Solución general del MAS

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 22:53 6 feb 2009

Contenido

1 Enunciado
2 Solución

1 Enunciado

La solución general de la ecuación de movimiento

$m\frac{\mathrm{d}^2x}{\mathrm{d}t^2} = -k x$

es de la forma

$x = a \cos(\omega t)+b\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$ $\omega=\sqrt{\frac{k}{m}}$

con $a$ y $b$ dos constantes dependientes de las condiciones iniciales.

Halle el valor de las constantes $a$ y $b$ si la posición inicial de la partícula es $x 0$ y su velocidad inicial es $v 0$ .
Demuestre que la ecuación horaria $x = A \cos\left(\omega t+\phi\right)$ es también solución de la misma ecuación de movimiento. Empleando relaciones trigonométricas, deduzca la relación entre las constantes ${A,φ}$ y las constantes ${a, b}$ . Exprese $A$ y $φ$ en función de la posición y la velocidad iniciales, $x 0$ y $v 0$ .
Calcule la velocidad de la partícula para cualquier instante en función de la posición y velocidad iniciales.
Demuestre que la cantidad $E = m v 2 / 2 + k x 2 / 2$ no depende del tiempo. ¿Cuánto vale en función de las condiciones iniciales?
Demuestre que $x = e jω t$ , con $\mathrm{j}=\mathrm{i}=\sqrt{-1}$ , la unidad imaginaria, es una solución particular de la ecuación de movimiento. Aplicando los resultados anteriores, demuestre la relación

$\mathrm{e}^{\mathrm{j}\omega t}=\cos(\omega t)+\mathrm{j}\,\mathrm{sen}\,(\omega t)$

2 Solución

2.1 Valor de a y b

Haciendo $t = 0$ en la ley horaria, el resultado debe ser igual a la posición inicial

$x_0 = x(0) = a \cos(\omega\cdot 0) + b\,\mathrm{sen}\,(\omega\cdot 0) = a$ $\Rightarrow$ $a = x_0\,$

Para hallar $b$ necesitamos la velocidad. Derivando en la ley horaria

$v = \frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}= -a\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega t)+b\omega\cos(\omega t)$

y su valor en $t = 0$ nos da $b$

$v_0 = -a\omega\,\mathrm{sen}\,(\omega\cdot 0)+b\omega\cos(\omega\cdot 0) = b\omega$ $\Rightarrow$ $b = \frac{v_0}{\omega}$

Por tanto, la posición en cualquier instante, en función de las condiciones iniciales, es

$x = x_0\cos(\omega t)+\frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}\,(\omega t)$

Como casos particulares tenemos

el de una partícula que se libera desde una cierta posición en reposo

$v_0 = 0\,$ $x= x_0\cos(\omega t)\,$

el de una partícula a la que se comunica un impulso inicial en la posición de equilibrio

$x_0 = 0\,$ $x= \frac{v_0}{\omega}\mathrm{sen}\,(\omega t)$

2.2 Amplitud y fase

2.3 Velocidad

2.4 Conservación de la energía

2.5 Fórmula de Euler

@@ Línea 40: / Línea 40: @@
 * el de una partícula que se libera desde una cierta posición en reposo
-<center><math>v_0 = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>x= x_0\cos(\omega t)</math></center>
+<center><math>v_0 = 0\,</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>x= x_0\cos(\omega t)\,</math></center>
 * el de una partícula a la que se comunica un impulso inicial en la posición de equilibrio

Solución general del MAS

De Laplace

Revisión de 22:53 6 feb 2009

Contenido

1 Enunciado

2 Solución

2.1 Valor de a y b

2.2 Amplitud y fase

2.3 Velocidad

2.4 Conservación de la energía

2.5 Fórmula de Euler

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