Cantidad de movimiento (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 16:46 15 oct 2016

Contenido

1 Definición
2 Teorema de la cantidad de movimiento
3 Impulso
4 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento
5 Conservación parcial de la cantidad de movimiento
6 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas
7 Relación con el centro de masas
- 7.1 Velocidad del centro de masas
8 Evolución de la cantidad de movimiento
9 Conservación de la cantidad de movimiento
10 Sistema de referencia del centro de masas
11 Sistema de referencia móvil

1 Definición

Se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad

$\vec{p}=m\vec{v}\,$

Sus dimensiones son $M L T - 1$ y sus unidades en el SI son $\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}$ (o $\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}$ )

2 Teorema de la cantidad de movimiento

A partir de la definición es inmediato que

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\vec{a} = \vec{F}$

esto es, la derivada respecto al tiempo de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas aplicadas sobre la partícula.

En el caso de una sola partícula, el teorema de la cantidad de movimiento no es más que la segunda ley de Newton. Este teorema cobra interés cuando se generaliza a sistemas de partículas.

3 Impulso

En ocasiones, no nos interesa tanto saber cómo cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo infinitesimal, sino saber cuánto varía durante un cierto periodo. Supongamos una partícula que viaja libremente y por tanto con cantidad de movimiento constante $\vec{p}_1$ . Entonces es sometida a una fuerza $\vec{F}(t)$ durante un intervalo entre $t 1$ y $t 2$ (por ejemplo, durante una colisión), a partir del cual vuelve a moverse libremente, con cantidad de movimiento constante $\vec{p}_2$ . Se trata de hallar el incremento en la cantidad de movimiento durante la colisión.

Denominamos el impulso como la integral de la fuerza respecto al tiempo en el intervalo en el que actúa

$\vec{P}=\int_{t_1}^{t_2}\vec{F}\,\mathrm{d}t$

Integrando en la segunda ley de Newton obtenemos

$\Delta \vec{p}=\vec{p}_2-\vec{p}_1 = \int_{t_1}^{t_2}\vec{F}(t)\,\mathrm{d}t=\vec{P}$

Es decir

“El incremento de la cantidad de movimiento es igual al impulso recibido”

Esta relación, aparentemente trivial, tiene su importancia en la teoría de colisiones y de percusiones, donde se ignora el valor exacto de la fuerza, pero sí se conoce el valor del impulso.

4 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento

De la segunda ley de Newton es inmediato que:

“La cantidad de movimiento de una partícula permanece constante cuando la resultante de las fuerzas que actúan sobre ella es nula durante un intervalo de tiempo”

$\vec{0}=\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$

Puesto que la masa de la partícula permanece constante, si la cantidad de movimiento se conserva, la velocidad también permanece constante

$\vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$ $\Rightarrow$ $\vec{v}=\frac{\vec{p}}{m}=\mathrm{cte}$

Por tanto, si la resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula se anula durante un intervalo de tiempo, la partícula se desplaza con un movimiento rectilíneo y uniforme durante dicho periodo.

Esto no es exactamente lo mismo que lo que dice la Primera Ley de Newton, pues esta ley habla de partícula no sometida a ninguna interacción, mientras que el teorema de conservación se refiere a una partícula sometida a diferentes fuerzas, pero tales que su resultante es nula.

Para el caso de una partícula este teorema de conservación aporta poca información nueva. Sin embargo, su extensión al caso de un sistema de partículas es extremadamente útil.

5 Conservación parcial de la cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento es un vector, con tres componentes cartesianas. Por ello, son posibles situaciones en las que, si bien no se conserva la cantidad de movimiento en su totalidad, sí sea constante alguna de sus componentes. Concretamente:

Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es en todo instante perpendicular a la dirección marcada por un vector unitario $\vec{u}$ , fijo, entonces se conserva la componente en dicha dirección

$\vec{F}\cdot\vec{u}=0\qquad\forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte.}$

Un ejemplo típico lo tenemos en el caso del movimiento por acción del peso (tiro parabólico). Al ser éste vertical en todo instante, las componentes horizontales de la cantidad de movimiento se conservan (no así la vertical).

6 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas

$\vec{p} = \vec{p}_1+\vec{p}_2+\cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 + \cdots$

7 Relación con el centro de masas

El centro de masas de un sistema de partículas se define como un punto cuya posición es la media ponderada de las posiciones respectivas.

$\overrightarrow{OG}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \overrightarrow{OP}_i\qquad\qquad \vec{r}_G=\frac{1}{M}\sum_i \vec{r}_i$

7.1 Velocidad del centro de masas

El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo

$\vec{v}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\vec{v}_i$

El numerador es justamente la cantidad de movimiento del sistema

$\vec{v}_G=\frac{\vec{p}}{M}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=M\vec{v}_G$

Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema es la misma que tendría una sola partícula que concentrara la masa de todas y se moviera como el centro de masas.

8 Evolución de la cantidad de movimiento

Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\vec{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\vec{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \vec{F}_1+\vec{F}_2 + \cdots$

esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas

$\vec{F}_i = \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i}+\cdots$

y la derivada de la cantidad de movimiento queda

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\vec{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{3\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 3}+\vec{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots$

Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton

$\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{2\to 1} = \vec{0}$

y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= \vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \vec{F}_{\mathrm{ext}}$

siendo $\vec{F}_\mathrm{ext}$ la resultante de las fuerzas externas aplicadas, esto es

la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la resultante de las fuerzas externas aplicadas sobre el sistema.

