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Péndulo con dos masas

De Laplace

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==Enunciado==
Para hacer un experimento con un péndulo se toma una varilla muy ligera (que se puede suponer sin masa), de 100cm, con orificios cada 25cm comenzando desde el extremo. En uno de los extremos (1<sup>er</sup> orificio) se atornilla una masa de 2&thinsp;kg, en el otro extremo (5&ordm; orificio) una de 1&thinsp;kg y la varilla se cuelga de la pared por el 2&ordm; orificio. La varilla se sitúa horizontalmente y se suelta partiendo del reposo.
Para hacer un experimento con un péndulo se toma una varilla muy ligera (que se puede suponer sin masa), de 100cm, con orificios cada 25cm comenzando desde el extremo. En uno de los extremos (1<sup>er</sup> orificio) se atornilla una masa de 2&thinsp;kg, en el otro extremo (5&ordm; orificio) una de 1&thinsp;kg y la varilla se cuelga de la pared por el 2&ordm; orificio. La varilla se sitúa horizontalmente y se suelta partiendo del reposo.
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Tómese <math>g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.
Tómese <math>g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2</math>.
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==Velocidades==
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En este sistema se conserva la energía mecánica, por lo que podemos igualar su valor en la posición horizontal con el que tiene en la vertical.
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===Posición horizontal===
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La energía cinética es 0, porque parte del reposo, y para la potencial, podemos medir la altura desde esta posición, por lo que también se anula
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===Posición vertical===
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Impulsada por la gravedad, la barra oscila y llega a ponerse vertical. ¿Cuál de las dos masas ocupa la posición inferior? La que haga disminuir la energía potencial (el sistema tiende a la posición de mínima energía). Esto se consigue si la masa que baja es la de 1kg (que baja 75cm) y la que sube es la de 2kg (que sube 25cm).
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Para la energía cinética, observamos que cada masa describe un movimiento circular alrededor del punto de anclaje, por lo que
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===Conservación de la energía===
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Aplicamos la ley de conservación de la energía mecánica y queda
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En forma vectorial, si tomamos el eje X como el horizontal, el Y como vertical y el Z el normal al plano de movimiento, y hacia afuera de la pantalla.
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Si hubiéramos supuesto que la que baja es la otra pesa, nos hubiera salido que la energía potencial aumenta y queda una velocidad angular imaginaria, lo que es imposible.
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La velocidad lineal de la pesa 1 es
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<center><math>\vec{v}_1=\omega b_1\vec{\imath}=0.674\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
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y la de la pesa 2
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<center><math>\vec{v}_2=-\omega b_1\vec{\imath}=-2.03\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
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==Cantidad de movimiento y momento cinético==
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===Cantidad de movimiento===
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Es la suma vectorial de las cantidades individuales
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<center><math>\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1b_1-m_2b_2)\omega\vec{\imath}</math></center>
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con el valor numérico
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<center><math>\vec{p}=-0.675\,\vec{\imath}\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}</math></center>
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===Momento cinético===
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Para el momento cinético tenemos
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m_1(b_1\vec{\jmath})\times(\omega b_1\vec{\imath})+m_2(-b_2\vec{\jmath})\times(-\omega b_2\vec{\imath})=-(m_1b_1^2+m_2b_2^2)\omega\vec{k}</math></center>
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<center><math>\vec{L}_O=-1.854\vec{k}\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}</math></center>
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==Tensiones==
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Cada partícula describe un movimiento circular. En el momento en el que la barra pasa por la posición vertical la fuerza es puramente normal (el peso y la tensión son verticales y la velocidad es horizontal).
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Suponemos que la tensión sobre cada masa es una fuerza en la dirección de la varilla
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Para la masa 1, que pasa por el punto más alto tenemos
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En forma vectorial
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<center><math>\vec{F}_{T1}=+16.4\,\mathrm{\jmath}\,\mathrm{N}</math></center>
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El signo positivo quiere decir que la barra está realmente en compresión, no en tensión, es decir, que la fuerza que ejerce la varilla va hacia afuera.
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Para la masa 2, operando de la misma forma
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<center><math>-m_2g+F_{T2} = +m_2\omega^2 b_2 \qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_{T2}=m_2(\omega^2 b_2+g)\vec{\jmath}=15.5\vec{\jmath}\,\mathrm{N}</math></center>
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==Fuerza en el anclaje==
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Sobre la varilla, que no tiene masa, actúan tres fuerzas. Por la tercera ley de Newton, si la varilla ejerce sobre la masa 1 una fuerza <math>\vec{F}_{T1}</math>, ésta ejerce sobre la varilla una <math>-\vec{F}_{T1}</math>. Lo mismo con la masa 2. Además está la fuerza que ejerce el eje donde está sujeta. Por la segunda ley de Newton
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<center><math>-\vec{F}_{T1}-\vec{F}_{T1}+\vec{F}_A=\vec{0}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{F}_A=\vec{F}_{T1}+\vec{F}_{T2}=31.9\,\vec{\jmath}\,\mathrm{N}</math></center>
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Resulta un valor superior a la suma de los pesos, por la presencia de aceleraciones normales.
[[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]]
[[Categoría:Problemas de energía y leyes de conservación (GIE)]]

