Error en el péndulo
De Laplace
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==Solución== | ==Solución== | ||
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Un péndulo obedece la ecuación de movimiento | Un péndulo obedece la ecuación de movimiento | ||
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Cuando parte del reposo, desde una cierta separación <math>\theta_0</math>, el ángulo sigue una ley cosenoidal | Cuando parte del reposo, desde una cierta separación <math>\theta_0</math>, el ángulo sigue una ley cosenoidal | ||
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La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es | La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es | ||
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El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo | El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo | ||
| - | <center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0</math></center> | + | <center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{aprox.})=l\omega\theta_0= \sqrt{gl}\,\theta_0</math></center> |
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| + | ===Valor exacto=== | ||
| + | Esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica. | ||
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| + | La energía inicial, cuando parte del reposo, es puramente potencial. Tomando el origen de alturas en el punto más bajo de la trayectoria | ||
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| + | <center><math>E = U(0) = mg h = mgl(1-\cos\theta_0)\,</math></center> | ||
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| + | La energía en el punto más bajo es puramente cinética | ||
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| + | <center><math>E = T = \frac{1}{2}mv^2</math></center> | ||
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| + | Igualando estas dos cantidades | ||
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| + | <center><math>v_\mathrm{max}(\mathrm{exacta}) = \sqrt{2gl(1-\cos\theta_0)}</math></center> | ||
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| + | ===Comparación=== | ||
| + | El cociente entre el valor aproximado y el exacto es | ||
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| + | <center><math>\frac{v_\mathrm{ap}}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0}{\sqrt{2(1-\cos\theta_0)} = \frac{\theta_0/2}{\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}</math></center> | ||
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| + | donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que | ||
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| + | <center><math>\mathrm{sen}\,(x) < x\qquad \foral x > 0</math></center> | ||
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| + | esto quiere decir que la aproximación de oscilador armónico predice una velocidad mayor que la real. El periodo calculado con esta aproximación será entonces más pequeño que el exacto. | ||
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| + | El error relativo cometido en la aproximación es | ||
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| + | <center><math>\epsilon = \frac{|v_\mathrm{ap}-v_\mathrm{ex}|}{v_\mathrm{ex}} = \frac{\theta_0/2-\,\mathrm{sen}\,(\theta_0/2)}{\mathem{sen}\,(\theta/2)}</math></center> | ||
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[[Categoría:Problemas de movimiento oscilatorio]] | [[Categoría:Problemas de movimiento oscilatorio]] | ||
Revisión de 19:31 7 feb 2009
Contenido |
1 Enunciado
Halle el error relativo cometido al calcular la velocidad para un péndulo en su punto más bajo empleando la aproximación de oscilador armónico, si se suelta en reposo desde un ángulo respecto a la vertical de (a) 1° (b) 10° (c) 30° (d) 60° (e) 90°.
2 Solución
2.1 Valor aproximado
Un péndulo obedece la ecuación de movimiento
siendo θ la inclinación respecto a la vertical (medida en radianes). Cuando esta separación es pequeña, se puede usar la aproximación
lo que reduce la ecuación del péndulo a la de un oscilador armónico
Cuando parte del reposo, desde una cierta separación θ0, el ángulo sigue una ley cosenoidal
La velocidad lineal de la lenteja del péndulo es
El valor máximo (en módulo) de esta velocidad lo alcanza en el momento en que se encuentra en el punto más bajo
2.2 Valor exacto
Esta misma velocidad puede calcularse exactamente, empleando la ley de conservación de la energía mecánica.
La energía inicial, cuando parte del reposo, es puramente potencial. Tomando el origen de alturas en el punto más bajo de la trayectoria
La energía en el punto más bajo es puramente cinética
Igualando estas dos cantidades
2.3 Comparación
El cociente entre el valor aproximado y el exacto es
donde hemos empleado la fórmula del ángulo mitad. Dado que
esto quiere decir que la aproximación de oscilador armónico predice una velocidad mayor que la real. El periodo calculado con esta aproximación será entonces más pequeño que el exacto.
El error relativo cometido en la aproximación es
Aplicando esta fórmula a los ángulos del enunciado
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- Para 1° (π/180 radianes)
- Para 10° (π/18 radianes)
