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Leyes de conservación en polares y cilíndricas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 33: Línea 33:
por lo que resulta
por lo que resulta
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<center><math>\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=\left|\begin{matrix} \vec{u}_\rho & \vec{u}_\varphi & \vec{k} \\ \rho & 0 & z \\ \dot{\rho} & \rho\dot{\varphi} & \dot{z}\end{matrix}\right|=</math></center>
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<center><math>\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=\left|\begin{matrix} \vec{u}_\rho & \vec{u}_\varphi & \vec{k} \\ \rho & 0 & z \\ \dot{\rho} & \rho\dot{\varphi} & \dot{z}\end{matrix}\right|=-mz\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\rho+m(z\dot{\rho}-\rho\dot{z})\vec{u}_\varphi + \rho^2\dot{\varphi}\vec{k}</math></center>
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<center><math>= -mz\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\rho+m(z\dot{\rho}-\rho\dot{z})\vec{u}_ºvarphi + \rho^2\dot{\varphi}\vec{k}</math></center>
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En el caso de movimiento en el plano OXY el momento se reduce a
En el caso de movimiento en el plano OXY el momento se reduce a
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<center><math>\vec{L}_O=m\rho^2\varphi\vec{k}</math></center>
<center><math>\vec{L}_O=m\rho^2\varphi\vec{k}</math></center>
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===Energía cinética===
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La energía cinética, que es una cantidad escalar tiene una expresión más simple
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<center><math>K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2+\dot{z}^2\right)</math></center>
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y en polares
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<center><math>K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2\right)</math></center>
==Primer caso==
==Primer caso==
==Segundo caso==
==Segundo caso==
[[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]]

Revisión de 10:32 26 nov 2015

Contenido

1 Enunciado

Una partícula de masa m describe el movimiento expresado en cilíndricas

\rho = \sqrt{A+Bt^2}\qquad\qquad \varphi = \mathrm{arctg}\left(t\sqrt{B/A}\right)\qquad\qquad z = 0

Determine si se conserva la cantidad de movimiento, el momento cinético respecto al origen de coordenadas y la energía cinética. En su caso, halle el valor de las constantes.

Responda a las mismas preguntas para el movimiento helicoidal

\rho = A\qquad\qquad \varphi = \omega t\qquad\qquad z = v_0t

2 Fórmulas generales

2.1 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento de una partícula es el producto de su masa por su velocidad. La expresión de ésta, en coordenadas cilíndricas, es

\vec{v}=\dot{\rho}\vec{u}_\rho+\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+\dot{z}\vec{k}

por lo que la cantidad de movimiento es

\vec{p}=m\dot{\rho}\vec{u}_\rho+m\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi+m\dot{z}\vec{k}

En el caso particular de movimiento en el plano OXY, la expresión se reduce a la de coordenadas polares

\vec{p}=m\dot{\rho}\vec{u}_\rho+m\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\varphi

2.2 Momento cinético

\vec{L}_O es igual al momento de la cantidad de movimiento, siendo el vector de posición en cilíndricas

\vec{r}=\rho\vec{u}_\rho+z\vec{k}

por lo que resulta

\vec{L}_O=\vec{r}\times\vec{p}=\left|\begin{matrix} \vec{u}_\rho & \vec{u}_\varphi & \vec{k} \\ \rho & 0 & z \\ \dot{\rho} & \rho\dot{\varphi} & \dot{z}\end{matrix}\right|=-mz\rho\dot{\varphi}\vec{u}_\rho+m(z\dot{\rho}-\rho\dot{z})\vec{u}_\varphi + \rho^2\dot{\varphi}\vec{k}

En el caso de movimiento en el plano OXY el momento se reduce a

\vec{L}_O=m\rho^2\varphi\vec{k}

2.3 Energía cinética

La energía cinética, que es una cantidad escalar tiene una expresión más simple

K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2+\dot{z}^2\right)

y en polares

K=\frac{1}{2}m|\vec{v}|^2=\frac{1}{2}m\left(\dot{\rho}^2+\rho^2\dot{\varphi}^2\right)

3 Primer caso

4 Segundo caso

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Leyes_de_conservaci%C3%B3n_en_polares_y_cil%C3%ADndricas"

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