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Ejemplos de movimiento rectílineo

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Caso 3)
(Página creada con '= Enunciado = Una partícula se mueve sobre el eje <math>OX</math> según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienz…')
(7 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 11: Línea 11:
== Caso 1 ==
== Caso 1 ==
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-
<math>
 
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x(t) = A\,t
 
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</math>
 
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[[File:GIC_p02_01_01.png|right]]
[[File:GIC_p02_01_01.png|right]]
-
 
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Las unidades de <math>A</math> deben ser las adecuadas para hacer coherente
 
-
dimensionalmente la expresión de <math>x(t)</math>. Como <math>x</math> se mide
 
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ne metros y <math>t</math> en segundos tenemos
 
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<math>
 
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[A] = m/s
 
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</math>
 
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</center>
 
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Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente
<math>A</math>. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir
<math>A</math>. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir
Línea 38: Línea 22:
<math>x</math> es positiva.
<math>x</math> es positiva.
-
La velocidad es
+
Las unidades de <math>A</math> deben ser las adecuadas para hacer coherente
 +
dimensionalmente la expresión de <math>x(t)</math>. Como <math>x</math> se mide
 +
ne metros y <math>t</math> en segundos tenemos
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<math>
<math>
-
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = A.
+
[A] = m/s
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</math>
+
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+
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La partícula no se para nunca, pues <math>v(t)</math> nunca es cero.
+
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La aceleración es
+
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+
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+
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a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = 0.
+
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+
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El diferencial de posición es
+
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\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = A\,\mathrm{d}t.
+
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+
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El diferencial de velocidad es
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+
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+
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\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = 0.
+
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-
La velocidad no cambia nunca.
 
== Caso 2 ==
== Caso 2 ==
<center><math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math></center>
<center><math>x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)</math></center>
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Las unidades de las constantes son
 
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[B]=m/s, \qquad \qquad [T]=s
 
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Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en <math>t</math>.
Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en <math>t</math>.
Línea 100: Línea 55:
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<math>
<math>
-
x'(t) = \dfrac{2B}{T^2}t=0 \Longrightarrow t=0
+
x'(t) = -\dfrac{2B}{T}t=0 \Longrightarrow t=0
</math>
</math>
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Línea 106: Línea 61:
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<math>
<math>
-
\left.x''(t)\right|_{t=0} = \dfrac{2B}{T} >0
+
\left.x''(t)\right|_{t=0} = -\dfrac{2B}{T} >0
</math>
</math>
</center>
</center>
 +
La curva es como se indica en la figura de la derecha.
-
La velocidad es
+
Las unidades de las constantes son
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<math>
<math>
-
v(t) = \dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t} = 2B\dfrac{t}{T^2}.
+
[B]=m/s, \qquad \qquad [T]=s
</math>
</math>
</center>
</center>
-
La velocidad sólo es cero en el instante inicial <math>t=0</math>.
 
-
 
-
La aceleración es
 
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a(t) = \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = \dfrac{2B}{T^2}.
 
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</math>
 
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-
La aceleración es constante y nunca se anula.
 
-
 
-
El diferencial de posición es
 
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\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t = 2B\dfrac{t}{T^2}\,\mathrm{d}t.
 
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</math>
 
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El de velocidad es
 
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\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t = \dfrac{2B}{T^2}\,\mathrm{d}t.
 
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</math>
 
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-
Este movimiento es rectilíneo y uniformemente acelerado. La gráfica muestra las curvas correspondientes a la posición (una parábola), la velocidad (una línea recta) y la aceleración (una constante).
 
== Caso 3 ==
== Caso 3 ==
-
 
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Línea 148: Línea 80:
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Las unidades de las constantes son
 
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[C]=m, \qquad \qquad [T]=s
 
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-
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-
 
Esta curva es un polinomio de grado 3.
Esta curva es un polinomio de grado 3.
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica
Línea 177: Línea 101:
</math>
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 +
[[File:GIC_p02_01_03.png|right|300px]]
*Buscamos los máximos y mínimos para <math>t\geq0</math>. La derivada se anula en
*Buscamos los máximos y mínimos para <math>t\geq0</math>. La derivada se anula en
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<math>
-
x'(t) = \dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2) =0 \Longrightarrow t=1.54T
+
x'(t) = \dfrac{C}{T^2}(3t^2-2tT-T^2) \Longrightarrow t=1.54T
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Línea 190: Línea 115:
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 +
La curva es como se indica en la figura de la derecha.
-
[[File:GIC_p02_01_03.png|right|450px]]
+
Las unidades de las constantes son
-
La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
+
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v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
+
[C]=m/s, \qquad \qquad [T]=s
-
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)
+
-
</math>
+
-
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+
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La partícula está en reposo cuando su derivada es cero
+
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+
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+
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v(t)==0 \Longrightarrow
+
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t = 1.54T.
+
-
</math>
+
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+
-
De las dos soluciones hemos escogido la que corresponde al intervalo  <math>t\geq0</math>.
+
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+
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La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
+
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+
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+
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a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
+
-
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)
+
-
</math>
+
-
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+
-
La aceleración es nula para
+
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+
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+
-
a(t)==0 \Longrightarrow t = 0.33T.
+
-
</math>
+
-
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+
-
La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>.
+
-
 
