Ley de Ohm (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 14:26 14 abr 2015

Contenido

1 Ley de Ohm
- 1.1 Aplicación a un conductor filiforme
2 Resistencia eléctrica
- 2.1 Asociaciones de resistencias
- 2.2 Cortocircuito y circuito abierto
3 Potencia eléctrica. Efecto Joule
- 3.1 Flujo de trabajo que entra en un sistema
- 3.2 Efecto Joule

1 Ley de Ohm

En los apartados anteriores hemos descrito el movimiento de las cargas, sin atender a las causas que lo producen. Para tener en cuenta las causas necesitaríamos o bien medir experimentalmente la corriente como función de otros parámetros, o bien analizar los diferentes modelos de conducción, para ver qué relación teórica hay entre la densidad de corriente y el campo eléctrico (y otras fuerzas aplicadas).

El resultado es que en la gran mayoría de las materiales existe una relación sencilla entre la densidad de corriente y el campo eléctrico en el interior del material. Esta relación es la ley de Ohm:

$\vec{J}=\sigma\vec{E}$

donde $σ$ es una propiedad de cada material conocida como su conductividad. Se mide en el SI en siemens/metro (S/m) y es la propiedad física que más cambia de unas sustancias a otras.

Material	$σ$ (S/m)	$ρ$ (Ω·m)
Plata	$6.29\times 10^{7}$	$1.59\times 10^{-8}$
Cobre	$5.96\times 10^{7}$	$1.72\times 10^{-8}$
Oro	$4.46\times 10^{7}$	$2.24\times 10^{-8}$
Hierro	$1.04\times 10^{7}$	$9.61\times 10^{-8}$
Agua de mar	$\simeq 4$	$\simeq 0.2$
Agua destilada	$\simeq 10^{-4}$	$\simeq 10^{4}$
Goma	$10 - 15 - 10 - 13$	$1013 - 10 15$

A menudo se da como dato la inversa de la conductividad, llamada la resistividad ( $ρ$ o $r$ ), que se mide en Ω·m.

$r=\rho = \frac{1}{\sigma}\qquad\rightarrow\qquad \vec{E}= r\vec{J}$

La ley de Ohm nos dice sencillamente que si las cargas se mueven es porque hay un campo eléctrico que las empuja, aunque debido a la fricción con el material, no es la aceleración, sino la velocidad, la que es proporcional al campo eléctrico.

La ley de Ohm no es una ley universal. Solo se cumple en los llamados materiales óhmicos (que son la mayoría) pero no, por ejemplo, en los plasmas.

La excepción más importante de sistema en el que no se cumple la ley de Ohm es en un generador. Como veremos, en un generador la densidad de corriente va en sentido contrario al campo eléctrico, lo cual es la negación absoluta de la ley de Ohm.

1.1 Aplicación a un conductor filiforme

La ley de Ohm así enunciada no es como suele aparecer en los libros de teoría de circuitos. La razón es que al analizar un circuito no interesa tanto lo que ocurre en cada elemento de volumen, y sílo que ocurre a nivel macroscópico, mediante magnitudes medibles de forma sencilla como la intensidad de corriente y la diferencia de potencial.

Para llegar a la ley de Ohm tal como se ve en teoría de circuitos consideramos en primer lugar el caso de un conductor filiforme (un hilo), que es aquél que tiene una longitud mucho mayor que su diámetro y que su radio de curvatura. Este hilo va de un punto A a un punto B, siguiendo una cierta curva (no tiene por qué ser una recta). Suponemos que la intensidad de corriente fluye de A a B. Nos preguntamos por la diferencia de potencial entre los dos extremos. Por definición de d.d.p. tenemos que

$V_A- V_B = \int_A^B \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Puesto que en el cable se cumple la ley de Ohm

$V_A- V_B = \int_A^B \frac{\vec{J}}{\sigma}\cdot\mathrm{d}\vec{r}$

Al recorrer la curva que constituye un conductor filiforme el desplazamiento va en la dirección del vector tangente

$\mathrm{d}\vec{r}=\mathrm{d}l\,\vec{T}$

Por otro lado, por ser muy estrecho, la densidad de corriente va también en el sentido longitudinal

$\vec{J}=J\vec{T}$

lo que nos deja la d.d.p como la integral escalar

$V_A- V_B = \int_A^B \frac{J\,\mathrm{d}l}{\sigma}$

En el caso de un conductor filiforme se cumple además que la densidad de corriente es la misma en todos los puntos de una sección transversal, de forma que podemos hacer la aproximación

$J = \frac{I}{S}$

siendo $I$ la intensidad de corriente que circula por el cable. Esta intensidad es la misma a lo largo de todo él, por lo que podemos sacarla de la integral y nos queda finalmente

$V_A- V_B = I\int_A^B \frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}= IR\qquad\qquad R = \int_A^B\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S}$

La cantidad $R$ es la resistencia eléctrica del hilo. Es una integral porque, en principio, la conductividad y la sección pueden ir variando a lo largo del cable. En el caso común de un cable de un solo material con sección constante

