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Flujo de un campo vectorial

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua)
(→Campo solenoidal)
 
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==Introducción==
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==Flujo de un campo uniforme en una sección ortogonal==
==Flujo de un campo uniforme en una sección ortogonal==
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Consideremos en primer lugar el caso de una tubería de sección <math>S</math> por la cual fluye agua con la misma velocidad <math>v</math> en todos sus puntos. Nos preguntamos por el caudal de la tubería, esto es, por la cantidad de agua (en volumen) que atraviesa una sección de la tubería en la unidad de tiempo. En un intervalo <math>\mathrm{d}t</math> la cantidad de aqua que atraviesa <math>S</math> es aquella que se encuentra a una distancia menor de <math>v\,\mathrm{d}t</math>.
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Consideremos en primer lugar el caso de una tubería de sección <math>S</math> por la cual fluye agua con la misma velocidad <math>v</math> en todos sus puntos. Nos preguntamos por el caudal de la tubería, esto es, por la cantidad de agua (en volumen) que atraviesa una sección de la tubería en la unidad de tiempo. En un intervalo <math>\mathrm{d}t</math> la cantidad de agua que atraviesa <math>S</math> es aquella que se encuentra a una distancia menor de <math>v\,\mathrm{d}t</math>.
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<math>\mathrm{d}\tau =  S v\,\mathrm{d}t</math>{{tose}} <math>\frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = vS</math></center>
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<math>\mathrm{d}\tau =  S v\,\mathrm{d}t</math>{{tose}} <math>\Phi = \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = vS</math></center>
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El caudal es igual al producto de la velocidad del líquido por la sección de la tubería. A mayor velocidad o mayor sección, mayor caudal.
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El caudal es igual al producto de la velocidad del líquido por la sección de la tubería. A mayor velocidad o mayor sección, mayor caudal. Este caudal es el ''flujo'' del campo vectorial <math>\mathbf{v}</math>  a través de la sección <math>S</math>.
==Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua==
==Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua==
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siendo <math>\theta</math> el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y <math>\mathbf{S}=S\mathbf{n}</math> el [[vector superficie]] asociado a la sección de la tubería.
siendo <math>\theta</math> el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y <math>\mathbf{S}=S\mathbf{n}</math> el [[vector superficie]] asociado a la sección de la tubería.
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==Flujo de un campo a través de una superficie arbitrarios==
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==Flujo general de un campo a través de una superficie==
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===Definición===
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La fórmula anterior tiene una extensión inmediata al caso de que tengamos una distribución no uniforme de velocidades (o de un campo vectorial, en general). Por ejemplo, el flujo real de un líquido en el interior de un capilar o tubo estrecho sigue un perfil parabólico (<math>perfil de Poiseuille</math>). También podemos tener que la superficie a través de la cual se calcula el flujo no sea una sección plana.
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En este caso general, simplemente hay que dividir la superficie en elementos diferenciales (que sí son planos), calcular el flujo a través de cada elemento y sumar todas las contribuciones.
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Así se define el flujo de un campo vectorial <math>\mathbf{v}</math> a través de una superficie abierta <math>S</math> como
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De esta definición hay que destacar:
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* El flujo es una aplicación que actúa sobre campos ''vectoriales''.
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* El resultado es una cantidad ''escalar''.
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* El flujo tiene un signo.
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**Es positivo si la hay más campo atravesando la superficie en el sentido de la normal a la superficie.
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**Es negativo si el campo va predominantemente en sentido contrario a <math>\mathbf{n}</math>.
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* Si el campo <math>\mathbf{v}</math> posee dimensiones físicas, las unidades de <math>\Phi</math> son las de <math>\mathbf{v}</math> multiplicado por una superficie.
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===Ejemplo===
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vamos a hallar el flujo a través de un cuadrado de lado <math>a</math> situado a una altura <math>z=a</math> con una esquina sobre el eje <math>Z</math> y lados paralelos a los ejes. Para este cuadrado
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y el flujo vale
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<math>\Phi = \int_0^a \int_0^a \left(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+a\mathbf{z}_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z\right) =  \int_0^a \int_0^a a\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = a^3</math></center>
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==Flujo a través de una superficie cerrada==
==Flujo a través de una superficie cerrada==
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===Definición===
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De manera análoga puede definirse el flujo a través de una superficie cerrada <math>\partial\tau</math> que es la frontera de un volumen <math>\tau</math>, como la integral
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En el caso de una superficie cerrada, el convenio es que la normal a la superficie se toma siempre hacia el exterior.
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Por este convenio, el flujo a través de una superficie cerrada puede entenderse como la cantidad de campo que &ldquo;escapa&rdquo; del volumen.
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* Si este flujo es positivo, se dice que el volumen <math>\tau</math> contiene una cantidad neta de ''manantiales''.
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* Si este flujo es negativo, el volumen <math>\tau</math> contiene una cantidad neta de ''sumideros''.
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* Si el flujo es nulo, en <math>\tau</math> hay tantos manantiales como sumideros
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===Ejemplo===
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Consideremos ahora el flujo del campo
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a través de una superficie cúbica de arista <math>2a</math> centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes.
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Por la simetría del sistema, el flujo a través de cada cara tendrá el mismo valor <math>\Phi_C</math>
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A su vez, de nuevo por simetría, la contribución de cada cara es el cuádruple de la de un cuadrado como el que se vio en un [[#Ejemplo|apartado anterior]].
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Por tanto
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===Campo solenoidal===
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Si el flujo de un campo <math>\mathbf{F}</math> a través de ''cualquier'' superficie cerrada es nulo, entonces se dice que <math>\mathbf{F}</math> es ''solenoidal''.
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Un campo solenoidal se caracteriza porque sus [[líneas de campo]] no pueden ser tener extremos, ya que de tenerlos, el flujo alrededor de uno de ellos sería no nulo.
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Un ejemplo real de campo solenoidal lo da el [[campo magnético]] <math>\mathbf{B}</math> que para cualquier superficie cerrada verifica
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<center><math>\oint_{\partial\tau} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0</math></center>
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Un ejemplo más desarrollado se encuentra en [[Cálculo_de_flujo|un problema]].
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[[Categoría:Fundamentos matemáticos]]
[[Categoría:Fundamentos matemáticos]]