+
-
El diferencial de posición es
+
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+
-
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+
-
\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
+
-
v(t)\,\mathrm{d}x =
+
-
\dfrac{C}{T^3}(3t^2-2tT-4T^2)\,\mathrm{d}t.
+
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</math>
+
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+
-
Y el de velocidad
+
-
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+
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<math>
+
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\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
+
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a(t)\,\mathrm{d}x =
+
-
\dfrac{C}{T^3}(6t-2T)\,\mathrm{d}t.
+
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</math>
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Línea 242: Línea 126:
== Caso 4 ==
== Caso 4 ==
<center><math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math></center>
<center><math>x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)</math></center>
-
Esto es una sinusoide de período <math>T</math>.  
+
Esto es una sinusoide de período <math>T</math>. Buscamos los instantes en que
-
El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces
+
-
las unidades de las constantes son
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[D] = m, \qquad [T]=s
+
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+
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+
-
 
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Buscamos los instantes en que
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la partícula está en el origen
la partícula está en el origen
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Línea 263: Línea 137:
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[[File:GIC_p02_01_04.png|right|450px]]
+
[[File:GIC_p02_01_04.png|right|300px]]
La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de
La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de
signo a cada intervalo de tiempo <math>T/2</math>.
signo a cada intervalo de tiempo <math>T/2</math>.
-
 
+
El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces
-
La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
+
las unidades de las constantes son
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<math>
<math>
-
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =
+
[D] = m, \qquad [T]=s
-
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
+
-
</math>
+
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</center>
+
-
La partícula está en reposo cuando <math>v(t)=0</math>, es decir
+
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\cos\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0
+
-
\to
+
-
\dfrac{2\pi}{T}t = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\pi\quad (n=0,1,2,\ldots)
+
-
\to
+
-
t_n = \left(n+\dfrac{1}{2}\right)\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)
+
-
</math>
+
-
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+
-
La aceleración es la derivada respecto al tiempo de la velocidad
+
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<center>
+
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<math>
+
-
a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
+
-
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
+
-
</math>
+
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</center>
+
-
Se anula en los mismos instantes de tiempo que la posición, como se puede ver en la gráfica.
+
-
 
+
-
El diferencial de posición es
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+
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\mathrm{d}x = v\,\mathrm{d}t =
+
-
\dfrac{2\pi A}{T}\cos\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)\,\mathrm{d}t.
+
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+
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</center>
+
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Y el de velocidad
+
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+
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\mathrm{d}v = a\,\mathrm{d}t =
+
-
-\dfrac{4\pi^2 A}{T^2}\,\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi t}{T}\right)
+
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\mathrm{d}t.
+
</math>
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Línea 312: Línea 151:
== Caso 5 ==
== Caso 5 ==
<center><math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math></center>
<center><math>x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)</math></center>
-
Esta curva involucra una exponencial.
+
Esta curva involucra una exponencial.
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El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces
+
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las unidades de las constantes son
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+
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+
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[D] = m, \qquad [T]=s
+
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[[File:GIC_p02_01_05.png|right|300px]]
*Veamos cuando está la partícula en el origen
*Veamos cuando está la partícula en el origen
Línea 346: Línea 179:
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-
 
+
El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces
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La velocidad de la partícula es la derivada respecto al tiempo de <math>x(t)</math>
+
las unidades de las constantes son
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<math>
<math>
-
v(t) = x'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right) =  
+
[D] = m, \qquad [T]=s
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\dfrac{D}{T}\,e^{-t/T}.
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La partícula está en reposo cuando su derivada es cero.
 
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v(t)=0 \Longrightarrow
 
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t \to \infty
 
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La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo
 
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a(t) = v'(t) = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right) =
 
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-\dfrac{D}{T^2}\,e^{-t/T}.
 
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Es siempre negativa y sólo se anula en el infinito.
 
-
 
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La figura de la derecha muestra las curvas correspondientes a <math>x(t)</math>, <math>v(t)</math> y <math>a(t)</math>. 
 
Podemos ver de la figura que cuando <math>t=5T</math> el valor de <math>x</math>
Podemos ver de la figura que cuando <math>t=5T</math> el valor de <math>x</math>
es casi indistinguible del de la asíntota. La constante <math>T</math> da una
es casi indistinguible del de la asíntota. La constante <math>T</math> da una
idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos
idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos
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da la escala de tiempo típica del sistema.
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la escala de tiempo típica del sistema.
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El diferencial de posición es
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\mathrm{d}x = \left(\dfrac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
+
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v(t)\,\mathrm{d}x =
+
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\dfrac{D}{T}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
+
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Y el de velocidad
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\mathrm{d}v = \left(\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\right)\,\mathrm{d}x =
+
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a(t)\,\mathrm{d}x =
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-\dfrac{D}{T^2}e^{-t/T}\,\mathrm{d}t.
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[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]
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Revisión de 20:59 29 sep 2017

Contenido

1 Enunciado

Una partícula se mueve sobre el eje OX según el movimiento dado por la siguientes expresiones. En todos los casos asumimos que el movimiento comienza en t = 0.

