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| (Una edición intermedia no se muestra.) |
| Línea 1: |
Línea 1: |
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| - | ==Velocidad==
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| - | Se define la velocidad media en un intervalo de tiempo como el cociente entre el desplzamiento realizado y el intervalo de tiempo empleado en realizarlo.
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| - | <center><math>\vec{v}_m=\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}=\frac{\vec{r}_2-\vec{r}_1}{t_2-t_1}</math></center>
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| - | La velocidad instantánea de la partícula es el límite de la velocidad media cuando el intervalo de tiempo es muy pequeño
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| - | <center><math>\vec{v}=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}</math></center>
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| - | Es decir, la velocidad instantánea es la derivada de la posición respecto al tiempo. En Física, las derivadas respecto al tiempo suelen representarse con un punto sobre la magnitud
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| - | <center><math>\vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\dot{\vec{r}}</math></center>
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| - | Si conocemos la velocidad instantánea a lo largo de un intervalo podemos calcular la posición como función del tiempo
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| - | <center><math>\vec{r}(t)=\vec{r}_0+\int_0^t \vec{v}\,\mathrm{d}t</math></center>
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| - | ===Vector tangente===
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| - | El vector velocidad va en la dirección tangente a la trayectoria. Esto permite definir el unitario tangente
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| - | <center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}</math></center>
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| - | ===Rapidez y distancia recorrida===
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| - | Al módulo de la velocidad se lo denomina ''rapidez'' o ''celeridad'' de la partícula. Mide el ritmo con el que se recorre la trayectoria y como tal se relaciona directamente con el parámetro arco
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| - | <center><math>\left|\vec{v}\right|= \left|\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right|= \frac{\left|\mathrm{d}\vec{r}\right|}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}=\dot{s}</math></center>
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| - | Esto permite determinar la distancia recorrida en un intervalo de tiempo dado
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| - | <center><math>s = s_0+\int_0^t \left|\vec{v}\right|\,\mathrm{d}t</math></center>
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| - | ===Componentes de la velocidad===
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| - | En un sistema de referencia fijo, los vectores de la base cartesiana son constantes, por lo que
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| - | <center><math>\vec{v}=\dot{\vec{r}}=\dot{x}\vec{\imath}+\dot{y}\vec{\jmath}+\dot{z}\vec{k}</math></center>
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| - | es decir, las componentes de la velocidad son las derivadas de las componentes de la posición.
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| - | ===Velocidad en función de parámetros===
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| - | Si la posición no está dada explícitamente en función del tiempo, sino que conocemos la trayectoria en función de un parámetro θ para hallar la velocidad es preciso aplicar la regla de la cadena
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| - | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\,\dot{\theta}</math></center>
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| - | A menudo, la posición no se indica en función de las coordenadas cartesianas, sino como función de 2 o más variables, θ, φ… (denominadas ''coordenadas generalizadas''). En ese caso, se extiende la expresión anterior
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| - | <center><math>\vec{v}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial \varphi}\, \dot{\varphi}+\cdots</math></center>
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| - | Si denominamos a las diferentes variables como <math>q_k\ (k=1,2,\ldots)</math> la expresión anterior se escribe
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| - | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k</math></center>
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| - | En ocasiones, la posición se expresa como función del tiempo y de una variable (dependiente implícitamente del tiempo). En ese caso, aplicamos que la derivada del tiempo respecto a sí mismo vale 1 (la velocidad del tiempo es un segundo por segundo) y queda
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| - | <center><math>\vec{r}=\vec{r}(\theta,t)\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}= \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial\vec{r}}{\partial \theta}\, \dot{\theta}+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}</math></center>
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| - | Nótese la diferencia entre la derivada total (d) y la parcial (<math>\partial</math>).
