Teoremas del seno y del coseno (GIE)
De Laplace
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en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>. | en un triángulo de lados <math>a</math>, <math>b</math> y <math>c</math>, y ángulos opuestos <math>A</math>, <math>B</math> y <math>C</math>. | ||
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==Teorema del coseno== | ==Teorema del coseno== | ||
| - | + | Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados, | |
| - | + | <center><math>\vec{a}=\overrightarrow{BC}\qquad\qquad \vec{b}=\overrightarrow{CA}\qquad\qquad \vec{c}=\overrightarrow{BA}</math></center> | |
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| - | + | se verifica la ecuación vectorial | |
| - | <center><math>\ | + | <center><math>\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{CA}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{c}= \vec{a} + \vec{b}</math></center> |
Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma | Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma | ||
| - | <center><math>(\vec{a} | + | <center><math>(\vec{a}+\vec{b})\cdot(\vec{a}+\vec{b}) = \vec{c}\cdot\vec{c}=c^2</math></center> |
Desarrollando el producto escalar | Desarrollando el producto escalar | ||
| - | <center><math>\vec{a}\cdot\vec{a} | + | <center><math>\vec{a}\cdot\vec{a}+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}\cdot\vec{b}=a^2+2ab\cos(\gamma)+b^2=c^2</math></center> |
| - | El ángulo que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y <math>\vec{b}</math> es <math>\ | + | El ángulo <math>\gamma</math> que forman los vectores <math>\vec{a}</math> y<math>\vec{b}</math> no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector <math>\vec{a}</math> vemos que |
| - | <center><math>a^2 -2ab\,\cos | + | <center><math>\gamma=\pi-C\,</math></center> |
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| + | <center><math>a^2 -2ab\,\cos(C) + b^2 = c^2</math></center> | ||
que es el teorema del coseno. | que es el teorema del coseno. | ||
Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos. | Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos. | ||
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| + | En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras | ||
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| + | <center><math>\left(C=\frac{\pi}{2}\right)\qquad\Rightarrow\qquad c^2=a^2+b^2</math></center> | ||
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==Teorema del seno== | ==Teorema del seno== | ||
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Desarrollando los módulos de los productos vectoriales | Desarrollando los módulos de los productos vectoriales | ||
| - | <center><math>A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\, | + | <center><math>A = \frac{ab\,\mathrm{sen}\,C}{2}=\frac{bc\,\mathrm{sen}\,A}{2}=\frac{ac\,\mathrm{sen}\,B}{2}</math></center> |
Dividiendo por el producto <math>abc</math> y multiplicando por 2 nos queda | Dividiendo por el producto <math>abc</math> y multiplicando por 2 nos queda | ||
| - | <center><math>\frac{\mathrm{sen}\, | + | <center><math>\frac{\mathrm{sen}\,C}{c}=\frac{\mathrm{sen}\,A}{a}=\frac{\mathrm{sen}\,B}{b}</math></center> |
que es el teorema del seno. | que es el teorema del seno. | ||
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última version al 10:45 1 oct 2015
1 Enunciado
Con ayuda de productos escalares y vectoriales demuestre los teoremas del coseno
y del seno
en un triángulo de lados a, b y c, y ángulos opuestos A, B y C.
2 Teorema del coseno
Si consideramos los lados del triángulo como segmentos orientados,
se verifica la ecuación vectorial
Si multiplicamos esta ecuación escalarmente por sí misma
Desarrollando el producto escalar
El ángulo γ que forman los vectores 
y
no es igual a C, ya que para poder medir el ángulo que forman dos vectores deben tener un origen común. Trasladando el vector vemos que
por lo que finalmente obtenemos
que es el teorema del coseno.
Expresiones análogas pueden obtenerse para los otros dos ángulos.
En el caso particular de un triángulo rectángulo, el coseno se anula y el teorema se reduce al de Pitágoras
3 Teorema del seno
El área de un triángulo es la mitad del área de un paralelogramo y por tanto
Desarrollando los módulos de los productos vectoriales
Dividiendo por el producto abc y multiplicando por 2 nos queda
que es el teorema del seno.