En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe

$\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(M\vec{v}_G\right) =\vec{F}_{\mathrm{ext}}$

es decir:

El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se encontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.

En un sistema cerrado, en el que la masa total permanece constante, la derivada de la masa es cero y obtenemos

$M\vec{a}_G = \vec{F}_\mathrm{ext}$

Como ejemplo tenemos el lanzamiento de un objeto. Aunque las distintas partes del objeto pueden seguir trayectorias complicadas, su CM se mueve como una partícula sometida exclusivamente a la acción del peso, es decir, describe una parábola

9 Conservación de la cantidad de movimiento

Del teorema de la cantidad de movimiento

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}$

se deduce de manera inmediata que:

En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es nula durante un cierto intervalo de tiempo, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante durante dicho intervalo

$\vec{F}_\mathrm{ext}=\vec{0}\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}$

En particular:

En un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas la cantidad de movimiento del sistema permanece constante

Asimismo, este teorema implica que

El centro de masas de un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas describe un movimiento rectilíneo y uniforme

Por tratarse de una identidad vectorial, es posible que se conserve alguna de las componentes de la cantidad de movimiento mientras que otras son variables.

En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es perpendicular a un vector fijo $\vec{u}$ durante un cierto intervalo de tiempo, la componente de la cantidad de movimiento del sistema en la dirección de $\vec{u}$ permanece constante durante dicho intervalo

$\vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\vec{u}=0\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte}$

Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.

10 Sistema de referencia del centro de masas

Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa

${\vec{r}_i}^{\,\prime} = \vec{r}_i-\vec{r}_G\qquad\qquad \overrightarrow{GP}_i=\overrightarrow{OP}_i-\overrightarrow{OG}$

Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple

$\vec{0}=\vec{r}^{\,\prime}_G \qquad \Rightarrow\qquad \sum_im_i\vec{r}^{\,\prime}_i=m_1\vec{r}^{\,\prime}_1+m_2\vec{r}^{\,\prime}_2 +\cdots = \vec{0}\qquad\qquad \sum_im_i \overrightarrow{GP}_i=\vec{0}$

De manera análoga se define la velocidad relativa al CM

${\vec{v}_i}^{\,\prime} = \vec{v}_i-\vec{v}_G$

y, del mismo modo que con la posición

$\vec{0}=\vec{v}^{\,\prime}_G \qquad \Rightarrow\qquad m_1\vec{v}^{\,\prime}_1 + m_2\vec{v}^{\,\prime}_2 +\cdots = \vec{0}$

ya que el centro de masas no se mueve respecto a sí mismo.

De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula

$\vec{p}^{\,\prime} = \sum_i m_i\vec{v}^{\,\prime}_i=M\vec{v}^{\,\prime}_G = \vec{0}$

Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el sistema centro de masas.

11 Sistema de referencia móvil

El caso del sistema CM es uno particular de sistema de referencia móvil. Si consideramos un caso más general de un sistema de referencia que se traslada (sin rotar) con una velocidad $\vec{v}_A$ , la velocidad de las partículas respecto a este sistema es

$\vec{v}^{\,\prime}_i=\vec{v}_i-\vec{v}_A$

En este sistema, la cantidad de movimiento vale

$\vec{p}^{\,\prime}=\sum_im_i(\vec{v}_i-\vec{v}_A) =\vec{p}-M\vec{v}_A$

y la derivada de la cantidad de movimiento en este sistema es

$\frac{\mathrm{d}\vec{p}^{\,\prime}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}-M\frac{\mathrm{d}\vec{v}_A}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}-M\vec{a}_A$

Si el sistema de referencia móvil es inercial, $\vec{a}_A=\vec{0}$ , y obtenemos el conocido teorema de la cantidad de movimiento. Si el sistema es acelerado, aparece un término de fuerza adicional, que es una fuerza ficticia, conocida como fuerza de inercia. En el caso de que A sea el centro de masas, los dos términos se cancelan mutuamente y queda $\vec{p}^{\,\prime}$ constante (de hecho, igual a 0, según hemos visto).

Cantidad de movimiento (CMR)