última version al 19:11 28 dic 2008

Contenido

1 Introducción

2 Flujo de un campo uniforme en una sección ortogonal

Consideremos en primer lugar el caso de una tubería de sección S por la cual fluye agua con la misma velocidad v en todos sus puntos. Nos preguntamos por el caudal de la tubería, esto es, por la cantidad de agua (en volumen) que atraviesa una sección de la tubería en la unidad de tiempo. En un intervalo dt la cantidad de agua que atraviesa S es aquella que se encuentra a una distancia menor de v\,\mathrm{d}t.

\mathrm{d}\tau = S v\,\mathrm{d}t   \Rightarrow    \Phi = \frac{\mathrm{d}\tau}{\mathrm{d}t} = vS

El caudal es igual al producto de la velocidad del líquido por la sección de la tubería. A mayor velocidad o mayor sección, mayor caudal. Este caudal es el flujo del campo vectorial \mathbf{v} a través de la sección S.

3 Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua

Supongamos ahora la misma tubería, y la misma velocidad uniforme del líquido, pero tomando una sección oblicua de la tubería. El caudal que atraviesa esta nueva sección debe ser el mismo que antes, sin embargo, esta cantidad no puede ser igual a vS pues ahora S es mayor que antes.

Para extender la fórmula anterior a este caso observamos que no toda la velocidad atraviesa la superficie. Si en cada punto de la superficie descomponemos la velocidad en su componente normal a la superficie y su componente tangencial a ella, solo la primera contribuye al flujo, ya que la componente tangencial corresponde a que el líquido “resbale” sobre la superficie. Por tanto el flujo de agua a través de la superficie es

\Phi = v_n S = v S \cos\theta = \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}S=\mathbf{v}\cdot\mathbf{S}

siendo θ el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y \mathbf{S}=S\mathbf{n} el vector superficie asociado a la sección de la tubería.