última version al 18:07 2 sep 2015

Contenido

1 Enunciado

Para hacer un experimento con un péndulo se toma una varilla muy ligera (que se puede suponer sin masa), de 100cm, con orificios cada 25cm comenzando desde el extremo. En uno de los extremos (1er orificio) se atornilla una masa de 2 kg, en el otro extremo (5º orificio) una de 1 kg y la varilla se cuelga de la pared por el 2º orificio. La varilla se sitúa horizontalmente y se suelta partiendo del reposo.

Archivo:pendulo-dos-masas.png

Para el instante en que pasa por primera vez por la posición vertical, calcule:

  1. La velocidad angular de la barra y la velocidad lineal de cada masa.
  2. La cantidad de movimiento del sistema y el momento cinético respecto al punto de anclaje O.
  3. La tensión de la varilla en el tramo entre cada masa y el punto de anclaje.
  4. La fuerza sobre el punto de anclaje.

Tómese g = 10\,\mathrm{m}/\mathrm{s}^2.

2 Velocidades

En este sistema se conserva la energía mecánica, por lo que podemos igualar su valor en la posición horizontal con el que tiene en la vertical.

2.1 Posición horizontal

La energía cinética es 0, porque parte del reposo, y para la potencial, podemos medir la altura desde esta posición, por lo que también se anula

E_i =K_i + U_i = 0\,

2.2 Posición vertical

Impulsada por la gravedad, la barra oscila y llega a ponerse vertical. ¿Cuál de las dos masas ocupa la posición inferior? La que haga disminuir la energía potencial (el sistema tiende a la posición de mínima energía). Esto se consigue si la masa que baja es la de 1kg (que baja 75cm) y la que sube es la de 2kg (que sube 25cm).

Archivo:pendulo-dos-masas-girado.png

La energía potencial final es

U_f = m_1 g b_1+m_2 g (-b_2) =\left(2\times 10 \times 0.25-1\times 10\times 0.75\right)\,\mathrm{J}=-2.5\,\mathrm{J}

Para la energía cinética, observamos que cada masa describe un movimiento circular alrededor del punto de anclaje, por lo que

K_f = \frac{1}{2}m_1(\omega b_1)^2 +\frac{1}{2}m_2(\omega b_2)^2 = \frac{m_1b_1^2+m_2b_2^2}{2}\omega^2= 0.34375\omega^2

2.3 Conservación de la energía

Aplicamos la ley de conservación de la energía mecánica y queda

0 = \frac{m_1b_1^2+m_2b_2^2}{2}\omega^2+(m_1b_1-m_2b_2)g

de donde

\omega=\sqrt{\frac{2(m_2b_2-m_1b_1)g}{m_1b_1^2+m_2b_2^2}}

con el valor numérico

\omega = \sqrt{\frac{2.5}{0.34375}}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}=2.70\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

En forma vectorial, si tomamos el eje X como el horizontal, el Y como vertical y el Z el normal al plano de movimiento, y hacia afuera de la pantalla.