$R = \int_A^B\frac{\mathrm{d}l}{\sigma S} = \frac{L}{\sigma S}=\frac{\rho L}{S}\qquad(\sigma, S\ \mbox{constantes})$

2 Resistencia eléctrica

Acabamos de ver que en un cable hecho de un material óhmico se cumple una relación de proporcionalidad entre la diferencia de potencial entre sus extremos y la intensidad de corriente que circula por el cable

$V_A-V_B = IR\,$

Esta es la llamada ley de Ohm en la teoría de circuitos y es generalizable a gran variedad de situaciones aunque no tengamos un hilo. Siempre que haya dos electrodos entre los cuales se encuentra un material (o materiales) óhmicos, se cumple esta misma relación, aunque el valor de la resistencia será una función complicada de la geometría y los materiales interpuestos.

La resistencia eléctrica se mide en ohmios (Ω) definidos como

$1\,\Omega = \frac{1\,\mathrm{V}}{1\,\mathrm{A}}$

La ley de Ohm circuital también puede escribirse

$I=\frac{V_A-V_B}{R}=G(V_A-V_B)$

donde

$G = \frac{1}{R}$

es la conductancia del sistema, medida en siemens (S)

$1\,\mathrm{S}=1\,\Omega^{-1}= \frac{1\,\mathrm{A}}{1\,\mathrm{V}}$

En las expresiones anteriores, para que salgan los signos correctos, si se halla la diferencia de potencial entre A y B, hay que suponer que la corriente va de A a B. Si se da la vuelta a ambas magnitudes, sigue saliendo el resultado correcto, pero si solo se la da la vuelta a una resulta el signo incorrecto.

Un elemento de circuito caracterizado por poseer una resistencia eléctrica se denomina un resistor (del mismo modo que uno que tiene capacidad es un condensador), aunque se usa a menudo la palabra resistencia tanto para el dispositivo como para su propiedad. Su símbolo es una línea quebrada o un rectángulo.

2.1 Asociaciones de resistencias

De manera análoga a los condensadores, los resistores pueden combinarse para formar un circuito con múltiples elementos. Como con los condensadores tenemos dos casos particulares:

Resistencias en serie: cuando no hay ninguna derivación en el punto de conexión, de manera que toda la corriente que pasa por una pasa por la otra

$I_1 = I_2=I\,$

La diferencia de potencial de la asociación es la suma de las individuales. Si A y B son los extremos y C es el punto de conexión

$V_A - V_B = V_A - V_C + V_C - V_B = IR_1+IR_2 = I(R_1+R_2)\,$

por lo que la resistencia equivalente a una asociación en serie de dos resistores es la suma de las resistencias individuales

$R_\mathrm{eq}=R_1+R_2\,$

Resistencias en paralelo: cuando se encuentran conectadas por sus dos extremos A y B de forma que la d.d.p. en ambos resistores es la misma

$\Delta V_1 = \Delta V_2 = V_A-V_B\,$

La corriente que llega a la asociación es en este caso la suma de las dos individuales

$\frac{\Delta V}{R_\mathrm{eq}}=I= I_1 + I_2 = \frac{\Delta V}{R_1}+\frac{\Delta V}{R_2}=\left(\frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\right)\Delta V$

En una asociación en paralelo la conductancia equivalente es la suma de las conductancias individuales

$\frac{1}{R_\mathrm{eq}} = \frac{1}{R_1}+\frac{1}{R_2}\qquad\qquad G_\mathrm{eq}=G_1+G_2$

2.2 Cortocircuito y circuito abierto

Circuito abierto: Un circuito está abierto cuando entre dos puntos se produce una interrupción o se intercala un dieléctrico ideal que impide el paso de corriente. Matemáticamente equivale a decir que entre los puntos se encuentra una conductancia nula (o una resistencia infinita) y por el tramo abierto

$G=0\qquad\qquad R \to\infty\qquad\Rightarrow\qquad I=0$

Cortocircuito: Un conector ideal en un circuito es un cable que no tiene resistencia eléctrica, $R = 0$ . Esto, por supuesto, constituye una aproximación, pero es razonable si estamos hablando, por ejemplo, de un hilo de cobre con resistencias de miliohmios que conecta dos resistencias de kiloohmios. Gráficamente se representa por una línea simple.

En un conector ideal no hay diferencia de potencial entre sus extremos

$R=0\qquad\Rightarrow\qquad V_B - V_A = IR = 0\,$

y por tanto todos sus puntos se encuentran al mismo potencial. Desde el punto de vista del circuito equivalente, todos sus puntos son el mismo. Cuando dos elementos están unidos por un conector ideal se dice que están en cortocircuito. Si se coloca un cortocircuito entre dos puntos situados a una cierta diferencia de potencial, el resultado es una corriente de gran intensidad (idealmente infinita), que puede quemar los dispositivos.

3 Potencia eléctrica. Efecto Joule

3.1 Flujo de trabajo que entra en un sistema

La transmisión de una corriente eléctrica implica un consumo de energía.

Imaginemos un sistema (no necesariamente óhmico) con dos extremos A y B, situados a potenciales $V A$ y $V B$ .