De Laplace

última version al 16:46 15 oct 2016

Contenido

1 Definición

2 Teorema de la cantidad de movimiento

3 Impulso

4 Teorema de conservación de la cantidad de movimiento

5 Conservación parcial de la cantidad de movimiento

6 Cantidad de movimiento de un sistema de partículas

7 Relación con el centro de masas

7.1 Velocidad del centro de masas

8 Evolución de la cantidad de movimiento

9 Conservación de la cantidad de movimiento

10 Sistema de referencia del centro de masas

11 Sistema de referencia móvil

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-==Cantidad de movimiento==
+==Definición==
-===Definición===
 Se define la cantidad de movimiento de una partícula como el producto de su masa por su velocidad
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 Sus dimensiones son <math>MLT^{-1}</math> y sus unidades en el SI son <math>\mathrm{N}\cdot\mathrm{s}</math> (o <math>\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}/\mathrm{s}</math>)
-===Teorema de la cantidad de movimiento===
+==Teorema de la cantidad de movimiento==
 A partir de la definición es inmediato que
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 En el caso de una sola partícula, el teorema de la cantidad de movimiento no es más que la segunda ley de Newton. Este teorema cobra interés cuando se generaliza a sistemas de partículas.
-===Impulso===
+==Impulso==
 En ocasiones, no nos interesa tanto saber cómo cambia la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo infinitesimal, sino saber cuánto varía durante un cierto periodo. Supongamos una partícula que viaja libremente y por tanto con cantidad de movimiento constante <math>\vec{p}_1</math>. Entonces es sometida a una fuerza <math>\vec{F}(t)</math> durante un intervalo entre <math>t_1</math> y <math>t_2</math> (por ejemplo, durante una colisión), a partir del cual vuelve a moverse libremente, con cantidad de movimiento constante <math>\vec{p}_2</math>. Se trata de hallar el incremento en la cantidad de movimiento durante la colisión.
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 Esta relación, aparentemente trivial, tiene su importancia en la teoría de [[Colisiones_de_dos_part%C3%ADculas|colisiones]] y de percusiones, donde se ignora el valor exacto de la fuerza, pero sí se conoce el valor del impulso.
-===Ejemplo: colisión con una pared===
+==Teorema de conservación de la cantidad de movimiento==
-Un ejemplo de impulso lo tenemos en una colisión elástica con una pared. En este caso, la fuerza actúa sobre un tiempo muy corto <math>\epsilon</math>, pero es capaz de producir un impulso
-<center><math>\Delta \vec{p}=\int_{t_0}^{t_0+\epsilon}\vec{F}\,\mathrm{d}t</math></center>
-Carecemos de una expresión para la fuerza (aunque se puede modelar como una fuerza elástica). Podemos determinar el impulso a partir de su efecto.
-====Pared estacionaria====
-Si tenemos una partícula de masa <math>m</math> que impacta frontalmente con una superficie inmóvil se produce un cambio en la velocidad de la partícula, de forma que
-* La componente tangente a la superficie no cambia
-* La componente normal cambia de signo.
-Supongamos que la superficie es el plano <math>z=0</math>. En ese caso, si la velocidad inicial es
-<center><math>\vec{v}_i = v_{x0}\vec{\imath}+v_{z0}\vec{k}</math></center>
-la velocidad tras la colisión será
-<center><math>\vec{v}_f = v_{x0}\vec{\imath}-v_{z0}\vec{k}</math></center>
-siendo el impulso sobre la partícula
-<center><math>\Delta\vec{p}=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i=-2mv_{z0}\vec{k}</math></center>
-Colisiones como esta explican el concepto de ''presión'' a nivel microscópico. Cada una de las partículas de un gas que choca contra las paredes de un recipiente transfiere una cierta cantidad de movimiento. El conjunto de todas las colisiones por unidad de tiempo es una fuerza media. La fuerza por unidad de superficie es la presión.
-====Pared en movimiento====
-Si la pared está en movimiento (caso de una raqueta que golpea una pelota), el cambio de signo se da en la velocidad relativa, no en la absoluta.
-En el caso unidimensional, si la velocidad inicial de la partícula y de la pared valen
-<center><math>\vec{v}_i = v_0\vec{\imath}\qquad \qquad \vec{V}=V\vec{\imath}</math></center>
-la velocidad de la partícula relativa a la pared, antes de la colisión, es
-<center><math>\vec{v}'_i=\vec{v}_i-\vec{V}=(v_0-V)\vec{\imath}</math></center>
-Tras la colisión, esta velocidad relativa invierte su sentido
-<center><math>\vec{v}'_f=-(v_0-V)\vec{\imath}</math></center>
-por lo que la nueva velocidad absoluta es
-<center><math>\vec{v}_f = \vec{v}'_f+\vec{V}=(2V-v_0)\vec{\imath}</math></center>
-Vemos que tras la colisión, la partícula puede moverse más o menos rápido que antes, dependiendo de ambas velocidades. En particular, si la velocidad inicial es nula, sale disparada con una velocidad doble de la raqueta, y si la velocidad inicial es el doble de la de la raqueta, tras la colisión se queda clavada en el sitio.
-El impulso en esta colisión es igual a
-<center><math>\Delta \vec{p}=m\vec{v}_f-m\vec{v}_i=2m(V-v_0)\vec{\imath}</math></center>
-===Teorema de conservación de la cantidad de movimiento===
 De la segunda ley de Newton es inmediato que:
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 Para el caso de una partícula este teorema de conservación aporta poca información nueva. Sin embargo, su extensión al caso de un [[cantidad de movimiento de un sistema de partículas|sistema de partículas]] es extremadamente útil.
-==Momento cinético==
+==Conservación parcial de la cantidad de movimiento==
-===Definiciones===
+La cantidad de movimiento es un vector, con tres componentes cartesianas. Por ello, son posibles situaciones en las que, si bien no se conserva la cantidad de movimiento en su totalidad, sí sea constante alguna de sus componentes. Concretamente:
+:''Si la resultante de las fuerzas que actúan sobre una partícula es en todo instante perpendicular a la dirección marcada por un vector unitario <math>\vec{u}</math>, fijo, entonces se conserva la componente en dicha dirección''
-[[Archivo:momento-cinetico.png|right]]
+<center><math>\vec{F}\cdot\vec{u}=0\qquad\forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte.}</math></center>
-====Momento cinético====
+Un ejemplo típico lo tenemos en el caso del movimiento por acción del peso (tiro parabólico). Al ser éste vertical en todo instante, las componentes horizontales de la cantidad de movimiento se conservan (no así la vertical).
-Se define el ''momento cinético'' (o ''momento angular'') de una partícula respecto a un punto ''fijo'' O como
-<center><math>\vec{L}_O = \vec{r}\times\vec{p}=m\vec{r}\times\vec{v}</math></center>
-siendo
-<center><math>\vec{r}=\overrightarrow{OP}</math></center>
-el vector de posición del punto P relativa al punto O.
-La condición de que el punto O sea fijo es importante, ya que la velocidad se mide respecto a ese punto. Cuando el punto es móvil, como veremos más adelante, hay que aclarar si hablamos de la velocidad absoluta o d ela relativa respecto a O.
-====Momento de una fuerza====
-Se define el momento respecto a un punto ''fijo'' O de una fuerza aplicada en un punto P como el producto vectorial
-<center><math>\vec{M}_O = \vec{r}\times\vec{F}=\overrightarrow{OP}\times\vec{F}</math></center>
-Al momento de una fuerza también se lo denomina &ldquo;el par de la fuerza&rdquo; o (por contagio del inglés) el &ldquo;torque&rdquo;.
-<center>[[Archivo:momento-fuerza.png]]</center>
-El módulo del momento de una fuerza es igual a
-<center><math>|\vec{M}_O| = |\vec{F}||\overrightarrow{OP}|\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
-pero
-<center><math>d = |\overrightarrow{OP}|\,\mathrm{sen}(\beta)</math></center>
-es la distancia a la llamada ''recta soporte'', que es aquella que pasa por P y tiene la dirección de la fuerza. Por tanto, el módulo del momento de la fuerza se puede escribir
-<center><math>|\vec{M}_O| = |\vec{F}|d</math></center>
-A la distancia <math>d</math> se la denomina &ldquo;brazo del momento&rdquo; o &ldquo;brazo del par&rdquo;. De aquí resulta que el valor del momento de una fuerza no depende de la posición exacta del punto P, sino solo de la recta soporte donde se halla.
-La dirección del momento de la fuerza es perpendicular al plano definido por <math>\overrightarrow{OP}</math> y la fuerza (es decir, el que contiene a O y a la recta soporte). Su sentido lo da la regla de la mano derecha. Si O está a un lado de la recta soporte, el sentido del momento es hacia afuera del plano; si está al otro es hacia adentro. Cuando el propio punto O se encuentra en la recta soporte
-<center><math>\overrightarrow{OP}\parallel \vec{F} \qquad\Rightarrow\qquad \vec{M}_O=\vec{0}</math></center>
-Si tenemos varias fuerzas actuando sobre la misma partícula, la resultante de los momentos es igual al momento de la resultante
-<center><math>\vec{M}_O=\sum_i \vec{M}_{iO}=\sum_i\vec{r}\times\vec{F}_i = \vec{r}\times\sum_i\vec{F}_i =\vec{r}\times\vec{F}</math></center>
-===Interpretación del momento cinético===
-Del mismo modo que la cantidad de movimiento, como su nombre indica, es una medida de cuánto se mueve una partícula (en el sentido de que, por ejemplo, en una colisión, importa tanto la velocidad del proyectil como su masa), el momento cinético mide la cantidad de rotación en torno al punto O.
-Esto se ve claro en el caso de un movimiento circular. Si una partícula describe una circunferencia alrededor del punto O, el momento cinético respecto a este punto vale
-<center><math>\vec{L}_O = m\vec{r}\times\vec{v}=m\vec{r}\times(\vec{\omega}\times\vec{r}) = mR^2\vec{\omega}</math></center>
-Vemos que esta &ldquo;cantidad de rotación&rdquo; depende de con qué velocidad se gira, de la masa de la partícula y del radio de la circunferencia.
-<center>[[Archivo:direccion-circulo.gif]]</center>
-Esta idea se puede generalizar a movimientos no circulares. Si una partícula describe un movimiento rectilíneo y la observamos desde un punto exterior a la recta, nuestra dirección de observación va girando, aunque la partícula vaya en línea recta. Eso sí, cuanto mayor es la distancia, menor es el cambio de la dirección de observación.
-<center>[[Archivo:direccion-recta.gif]]</center>
-===Cambio del centro de reducción===
-Si en vez de un punto O, calculamos el momento cinético respecto a otro punto fijo A (lo que dice, en un contexto más gfeneral &ldquo;cambiar el centro de reducción&rdquo;)
-<center><math>\vec{L}_A = \overrightarrow{AP}\times\vec{p}</math></center>
-la relación con el del punto O es