  1. x(t) = A\,t.
  2. x(t) = B\,(-1+t^2/T^2).
  3. x(t) = C\,(1-t/T)(4-t^2/T^2).
  4. x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T).
  5. x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right).

Para cada caso, haz un dibujo aproximado de la gráfica que representa el movimiento. Determina en cada caso los instantes de tiempo en los que la partícula se encuentra en el origen, en la parte positiva y en la parte negativa del eje. Si x se mide en metros y t en segundos, determina las unidades de las constantes que aparecen en las expresiones.

2 Solución

2.1 Caso 1

Esta curva es una línea recta que pasa por el origen y tiene pendiente A. Para que el punto esté en el origen debe ocurrir

x(t) = At = 0 \Longrightarrow t=0

Sólo está en el origen en el instante inicial. El resto del tiempo la coordenada x es positiva.

Las unidades de A deben ser las adecuadas para hacer coherente dimensionalmente la expresión de x(t). Como x se mide ne metros y t en segundos tenemos

[A] = m / s

2.2 Caso 2

x(t) = B\,(-1+t^2/T^2)

Esta curva es una parábola pues es una función cuadrática en t. Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica

  • En t = 0 tenemos x(0) = − B.
  • Veamos para que instante se halla la partícula en el origen

x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T \Longrightarrow t = T

Escogemos el valor positivo pues el movimiento ocurre en t\geq 0. Tenemos

t<T \to x(t)<0, \qquad\qquad t>T\to x(t)>0

  • Buscamos los máximos y mínimos. La derivada se anula en

x'(t) = -\dfrac{2B}{T}t=0 \Longrightarrow t=0

Es un mínimo pues

\left.x''(t)\right|_{t=0} = -\dfrac{2B}{T} >0

La curva es como se indica en la figura de la derecha.

Las unidades de las constantes son

[B]=m/s, \qquad \qquad [T]=s

2.3 Caso 3

x(t) = C(1 − t / T)(4 − t2 / T2)

Esta curva es un polinomio de grado 3. Vamos a examinarla para poder bosquejar la gráfica

  • En t = 0 tenemos x(0) = 4C.
  • Veamos para que instante se halla la partícula en el origen

x(t) = 0 \Longrightarrow t=\pm T, \pm 2T \Longrightarrow t = T, 2T

Escogemos los valores positivos pues el movimiento ocurre en t\geq 0. Tenemos

\begin{array}{l} t<T \to x(t)>0 \\ T<t<2T\to x(t)<0\\ t>2T \to x(t)>0 \end{array}

  • Buscamos los máximos y mínimos para t\geq0. La derivada se anula en

x'(t) = \dfrac{C}{T^2}(3t^2-2tT-T^2) \Longrightarrow t=1.54T

Es un mínimo pues

\left.x''(t)\right|_{t=1.54T} =\left. \dfrac{A}{T^3}(6t-2T)\right|_{t=1.54T} = 7.21\dfrac{A}{T^3}>0

La curva es como se indica en la figura de la derecha.

Las unidades de las constantes son

[C]=m/s, \qquad \qquad [T]=s

2.4 Caso 4

x(t) = D\,\mathrm{sen}\,(2\pi t/T)

Esto es una sinusoide de período T. Buscamos los instantes en que la partícula está en el origen

\mathrm{sen}\,\left(\dfrac{2\pi}{T}t\right)=0 \to \dfrac{2\pi}{T}t = n\pi\quad (n=0,1,2,\ldots) \to t_n = n\dfrac{T}{2}\quad (n=0,1,2,\ldots)

La posición empieza siendo positiva en el primer intervalo y luego cambia de signo a cada intervalo de tiempo T / 2.

El argumento de las funciones trigonómetricas debe ser adimensional. Entonces las unidades de las constantes son

[D] = m, \qquad [T]=s

2.5 Caso 5

x(t) = D\,\left(1-e^{-t/T}\right)

Esta curva involucra una exponencial.

  • Veamos cuando está la partícula en el origen

x(t)=0 \to e^{-t/T}=1 \to t=0

Sólo está en el origen en el instante inicial.

  • Veamos los máximos y mínimos

x'(t) = D\dfrac{t}{T}\,e^{-t/T} = 0

Eso no ocurre nunca, es decir la curva no tiene máximos ni mínimos. Ademas, es siempre creciente pues x'(t) > 0 en todo instante.

  • Pero también está acotada. Cuando t\to\infty, se tiene

e^{-t/T}\to0. Entonces

x(t)\leq D \qquad \forall t

El argumento de exponenciales y logaritmos debe ser adimensional. Entonces las unidades de las constantes son

[D] = m, \qquad [T]=s

Podemos ver de la figura que cuando t = 5T el valor de x es casi indistinguible del de la asíntota. La constante T da una idea de cuando tarda la función en alcanzar el valor asintótico, es decir, nos la escala de tiempo típica del sistema.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Ejemplos_de_movimiento_rect%C3%ADlineo"

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