Podemos imaginar que hay una fuente de tensión que sitúa el extremo A a la tensión $V A$ . El trabajo realizado por esta fuente en un tiempo $d t$ es igual a la cantidad de carga que pone a ese potencial multiplicada por la tensión a la que la pone. Ese trabajo entra en el sistema (el cable)

$\delta W_\mathrm{in}=\mathrm{d}Q\,V_A$

pero la carga que atraviesa el generador es proporcional a la intensidad de corriente

$\mathrm{d}Q=I_A\,\mathrm{d}t$

siendo $I A$ la corriente que entra en el sistema por el extremo A. Por tanto

$\delta W_\mathrm{in}=I_A\,V_A\,\mathrm{d}t$

Dividiendo por el diferencial de tiempo queda un flujo de trabajo debido a este generador

$\dot{W}_\mathrm{in}=I_AV_A$

Para el otro extremo se aplica el mismo razonamiento por lo que el flujo de trabajo total

$\dot{W}_\mathrm{in}=I_AV_A+I_BV_B\,$

Más en general, si tenemos un sistema con N terminales por las cuales entra corriente, el flujo de trabajo, es decir, la potencia eléctrica, que entra en el sistema es

$P_\mathrm{e}=\dot{W}_\mathrm{in}=\sum_i I_iV_i\,$

donde las $I i$ son las corrientes que entran el sistema por las diferentes terminales. Evidentemente, de acuerdo con la ley de conservación de la carga, algunas de estas corrientes serán negativas.

3.2 Efecto Joule

En el caso particular de un cable (o, en general, de una resistencia), si el extremo A está a mayor voltaje que B, la corriente va de A a B. Si llamamos simplemente I a la corriente que va de A a B queda

$I_A=I\qquad\qquad I_B = -I$

por lo que la fórmula para la potencia eléctrica que entra en el sistema se reduce a

$P_\mathrm{e}=\dot{W}_\mathrm{in}=IV_A-IV_B=I(V_A-V_B) = I\,\Delta V$

Por la ley de Ohm para una resistencia, podemos escribir esta potencia de varias formas alternativas

$\Delta V = IR\qquad\Rightarrow\qquad P_\mathrm{e}=\dot{W}_\mathrm{in}= = I\,\Delta V=I^2R=\frac{(\Delta V)^2}{R}$

esta es la llamada ley de Joule (o efecto Joule). En una resistencia eléctrica se consume trabajo eléctrico. De acuerdo con el primer principio de la temodinámica tendremos que

$\dot{W}_\mathrm{in}=\frac{\mathrm{d}E}{\mathrm{d}t}+\dot{Q}_\mathrm{out}$

es decir, la potencia eléctrica que metemos, en parte se emplea en aumentar la energía almacenada (que puede ser en forma de energía interna, lo que vemos como un aumento de temperatura del sistema, pero también en otros tipos de energía) y parte se escapa al exterior en forma de calor. Es decir, un cable por el cual circula una corriente aumenta su temperatura y radia calor al exterior. Esta disipación a veces es deseada, como en el caso de una estufa, pero normalmente es indeseable y hay que procurar reducirla (puede demostrarse que debido a la corriente existe una producción de entropía que hay que reducir para mejorar la eficiencia de un sistema).

Esta ecuación también es válida para sistemas más generales, no solo para una resistencia. En el caso de un motor eléctrico que funciona de forma cíclica tendríamos que

$P_e=I\,\Delta V = \dot{W}_\mathrm{in}=\dot{W}_\mathrm{out}+\dot{Q}_\mathrm{out}$

siendo $W out$ el trabajo mecánico que se produce.

La cantidad total de energía eléctrica consumida es la integral de la potencia

$W_\mathrm{in} = \int_0^t P_\mathrm{in}\,\mathrm{d}t = \int_0^t I^2R\,\mathrm{d}t$

En el caso de una corriente continua ( $I = cte$ ) el resultado de la integral es una simple multiplicación. Para una corriente variable (como la corriente alterna, por ejemplo), habrá que hacer el cálculo correspondiente.

@@ Línea 196: / Línea 196: @@
 <center><math>P_\mathrm{e}=\dot{W}_\mathrm{in}=\sum_i I_iV_i\,</math></center>
-donde las I_i son las corrientes que entran el sistema por las diferentes terminales. Evidentemente, de acuerdo con la ley de conservación de la carga, algunas de estas corrientes serán negativas.
+donde las <math>I_i</math> son las corrientes que entran el sistema por las diferentes terminales. Evidentemente, de acuerdo con la ley de conservación de la carga, algunas de estas corrientes serán negativas.
 ===Efecto Joule===

Ley de Ohm (GIE)

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1 Ley de Ohm

1.1 Aplicación a un conductor filiforme

2 Resistencia eléctrica

2.1 Asociaciones de resistencias

2.2 Cortocircuito y circuito abierto

3 Potencia eléctrica. Efecto Joule

3.1 Flujo de trabajo que entra en un sistema

3.2 Efecto Joule

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