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| - | Si depende de varias variables y del tiempo queda la fórmula general
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| - | <center><math>\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\sum_k \frac{\partial\vec{r}}{\partial q_k}\dot{q}_k+\frac{\partial\vec{r}}{\partial t}</math></center>
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| | ==Aceleración== | | ==Aceleración== |
| - | ===Definición===
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| - | Se define la aceleración instantánea como la derivada de la velocidad respecto al tiempo
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| - | <center><math>\vec{a}=\dot{\vec{v}}=\ddot{\vec{r}}</math></center>
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| - | En una base fija, las componentes de la aceleración son las derivadas temporales de las componentes de la velocidad (y la segunda derivada de las de la posición)
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| - | <center><math>\vec{a}=\dot{v}_x\vec{\imath}+\dot{v}_y\vec{\jmath}+\dot{v}_z\vec{k}=\ddot{x}\vec{\imath}+\ddot{y}\vec{\jmath}+\ddot{z}\vec{k}</math></center>
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| - | ===Componentes intrínsecas===
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| - | Derivando la expresión de la velocidad como producto de la rapidez y el vector tangente
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| - | <center><math>\vec{v}=\left|\vec{v}\right| \vec{T}</math></center>
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| - | queda
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| - | <center><math>\vec{a}=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}+|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}</math></center>
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| - | El primero de los dos sumandos es paralelo al vector tangente y a la velocidad. El segundo es ortogonal a <math>\vec{T}</math>, por ser éste un vector de módulo constante. Por tanto, la aceleración se puede escribir como suma de una aceleración tangencial, responsable del cambio en la rapidez, y de una aceleración normal, asociada al cambio en la dirección del movimiento.
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| - | <center><math>\vec{a}_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}_n=|\vec{v}|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}</math></center>
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| - | Estas dos componentes pueden también hallarse proyectando sobre la velocidad
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| - | <center><math>\vec{a}_t=\frac{\vec{v}(\vec{a}\cdot\vec{v})}{|\vec{v}|^2}\qquad\qquad\vec{a}_n= \vec{a}-\vec{a}_t=\frac{\vec{v}\times(\vec{a}\times\vec{v})}{|\vec{v}|^2}</math></center>
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| - | ===Triedro de Frenet===
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| - | Como hemos visto, a partir de la velocidad puede definirse un unitario tangente a la trayectoria
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| - | <center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{\left|\vec{v}\right|}</math></center>
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| - | y a partir de la aceleración normal podemos definir un vector unitario normal a la trayectoria
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| - | <center><math>\vec{N}=\frac{\vec{a}_n}{|\vec{a}_n|}</math></center>
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| - | Este vector es siempre ortogonal a la trayectoria y hacia adentro de las curvas que describe.
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| - | Completamos un triedro (denominado triedro de <math>Frenet</math>) mediante el producto de estos dos, obteniendo el vector binormal
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| - | <center><math>\vec{B}=\vec{T}\times\vec{N}</math></center>
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| - | Cualquier vector puede expresarse como cominación lineal de este triedro
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| - | <center><math>\vec{A}=A_t\vec{T}+A_n\vec{N}+A_b\vec{B}</math></center>
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| - | En particular
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| - | <center><math>\vec{v}=|\vec{v}|\vec{T}\qquad\qquad \vec{a}=a_t\vec{T}+a_n\vec{N}</math></center>
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| - | A diferencia de la base cartesiana, el triedro de Frenet es una función del tiempo, ya que se desplaza y gira con la partícula en su movimiento. Por ello, cualquier derivada respecto al tiempo deberá tener en cuenta las derivadas de estos vectores.
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| - | ===Curvatura===
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| - | La ''curvatura'' de una trayectoria mide como cambia la dirección de esta. Se define a partir de la derivada del vector tangente como
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| - | <center><math>\kappa = \frac{1}{|\vec{v}|}\left|\frac{\mathrm{d}\vec{T}}{\mathrm{d}t}\right|</math></center>
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| - | La inversa de la curvatura es el denominado ''radio de curvatura''
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| - | <center><math>R=\frac{1}{\kappa}</math></center>
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| - | de forma que la aceleración normal puede escribirse en la forma
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| - | <center><math>\vec{a}_n=\frac{|\vec{v}|^2}{R}\vec{N}</math></center>
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| - | El ''centro de curvatura'' se define como el punto móvil
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| - | <center><math>\vec{r}_c=\vec{r}+R\vec{N}</math></center>
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