-<center><math>\vec{L}_A=(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OP})\times\vec{p}=\overrightarrow{AO}\times\vec{p}+\vec{L}_O</math></center>
-siendo el vector <math>\overrightarrow{AO}</math> uno fijo, independiente del movimiento de la partícula. Invirtiendo el producto vectorial
-<center><math>\vec{L}_A=\vec{L}_O+\vec{p}\times\overrightarrow{OA}</math></center>
-Igualmente, para el momento de las fuerzas, tenemos que
-<center><math>\vec{M}_A = \vec{M}_O+\vec{F}\times\overrightarrow{OA}</math></center>
-siendo <math>\vec{F}</math> la resultante de las fuerzas aplicadas
-===Derivada del momento cinético (Teorema del momento cinético)===
-Como consecuencia de la segunda ley de Newton, la derivada del momento cinético de una partícula es igual al momento resultante sobre ella
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t} =m\left(\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\right)\times\vec{v}+m\,\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=m\overbrace{\vec{v}\times\vec{v}}^{=\vec{0}}+\vec{r}\times\vec{F}=\vec{M}_O</math></center>
-Nótese que para que esta expresión sea correcta, es crucial que el punto O sea fijo. Si no, deberíamos tener en cuenta su velocidad a la hora de derivar.
-===Teorema de conservación===
-De la expresión para la derivada del momento cinético se deduce su teorema de conservación:
-:''Si la resultante de los momentos de las fuerzas que actúan sobre una partícula es nula, el momento cinético de dicha partícula permanece constante.''
-<center><math>\vec{0} = \vec{M}_O=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}</math>{{tose}}<math>\vec{L}_O=\mathrm{cte}</math></center>
-Una consecuencia inmediata de la conservación del momento cinético es:
-:''La trayectoria de una partícula cuyo momento cinético permanece constante es plana.''
-El plano en el que ocurre la trayectoria es el definido por el centro de reducción, la posición inicial y la velocidad inicial.
-Puesto que el momento cinético se conserva tenemos que si multiplicamos escalarmente el vector de posición relativo por este vector constante
-<center><math> \vec{L}_O\cdot\vec{r}=m\overbrace{\left(\vec{r}\times\vec{v}\right)}^{\perp\vec{r}}\cdot\vec{r} = 0</math></center>
-Esta es la ecuación vectorial de un plano que pasa por O y es normal a la dirección de <math>\vec{L}_O</math>.
-===Fuerzas centrales===
-Las fuerzas centrales constituyen  un caso particular e importante de las diferentes fuerzas presentes en la naturaleza. Una ''fuerza central'' es aquella que en todos los puntos del espacio posee dirección radial desde un punto fijo O, siendo además dependiente solo de la distancia a dicho punto
-<center><math>\vec{F}(\vec{r}) = f(|\vec{r}|)\vec{r}</math></center>
-Ejemplos de fuerzas centrales son la fuerza de la gravedad debida a un objeto masivo (como la atracción que el Sol ejerce sobre la Tierra), o la fuerza eléctrica debida a una carga en reposo.
-Se tiene que
-:''El momento cinético respecto a un punto O de una partícula sometida a la acción de una fuerza central, con centro O, permanece constante.''
-La demostración es inmediata, ya que el vector de posición relativo y la fuerza son vectores paralelos
-<center><math>\vec{M}_O = \vec{r}\times\overbrace{\vec{F}}^{\parallel\vec{r}} = \vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{L}_O = \mathrm{cte}</math></center>
-En particular, esto implica que la trayectoria de toda partícula sometida a una fuerza central (p.ej. una óirbita planetaria, o un oscilador armónico en 3 dimensiones) es una curva plana.
-===Segunda ley de Kepler===
-[[Archivo:segunda-ley-kepler-planeta.gif|right]]
-La segunda ley de Kepler fue formulada inicialmente para el movimiento planetario, pero se trata de una consecuencia general de la ley de conservación del momento cinético.
-:''Una partícula cuyo momento cinético permanece constante barre áreas iguales en tiempos iguales''
-Aquí la velocidad con la que se &ldquo;barren áreas&rdquo; hay que entenderla empleando la '''velocidad areolar''': para una trayectoria plana se mide el ritmo con el que varía el área del triángulo mixtilíneo formado por el vector de posición inicial (medido desde el punto <math>O</math> respecto al cual se conserva el momento cinético), el vector de posición instantáneo, respecto al mismo origen, y el arco de trayectoria comprendido entre los dos puntos.
-<center><math>V_A = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}</math></center>
-Puesto que posee dimensiones de L&sup2;/T, no se trata realmente de una velocidad, sino de un ritmo de variación.
-En forma vectorial, si <math>\vec{B}</math> es el vector perpendicular al plano que contiene a la trayectoria
+==Cantidad de movimiento de un sistema de partículas==
+La cantidad de movimiento (o momento lineal) del sistema es la suma de las cantidades de movimiento de cada una de las partículas
-<center><math>\vec{V}_A = \frac{\mathrm{d}A}{\mathrm{d}t}\vec{B} = \frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}</math></center>
+<center><math>\vec{p} = \vec{p}_1+\vec{p}_2+\cdots = m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2 + \cdots </math></center>
-En un intervalo infinitesimal <math>\mathrm{d}t</math> el área barrida es la correspondiente a un triángulo que tiene por lados el vector de posición relativo, <math>\vec{r}</math>, y el desplazamiento diferencial
