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Campo de una distribución cilíndrica

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Campo eléctrico)
(→Campo eléctrico)
Línea 36: Línea 36:
Por la simetría del sistema podemos considerar que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia al eje del cilindro y por tanto el campo eléctrico es radial y dependiente de esta misma distancia
Por la simetría del sistema podemos considerar que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia al eje del cilindro y por tanto el campo eléctrico es radial y dependiente de esta misma distancia
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<center><math>\phi = \phi(\rho)</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=-\nabla\phi = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\rho}\mathbf{u}_\rho = E(\rho)\mathbf{u}_\rho</math></center>
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<center><math>\phi = \phi(\rho)\,</math>{{tose}}<math>\mathbf{E}=-\nabla\phi = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\rho}\mathbf{u}_\rho = E(\rho)\mathbf{u}_\rho</math></center>
Si consideramos una superficie cilíndrica de altura <math>h</math> y radio <math>\rho < a</math>, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie contiene solamente la contribución de la cara lateral, en la cual el módulo del campo es constante
Si consideramos una superficie cilíndrica de altura <math>h</math> y radio <math>\rho < a</math>, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie contiene solamente la contribución de la cara lateral, en la cual el módulo del campo es constante
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<center><math>\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = \int_{S_L} \left(E(\rho)\mathbf{u)_\rho\right)\cdot\left(\mathrm{d}S\mathbf{u}_\rho\right) = 2\pi\rho h E(\rho)</math></center>
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<center><math>\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = </math></center>
===Diferencia de potencial===
===Diferencia de potencial===

Revisión de 22:06 15 ene 2009

Contenido

1 Enunciado

Un cilindro de radio a y longitud indefinida, mucho mayor que el radio, está relleno de sendas distribuciones de carga eléctrica de signo opuesto y densidades volumétricas constantes ρ0 y − ρ0, según se muestra en la figura. Además, en la superficie de separación entre ambas distribuciones, ρ = a / 2, existe una distribución superficial uniforme de carga.
  1. Calcule el valor de dicha densidad superficial de carga si el campo eléctrico es nulo en los puntos exteriores al cilindro
  2. Obtenga la expresión del campo eléctrico en todo el espacio
  3. Calcule la diferencia de potencial entre el centro de la distribución y la superficie exterior.
  4. Halle la densidad de energía electrostática en cualquier punto del espacio, así como la energía almacenada entre dos planos z = 0 y z = h.

2 Solución

2.1 Densidad superficial de carga

Si el campo exterior es nulo, al calcular su flujo a través de una superficie cilíndrica de radio ρ y altura h, exterior al cilindro de carga el flujo es nulo. Esto quiere decir, por aplicación de la ley de Gauss, que también lo es la carga encerrada en este cilindro

0 = \oint\mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}= \frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}

A su vez la carga encerrada es la suma de la carga de volumen y de la superficial

Q_\mathrm{int}=\int\rho_0\,\mathrm{d}\tau+\int \sigma_s\,\mathrm{d}S+\int(-\rho_0)\mathrm{d}\tau

Como las tres distribuciones son uniformes, la contribución de cada una es igual al integrando multiplicado por el dominio de integración (un cilindro, una superficie cilíndrica y una corona cilíndrica), esto es

  • Cilindro interior
\int \rho_0\,\mathrm{d}\tau = \rho_0 \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 h=\frac{\rho_0\pi a^2h}{4}
  • Superficie cilíndrica intermedia
\int\sigma_s\,\mathrm{d}S = 2\pi\sigma_s\frac{a}{2}h=\pi\sigma_s a h
  • Corona cilíndrica exterior
\int \left(-\rho_0\right)\,\mathrm{d}\tau = -\rho_0 \pi \left(a^2-\left(\frac{a}{2}\right)^2\right) h = -\frac{3\rho_0\pi a^2h}{4}

Sumando las tres contribuciones e imponiendo la anulación

0 = -\frac{\pi \rho_0a^2 h}{2}+\pi\sigma_sa h   \Rightarrow   \sigma_s =\frac{\rho_0a}{2}

2.2 Campo eléctrico

Una vez que tenemos las densidades de carga podemos hallar el campo eléctrico aplicando la ley de Gauss en forma integral.

Por la simetría del sistema podemos considerar que el potencial eléctrico depende exclusivamente de la distancia al eje del cilindro y por tanto el campo eléctrico es radial y dependiente de esta misma distancia

\phi = \phi(\rho)\,   \Rightarrow   \mathbf{E}=-\nabla\phi = -\frac{\mathrm{d}\phi}{\mathrm{d}\rho}\mathbf{u}_\rho = E(\rho)\mathbf{u}_\rho

Si consideramos una superficie cilíndrica de altura h y radio ρ < a, el flujo del campo eléctrico a través de esta superficie contiene solamente la contribución de la cara lateral, en la cual el módulo del campo es constante

\oint \mathbf{E}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} =

2.3 Diferencia de potencial

2.4 Densidad de energía electrostática

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Campo_de_una_distribuci%C3%B3n_cil%C3%ADndrica"

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