\vec{\omega}=-2.70\vec{k}\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

Si hubiéramos supuesto que la que baja es la otra pesa, nos hubiera salido que la energía potencial aumenta y queda una velocidad angular imaginaria, lo que es imposible.

La velocidad lineal de la pesa 1 es

\vec{v}_1=\omega b_1\vec{\imath}=0.674\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

y la de la pesa 2

\vec{v}_2=-\omega b_1\vec{\imath}=-2.03\vec{\imath}\,\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3 Cantidad de movimiento y momento cinético

3.1 Cantidad de movimiento

Es la suma vectorial de las cantidades individuales

\vec{p}=m_1\vec{v}_1+m_2\vec{v}_2=(m_1b_1-m_2b_2)\omega\vec{\imath}

con el valor numérico

\vec{p}=-0.675\,\vec{\imath}\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}}{\mathrm{s}}

3.2 Momento cinético

Para el momento cinético tenemos

\vec{L}_O=m_1\vec{r}_1\times\vec{v}_1+m_2\vec{r}_2\times\vec{v}_2= m_1(b_1\vec{\jmath})\times(\omega b_1\vec{\imath})+m_2(-b_2\vec{\jmath})\times(-\omega b_2\vec{\imath})=-(m_1b_1^2+m_2b_2^2)\omega\vec{k}

con el valor

\vec{L}_O=-1.854\vec{k}\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{s}}

4 Tensiones

Cada partícula describe un movimiento circular. En el momento en el que la barra pasa por la posición vertical la fuerza es puramente normal (el peso y la tensión son verticales y la velocidad es horizontal).

Suponemos que la tensión sobre cada masa es una fuerza en la dirección de la varilla

\vec{F}_{Ti}=F_{Ti}\vec{\jmath}

Para la masa 1, que pasa por el punto más alto tenemos

-m_1g+F_{T1} = -m_1\omega^2 b_1 \qquad\Rightarrow\qquad F_{T1}=m_1(g-\omega^2 b_1)=16.4\,\mathrm{N}

En forma vectorial

\vec{F}_{T1}=+16.4\,\mathrm{\jmath}\,\mathrm{N}

El signo positivo quiere decir que la barra está realmente en compresión, no en tensión, es decir, que la fuerza que ejerce la varilla va hacia afuera.

Para la masa 2, operando de la misma forma

-m_2g+F_{T2} = +m_2\omega^2 b_2 \qquad\Rightarrow\qquad \vec{F}_{T2}=m_2(\omega^2 b_2+g)\vec{\jmath}=15.5\vec{\jmath}\,\mathrm{N}

5 Fuerza en el anclaje

Sobre la varilla, que no tiene masa, actúan tres fuerzas. Por la tercera ley de Newton, si la varilla ejerce sobre la masa 1 una fuerza \vec{F}_{T1}, ésta ejerce sobre la varilla una -\vec{F}_{T1}. Lo mismo con la masa 2. Además está la fuerza que ejerce el eje donde está sujeta. Por la segunda ley de Newton

-\vec{F}_{T1}-\vec{F}_{T1}+\vec{F}_A=\vec{0}\qquad \Rightarrow\qquad \vec{F}_A=\vec{F}_{T1}+\vec{F}_{T2}=31.9\,\vec{\jmath}\,\mathrm{N}

Resulta un valor superior a la suma de los pesos, por la presencia de aceleraciones normales.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/P%C3%A9ndulo_con_dos_masas"

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