+==Relación con el centro de masas==
+El [[Masa_y_Gentro_de_masas_(CMR)#Centro_de_masas_.28CM.29|centro de masas]] de un sistema de partículas se define como un punto cuya posición es la media ponderada de las posiciones respectivas.
-<center><math>\mathrm{d}\vec{r} = \vec{r}(t+\mathrm{d}t)-\vec{r}(t)</math></center>
+<center><math>\overrightarrow{OG}=\frac{1}{M}\sum_i m_i \overrightarrow{OP}_i\qquad\qquad \vec{r}_G=\frac{1}{M}\sum_i \vec{r}_i</math></center>
-el área de este triángulo es
+===Velocidad del centro de masas===
+El centro de masas no es un punto fijo, sino que puede desplazarse cuando lo hacen las partículas del sistema. Obtenemos su velocidad derivando la definición respecto al tiempo
-<center><math>\mathrm{d}\vec{A}=\frac{1}{2}\vec{r}\times\mathrm{d}\vec{r}</math></center>
+<center><math>
+\vec{v}_G = \frac{\mathrm{d}\vec{r}_G}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\frac{\mathrm{d}\vec{r}_i}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{M}\sum_im_i\vec{v}_i</math></center>
-y la velocidad areolar es igual a
+El numerador es justamente la cantidad de movimiento del sistema
-<center><math>\vec{V}_A = \frac{\mathrm{d}\vec{A}}{\mathrm{d}t}=\frac{1}{2}\vec{r}\times\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\vec{L}_O}{2m}</math></center>
+<center><math>\vec{v}_G=\frac{\vec{p}}{M}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=M\vec{v}_G</math></center>
-Por tanto, si el momento cinético permanece constante, la velocidad areolar también es una integral primera y tenemos la segunda ley de Kepler.
+Por tanto, la cantidad de movimiento del sistema es la misma que tendría una sola partícula que concentrara la masa de todas y se moviera como el centro de masas.
-La consecuencia inmediata de este teorema es que un cuerpo sometido a una fuerza central, por ejemplo, un planeta, se mueve más rápidamente cuando se encuentra en las proximidades del centro de fuerzas que cuando se encuentra más alejado de él.
+==Evolución de la cantidad de movimiento==
+Supongamos un sistema de partículas sometidas a fuerzas externas y también interactuantes entre sí, cumpliendo las fuerzas internas la tercera ley de Newton. En este caso, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento total es
-Para el caso de la órbita terrestre, podemos comprobar que en invierno, la distancia Tierra-Sol es menor que en verano, pues mientras entre el equinoccio de Otoño (23 de septiembre) y el de Primavera (21 de marzo) hay 179 días, entre el de Primavera y el de Otoño hay 184 días, esto es, el invierno es más corto que el verano, debido a la mayor proximidad. Concretamente, el perihelio (punto más próximo) es en torno al 4 de enero, mientras que el afelio (punto más alejado) es en torno al 4 de Julio.
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = m_1\frac{\mathrm{d}\vec{v}_1}{\mathrm{d}t}+ m_2\frac{\mathrm{d}\vec{v}_2}{\mathrm{d}t}+\cdots = \vec{F}_1+\vec{F}_2 + \cdots</math></center>
-Este resultado también es aplicable al caso de una trayectoria abierta, incluyendo ahí el caso particular de un movimiento rectilíneo uniforme.
+esto es, la derivada de la cantidad de movimiento es la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre las partículas del sistema. Esto es consecuencia directa de la definición, pero es poco útil pues requiere conocer también las fuerzas internas que son normalmente desconocidas. Por ello, descomponemos las fuerzas sobre cada partícula en suma de las externas y de las internas
-===Expresión en coordenadas polares===
+<center><math>\vec{F}_i = \vec{F}_{i\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to i}+\vec{F}_{2\to i}+\cdots</math></center>
-El teorema del momento cinético presenta una expresión extremadamente sencilla en el caso de una partícula que efectúa un movimiento plano, si se emplean coordenadas polares.
-Para un movimiento plano, el vector de posición de una partícula es
+y la derivada de la cantidad de movimiento queda
-<center><math>\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho</math></center>
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\left(\vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\to 1}+\vec{F}_{3\to 1}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{3\to 2}+\cdots\right)+\left(\vec{F}_{3\mathrm{ext}}+\vec{F}_{1\to 3}+\vec{F}_{2\to 3}+\cdots\right)+\cdots</math></center>
-y su velocidad
+Pero, de acuerdo con la tercera ley de Newton
-<center><math>\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi</math></center>
+<center><math>\vec{F}_{1\to 2}+\vec{F}_{2\to 1} = \vec{0}</math></center>
-Multiplicando vectorialmente estas dos cantidades obtenemos la velocidad areolar y el momento cinético respecto al origen de coordenadas
+y análogamente para el resto de pares de partículas. Por tanto, las fuerzas internas se cancelan dos a dos y queda la expresión mucho más útil
-<center><math>\vec{V}_A=\frac{\rho^2\dot{\varphi}}{2}\vec{k}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\vec{L}=m\rho^2\dot{\varphi}\vec{k}</math></center>
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}= \vec{F}_{1\mathrm{ext}}+\vec{F}_{2\mathrm{ext}}+\cdots = \vec{F}_{\mathrm{ext}}</math></center>
-La derivada temporal de esta expresión nos da
