Leyes de conservación en polares y cilíndricas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 10:42 28 nov 2015

Contenido

1 Enunciado
2 Fórmulas generales
3 Primer caso
- 3.1 Cantidad de movimiento
4 Segundo caso

1 Enunciado

Una partícula de masa $m$ describe el movimiento expresado en cilíndricas

$\rho = \sqrt{A+Bt^2}\qquad\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(t\sqrt{B/A}\right)\qquad\qquad z = 0$

Determine si se conserva la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al origen de coordenadas y la energía cinética. En su caso, halle el valor de las constantes.

Responda a las mismas preguntas para el movimiento helicoidal

$\rho = A\qquad\qquad \varphi = \omega t\qquad\qquad z = v_0t$

2 Fórmulas generales

2.1 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de una partícula es el producto de su masa por su velocidad. La expresión de ésta, en coordenadas cilíndricas, es

$\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{k}$

por lo que la cantidad de movimiento es

$\vec{p}=m\dot{\rho}\vec{u}_\rho+m\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+m\dot{z}\vec{k}$

En el caso particular de movimiento en el plano OXY, la expresión se reduce a la de coordenadas polares

$\vec{p}=m\dot{\rho}\vec{u}_\rho+m\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi$

2.2 Momento cinético

$\vec{L}_O$ es igual al momento de la cantidad de movimiento, siendo el vector de posición en cilíndricas

$\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}$

por lo que resulta

$\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=\left|\begin{matrix} \vec{u}_\rho & \vec{u}_\varphi & \vec{k} \\ \rho & 0 & z \\ \dot{\rho} & \rho\dot{\varphi} & \dot{z}\end{matrix}\right|=-mz\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\rho+m(z\dot{\rho}-\rho\dot{z})\vec{u}_\varphi + \rho^2\dot{\varphi}\vec{k}$

En el caso de movimiento en el plano OXY el momento se reduce a

$\vec{L}_O=m\rho^2\varphi\vec{k}$

2.3 Energía cinética

La energía cinética, que es una cantidad escalar tiene una expresión más simple

$K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2+\dot{z}^2\right)$

y en polares

$K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2\right)$

3 Primer caso

El primer caso

$\rho = \sqrt{A+Bt^2}\qquad\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(t\sqrt{B/A}\right)\qquad\qquad z = 0$

es uno de movimiento plano, por lo que se pueden emplear coordenadas polares. A la hora de derivar, conviene observar que

$\dot{\rho}=\frac{Bt}{\sqrt{A+B t^2}}=\frac{Bt}{\rho}$

y que

$\dot{\varphi}=\sqrt{B}{A}\,\frac{1}{1+(B/A)t^2}=\frac{\sqrt{AB}}{\rho^2}$

Estas dos relaciones permiten simplificar los cálculos que siguen.

3.1 Cantidad de movimiento

Sustituimos en la expresión de la cantidad de movimiento y queda

$\vec{p}=\frac{mBt}{\rho}\vec{u}_\rho+\frac{m\sqrt{AB}}{\rho}\vec{u}_\varphi$

Esta expresión parece que no es constante (aparece explícitamente t) pero hay que tener en cuenta que también $ρ$ y los vectores de la base dependen del tiempo.

La derivada de la cantidad de movimiento es igual a la fuerza, que en polares se expresa

$\vec{F}=m\left(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2\right)\vec{u}_\rho+m(2\dot{\rho}\dot{\varphi}+\rho\ddot{\varphi})\vec{u}_\varphi$

Para la componente radial tenemos

$m\ddot{\rho}=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{mBt}{\rho}\right)=\frac{mB}{\rho}-\frac{mBt\dot{\rho}}{\rho^2}=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB^2t^2}{\rho^3}$

y

$\rho\dot{\varphi}^2 = \frac{m AB}{\rho^3}$

Restando estos dos términos

$m(\ddot{\rho}-\rho\dot{\varphi}^2)=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB^2t^2}{\rho^3}-\frac{m AB}{\rho^3}=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB(A+Bt^2)}{\rho^3}=\frac{mB}{\rho}-\frac{mB}{\rho}=0$

Es decir, la aceleración radial es nula en todo momento.

Para la acimutal tenemos

$2m\dot{\rho}\dot{\varphi}=\frac{2m\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}$

y

$\rho\ddot{\varphi}=\rho\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sqrt{AB}}{\rho^2}\right)=-\frac{2\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}$

Si los sumamos

$F_\varphi=\frac{2m\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}-\frac{2m\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2} = 0$

Por tanto, la componente acimutal de la fuerza también es nula en todo instante. Esto quiere decir que la fuerza, como vector, es nula en todo momento

$\vec{F}=F_\rho\vec{u}_\rho+F_\varphi\vec{u}_\varphi = 0\vec{u}_\rho+0\vec{u}_\varphi=\vec{0}$

Si la fuerza es siempre nula, la cantidad de movimiento es una constante, aunque su expresión en polares parezca depender del tiempo.

4 Segundo caso

@@ Línea 96: / Línea 96: @@
 y
-<center><math>\rho\ddot{\varphi}=\rho\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sqrt{AB}{\rho^2}\right)=-\frac{2\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}</math></center>
+<center><math>\rho\ddot{\varphi}=\rho\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\sqrt{AB}}{\rho^2}\right)=-\frac{2\sqrt{AB}\dot{\rho}}{\rho^2}</math></center>
 Si los sumamos

Leyes de conservación en polares y cilíndricas

De Laplace

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1 Enunciado

2 Fórmulas generales

2.1 Cantidad de movimiento

2.2 Momento cinético

2.3 Energía cinética

3 Primer caso

3.1 Cantidad de movimiento

4 Segundo caso

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