Paso de calor entre dos cámaras rígidas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

última version al 08:52 11 jun 2016

Contenido

1 Enunciado
2 Temperatura final
3 Calor transferido
4 Fuerza sobre la pared

1 Enunciado

Un recipiente adiabático de 2 m³ está dividido en dos cámaras cúbicas del mismo tamaño, separadas por una pared inmóvil rellena de un aislante térmico. Las dos cámaras están llenas de aire seco. La de la izquierda contiene aire a 102 kPa y 600 K. El aire de la derecha está también a 102 kPa, pero a 300 K. Sin quitar la pared central se retira el aislante térmico que contiene, permitiendo que las dos cámaras entren en contacto térmico entre sí (no con el exterior)

Determine la temperatura final de equilibrio y la cantidad de calor que pasa de una cámara a la otra.
Halle la fuerza sobre la pared central una vez que se ha alcanzado el equilibrio térmico.

Datos Constante universal de los gases ideales: $R=8.314\,\mathrm{J}/\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}$ ; cociente entre capacidades caloríficas para el aire $γ = 1.4$ .

2 Temperatura final

Al ser el recipiente adiabático, todo el calor que sale de una de las cámaras entra en la otra

$Q_\mathrm{1out}=Q_\mathrm{2in}\,$

y, por ser los dos procesos a volumen constante y tratarse del mismo gas en ambas cámaras

$n_1c_v(T_1-T_f)=n_2c_v(T_f-T_2)\qquad \Rightarrow\qquad T_f=\frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}$

Calculamos el número de moles de cada gas

$n_1 = \frac{pV}{RT_1}= 20.45\,\mathrm{mol}\qquad\qquad n_2 = \frac{pV}{RT_2}= 40.89\,\mathrm{mol}=2n_1$

y por tanto, la temperatura final es

$T_f = \frac{20.45\times 600+40.89\times 300}{20.45+40.89}=400\,\mathrm{K}$

3 Calor transferido

La cantidad de calor que pasa de una cámara a la otra es

$Q_\mathrm{2in}=n_2c_v(T_f-T_2)\,$

La capacidad calorífica molar a volumen constante es, para el aire seco

$c_v = \frac{R}{\gamma-1}=\frac{8.314}{0.4}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}} = 20.79\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}$

y por tanto el calor

$Q_\mathrm{2in}=20.45\times 20.79(400-300)\,\mathrm{J}=85\,\mathrm{kJ}$

4 Fuerza sobre la pared

La fuerza se debe a la diferencia de presiones entre las dos cámaras. La presión final de cada una cumple, por ser el volumen constante,

$\frac{p_{nf}}{T_f}=\frac{p}{T_n}\qquad\Rightarrow\qquad p_{nf}=\frac{T_f}{T_n}p\qquad n = 1,2$

Esto nos da

$p_{1f}=\frac{400}{600}102\,\mathrm{kPa}=68\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_{2f}=\frac{400}{300}102\,\mathrm{kPa}=136\,\mathrm{kPa}$

Puesto que conocemos la diferencia de presiones y el área de la pared (1m² por ser un cubo de 1m³ de volumen), la fuerza es inmediata

$\vec{F}=(p_{1f}-p_{2f})S\vec{\imath}=-68\,\mathrm{kN}\vec{\imath}$

@@ Línea 10: / Línea 10: @@
 ==Temperatura final==
-Vaya por delante que el problema se puede resolver de forma &ldquo;mecánica&rdquo; hallando el número de moles de cada gas y calculando luego la transferencia de calor, pero también puede resolverse de forma general sin emplear los moles.
 Al ser el recipiente adiabático, todo el calor que sale de una de las cámaras entra en la otra
@@ Línea 20: / Línea 18: @@
 <center><math>n_1c_v(T_1-T_f)=n_2c_v(T_f-T_2)\qquad \Rightarrow\qquad T_f=\frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}</math></center>
-Puesto que inicialmente la presión es la misma en las dos cámaras, <math>p</math>, y también lo es su volumen, <math>V</math>, pero la temperatura de un gas (<math>T_1=600\,\mathrm{K}</math>) es el doble de la otra (<math>T_2=300\,\mathrm{K}</math>) se deduce que el número de moles de una cámara es el doble de la otra
+Calculamos el número de moles de cada gas
-<center><math>n_1 = \frac{pV}{RT_1}= \frac{pV}{R(2T_2)}=\frac{n_2}{2}</math></center>
+<center><math>n_1 = \frac{pV}{RT_1}= 20.45\,\mathrm{mol}\qquad\qquad n_2 = \frac{pV}{RT_2}= 40.89\,\mathrm{mol}=2n_1</math></center>
 y por tanto, la temperatura final es
-<center><math>T_f = \frac{n_1(2T_2)+(2n_1)T_2}{n_1+2n_1}=\frac{4T_2}{3}=400\,\mathrm{K}
+<center><math>T_f = \frac{20.45\times 600+40.89\times 300}{20.45+40.89}=400\,\mathrm{K}
 </math></center>
@@ Línea 32: / Línea 30: @@
 La cantidad de calor que pasa de una cámara a la otra es
-<center><math>Q_\mathrm{2in}=n_2c_v(T_f-T_2)=\frac{p_{2f}V-pV}{\gamma-1}</math></center>
+<center><math>Q_\mathrm{2in}=n_2c_v(T_f-T_2)\,</math></center>
-donde la presión final de cada cámara cumple, por ser el volumen constante,
+La capacidad calorífica molar a volumen constante es, para el aire seco
+<center><math>c_v = \frac{R}{\gamma-1}=\frac{8.314}{0.4}\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}} = 20.79\,\frac{\mathrm{J}}{\mathrm{K}\cdot\mathrm{mol}}</math></center>
+y por tanto el calor
+<center><math>Q_\mathrm{2in}=20.45\times 20.79(400-300)\,\mathrm{J}=85\,\mathrm{kJ}</math></center>
+==Fuerza sobre la pared==
+La fuerza se debe a la diferencia de presiones entre las dos cámaras.
+La presión final de cada una cumple, por ser el volumen constante,
 <center><math>\frac{p_{nf}}{T_f}=\frac{p}{T_n}\qquad\Rightarrow\qquad p_{nf}=\frac{T_f}{T_n}p\qquad n = 1,2</math></center>
@@ Línea 41: / Línea 49: @@
 <center><math>p_{1f}=\frac{400}{600}102\,\mathrm{kPa}=68\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_{2f}=\frac{400}{300}102\,\mathrm{kPa}=136\,\mathrm{kPa}</math></center>
-y por tanto el calor
-<center><math>Q_\mathrm{2in}=\frac{136\times 1 - 102\times 1}{0.4}\,\mathrm{kJ}=85\,\mathrm{kJ}</math></center>
-==Fuerza sobre la pared==
 Puesto que conocemos la diferencia de presiones y el área de la pared (1m&sup2; por ser un cubo de 1m&sup3; de volumen), la fuerza es inmediata
 <center><math>\vec{F}=(p_{1f}-p_{2f})S\vec{\imath}=-68\,\mathrm{kN}\vec{\imath}</math></center>
 [[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica (GIE)]]

Paso de calor entre dos cámaras rígidas

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