+siendo <math>\vec{F}_\mathrm{ext}</math> la resultante de las fuerzas externas aplicadas, esto es
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}(\rho^2\dot{\varphi})=M_z</math></center>
+* la derivada de la cantidad de movimiento es igual a la ''resultante'' de las fuerzas '''externas''' aplicadas sobre el sistema.
-En el caso de una fuerza central, esta se expresa en polares
+En términos del centro de masas, la ley de evolución de la cantidad de movimiento se escribe
-<center><math>\vec{F}=F(\rho)\vec{u}_\rho</math></center>
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(M\vec{v}_G\right) =\vec{F}_{\mathrm{ext}}</math></center>
-y la ecuación de movimiento correspondiente
+es decir:
-<center><math>\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2=\frac{1}{m}F(\rho)</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\rho\ddot{\varphi}+2\dot{\rho}\dot{\varphi}=0</math></center>
+* El centro de masas de un sistema de partículas se mueve como una sola partícula cuya masa fuera la total del sistema y que se encontrara sometida a la resultante de las fuerzas externas ejercidas sobre el sistema.
-La segunda ecuación es equivalente a la ley de conservación del momento cinético
+En un sistema cerrado, en el que la masa total permanece constante, la derivada de la masa es cero y obtenemos
-<center><math>\rho^2\dot{\varphi}=\frac{L_0}{m}</math></center>
+<center><math>M\vec{a}_G = \vec{F}_\mathrm{ext}</math></center>
-Despejando de aquí y sustituyendo en la componente radial de la aceleración queda
+Como ejemplo tenemos el lanzamiento de un objeto. Aunque las distintas partes del objeto pueden seguir trayectorias complicadas, su CM se mueve como una partícula sometida exclusivamente a la acción del peso, es decir, describe una parábola
-<center><math>\ddot{\rho}=\frac{L_0^2}{m^2\rho^3}+F(\rho)</math></center>
+<center>[[Archivo:martillo-parabola.gif]]</center>
-que matemáticamente es equivalente a una ecuación de movimiento rectilíneo, con un término de fuerza adicional.
+==Conservación de la cantidad de movimiento==
+Del teorema de la cantidad de movimiento
-===Conservación parcial del momento cinético===
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}</math></center>
-Existen ocasiones en que el momento cinético no se conserva. Sin embargo, incluso en esos casos es a menudo posible obtener una ley de conservación más restringida.
-Para ello, tenemos en cuenta que el momento cinético es un vector y posee tres componentes. Puede ocurrir que aunque el vector como tal no sea constante, una de sus componentes sí lo sea. Sea <math>\vec{u}</math> un vector unitario fijo. La componente del momento angular según la dirección de <math>\vec{u}</math> es
+se deduce de manera inmediata que:
-<center><math>L_{u}=\vec{L}_O\cdot\vec{u}\,</math></center>
+:''En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es nula durante un cierto intervalo de tiempo, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante durante dicho intervalo''
-Derivando aquí respecto al tiempo
+<center><math>\vec{F}_\mathrm{ext}=\vec{0}\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad \vec{p}=\vec{p}_0=\mathrm{cte}</math></center>
-<center><math>\frac{\mathrm{d}L_u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}\cdot\vec{u}=\vec{M}_O\cdot\vec{u}=M_u</math></center>
+En particular:
-Si se anula la componente en la dirección de <math>\vec{u}</math> del momento de las fuerzas aplicadas, la componente del momento cinético en dicha dirección permanece constante.
+:''En un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas la cantidad de movimiento del sistema permanece constante''
-===Ejemplo. Péndulo simple===
+Asimismo, este teorema implica que
-Un ejemplo de aplicación del teorema del momento cinético en el que se simplifican los cálculos respecto a la aplicación directa de las leyes de Newton es el caso del [[Aplicaciones_de_las_leyes_de_Newton_(GIE)#Oscilaciones_no_lineales._P.C3.A9ndulo_simple|péndulo simple]].
-Supongamos una partícula de masa <math>m</math> atada a un hilo inextensible que por su otro extremo está atado a un punto de anclaje fijo O.
+:''El centro de masas de un sistema de partículas sometido exclusivamente a fuerzas internas describe un movimiento rectilíneo y uniforme''
-<center>[[Archivo:fuerzas-pendulo-02.png]]</center>
+Por tratarse de una identidad vectorial, es posible que se conserve alguna de las componentes de la cantidad de movimiento mientras que otras son variables.
-Tal como se ve en el apartado correspondiente de aplicaciones de las leyes de Newton, la masa se encuentra sometida a la acción conjunto de dos fuerzas: el peso y la tensión del hilo, de forma que
+:''En un sistema de partículas tal que la resultante de las fuerzas externas es perpendicular a un vector fijo <math>\vec{u}</math> durante un cierto intervalo de tiempo, la componente de la cantidad de movimiento del sistema en la dirección de <math>\vec{u}</math> permanece constante durante dicho intervalo''
-<center><math>m\vec{a}=m\vec{g}+\vec{F}_T</math></center>
+<center><math>\vec{F}_\mathrm{ext}\cdot\vec{u}=0\qquad \forall t\qquad\Rightarrow\qquad p_u=\vec{p}\cdot\vec{u}=\mathrm{cte}</math></center>
