria mide como cambia la dirección de esta. Se define a partir de la derivada del vector tangente como

\kappa = \frac{1}{|\vec{v}|}\left|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}\right|

La inversa de la curvatura es el denominado radio de curvatura

R=\frac{1}{\kappa}

de forma que la aceleración normal puede escribirse en la forma

\vec{a}_n=\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N}

El centro de curvatura se define como el punto móvil

\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Aceleraci%C3%B3n_de_una_part%C3%ADcula_(CMR)"

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