+Este principio imposibilita que, por ejemplo, un grupo de aguerridos astronautas consiga desviar la trayectoria de un cometa simplemente colocando una bomba en él, ya que las fuerzas debidas a la bomba son puramente internas, y el centro de masas continuará su trayectoria inalterada, por mucho que se fragmente el asteroide.
-Desarrollando esta ecuación en sus componentes y eliminando la tensión entre las dos ecuaciones que resultan se llega a la ecuación del péndulo
+==Sistema de referencia del centro de masas==
+Una vez definida la posición del centro de masas, interesa indicar dónde están situadas las partículas respecto al CM. Esto se consigue definiendo la posición relativa
-<center><math>\ddot{\theta}=-\frac{g}{l}\mathrm{sen}(\theta)</math></center>
+<center><math>{\vec{r}_i}^{\,\prime} = \vec{r}_i-\vec{r}_G\qquad\qquad  \overrightarrow{GP}_i=\overrightarrow{OP}_i-\overrightarrow{OG}</math></center>
-la complicación que tiene este método es que obliga a introducir la tensión, que es una fuerza desconocida ''a priori''.
+Dado que la posición del centro de masas respecto a sí mismo es evidentemente nula, se cumple
-Veamos como sería con ayuda del momento cinético. El momento cinético respecto al punto O es igual a
+<center><math>\vec{0}=\vec{r}^{\,\prime}_G \qquad \Rightarrow\qquad  \sum_im_i\vec{r}^{\,\prime}_i=m_1\vec{r}^{\,\prime}_1+m_2\vec{r}^{\,\prime}_2 +\cdots = \vec{0}\qquad\qquad \sum_im_i \overrightarrow{GP}_i=\vec{0}</math></center>
-<center><math>\vec{L}_O=m\vec{r}\times\vec{v}</math></center>
+De manera análoga se define la velocidad relativa al CM
-donde
+<center><math>{\vec{v}_i}^{\,\prime} = \vec{v}_i-\vec{v}_G</math></center>
-<center><math>\vec{r}=l\vec{u}_\rho\qquad \vec{v}=l\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi</math></center>
+y, del mismo modo que con la posición
-Al ser perpendiculares estos dos vectores, su producto vectorial es igual a
+<center><math>\vec{0}=\vec{v}^{\,\prime}_G \qquad \Rightarrow\qquad m_1\vec{v}^{\,\prime}_1 + m_2\vec{v}^{\,\prime}_2 +\cdots = \vec{0}</math></center>
-<center><math>\vec{L}_O=ml^2\dot{\varphi}\vec{k}</math></center>
+ya que el centro de masas no se mueve respecto a sí mismo.
-siendo <math>\vec{k}</math> el vector normal hacia afuera del plano de oscilación del péndulo (no el de la dirección de la gravedad, que en estos ejes sería <math>\vec{g}=g\vec{\imath}</math>). La derivada respecto al tiempo del momento cinético es
+De la relación entre cantidad de movimiento y velocidad del centro de masas se llega a que la cantidad de movimiento del sistema respecto al centro de masas es siempre nula
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=ml^2\ddot{\varphi}\vec{k}</math></center>
+<center><math>\vec{p}^{\,\prime} = \sum_i m_i\vec{v}^{\,\prime}_i=M\vec{v}^{\,\prime}_G = \vec{0}</math></center>
-Esta derivada debe ser igual a la resultante de los momento de las fuerzas aplicadas
+Esto permite redefinir el centro de masas como aquel punto (variable) desde el cual la cantidad de movimiento del sistema es nula en todo momento. Cuando un sistema de partículas se estudia empleando este punto como origen del sistema de referencia se dice que se está estudiando desde el ''sistema centro de masas''.
-<center><math>\vec{M}_O=\vec{r}\times\vec{F}_T+\vec{r}\times(m\vec{g})</math></center>
+==Sistema de referencia móvil==
+El caso del sistema CM es uno particular de sistema de referencia móvil. Si consideramos un caso más general de un sistema de referencia que se traslada (sin rotar) con una velocidad <math>\vec{v}_A</math>, la velocidad de las partículas respecto a este sistema es
-Ahora bien, la tensión va en la dirección del hilo, que es también la del vector de posición. Por tanto, su momento es nulo y solo queda el del peso. Éste, a su vez, es igual a la distancia a la recta soporte (la vertical que pasa por la partícula), con lo que su momento vale
+<center><math>\vec{v}^{\,\prime}_i=\vec{v}_i-\vec{v}_A</math></center>
-<center><math>\vec{M}_O=-x(mg)\vec{k} = -mgl\,\mathrm{sen}(\varphi)\vec{k}</math></center>
+En este sistema, la cantidad de movimiento vale
-el signo negativo viene de que cuando <math>\varphi</math> es positivo, la regla de la mano derecha da para el momento un sentido hacia adentro del plano.
+<center><math>\vec{p}^{\,\prime}=\sum_im_i(\vec{v}_i-\vec{v}_A) =\vec{p}-M\vec{v}_A</math></center>
-Igualando las dos cantidades queda
+y la derivada de la cantidad de movimiento en este sistema es
-<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{L}_O}{\mathrm{d}t}=\vec{M}_O\qquad\Rightarrow\qquad ml^2\ddot{\varphi}=-mgl\,\mathrm{sen}(\varphi)\qquad\Rightarrow\qquad \ddot{\varphi}=-\frac{g}{l}\mathrm{sen}(\varphi)</math></center>
+<center><math>\frac{\mathrm{d}\vec{p}^{\,\prime}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}-M\frac{\mathrm{d}\vec{v}_A}{\mathrm{d}t}=\vec{F}_\mathrm{ext}-M\vec{a}_A</math></center>
+Si el sistema de referencia móvil es inercial, <math>\vec{a}_A=\vec{0}</math>, y obtenemos el conocido teorema de la cantidad de movimiento. Si el sistema es acelerado, aparece un término de fuerza adicional, que es una fuerza ficticia, conocida como ''fuerza de inercia''. En el caso de que A sea el centro de masas, los dos términos se cancelan mutuamente y queda <math>\vec{p}^{\,\prime}</math> constante (de hecho, igual a 0, según hemos visto).
 [[Categoría:Mecánica de la partícula y de los sistemas (CMR)]]