4 Flujo general de un campo a través de una superficie

4.1 Definición

La fórmula anterior tiene una extensión inmediata al caso de que tengamos una distribución no uniforme de velocidades (o de un campo vectorial, en general). Por ejemplo, el flujo real de un líquido en el interior de un capilar o tubo estrecho sigue un perfil parabólico (perfildePoiseuille). También podemos tener que la superficie a través de la cual se calcula el flujo no sea una sección plana.

En este caso general, simplemente hay que dividir la superficie en elementos diferenciales (que sí son planos), calcular el flujo a través de cada elemento y sumar todas las contribuciones.

Así se define el flujo de un campo vectorial \mathbf{v} a través de una superficie abierta S como

\mathrm{d}\Phi = \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}   \Rightarrow   \Phi = \int_S\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

De esta definición hay que destacar:

  • El flujo es una aplicación que actúa sobre campos vectoriales.
  • El resultado es una cantidad escalar.
  • El flujo tiene un signo.
    • Es positivo si la hay más campo atravesando la superficie en el sentido de la normal a la superficie.
    • Es negativo si el campo va predominantemente en sentido contrario a \mathbf{n}.
  • Si el campo \mathbf{v} posee dimensiones físicas, las unidades de Φ son las de \mathbf{v} multiplicado por una superficie.

4.2 Ejemplo

Por ejemplo, sea el campo

\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{z}_z

vamos a hallar el flujo a través de un cuadrado de lado a situado a una altura z = a con una esquina sobre el eje Z y lados paralelos a los ejes. Para este cuadrado

\mathrm{d}\mathbf{S}=\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z     0 < x < a\quad 0 < y < a

y el flujo vale

\Phi = \int_0^a \int_0^a \left(x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+a\mathbf{z}_z\right)\cdot\left(\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,\mathbf{u}_z\right) = \int_0^a \int_0^a a\,\mathrm{d}x\,\mathrm{d}y = a^3

5 Flujo a través de una superficie cerrada

5.1 Definición

De manera análoga puede definirse el flujo a través de una superficie cerrada \partial\tau que es la frontera de un volumen τ, como la integral

\Phi = \oint_{\partial\tau}\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

En el caso de una superficie cerrada, el convenio es que la normal a la superficie se toma siempre hacia el exterior.

Por este convenio, el flujo a través de una superficie cerrada puede entenderse como la cantidad de campo que “escapa” del volumen.

  • Si este flujo es positivo, se dice que el volumen τ contiene una cantidad neta de manantiales.
  • Si este flujo es negativo, el volumen τ contiene una cantidad neta de sumideros.
  • Si el flujo es nulo, en τ hay tantos manantiales como sumideros

5.2 Ejemplo

Consideremos ahora el flujo del campo

\mathbf{r}=x\mathbf{u}_x+y\mathbf{u}_y+z\mathbf{z}_z

a través de una superficie cúbica de arista 2a centrado en el origen y con lados paralelos a los ejes.

Por la simetría del sistema, el flujo a través de cada cara tendrá el mismo valor ΦC

\Phi_T = 6\Phi_C\,

A su vez, de nuevo por simetría, la contribución de cada cara es el cuádruple de la de un cuadrado como el que se vio en un apartado anterior.

ΦC = 4Φi

Por tanto

ΦT = 24a3

5.3 Campo solenoidal

Artículo completo: Campo solenoidal

Si el flujo de un campo \mathbf{F} a través de cualquier superficie cerrada es nulo, entonces se dice que \mathbf{F} es solenoidal.

Un campo solenoidal se caracteriza porque sus líneas de campo no pueden ser tener extremos, ya que de tenerlos, el flujo alrededor de uno de ellos sería no nulo.

Un ejemplo real de campo solenoidal lo da el campo magnético \mathbf{B} que para cualquier superficie cerrada verifica

\oint_{\partial\tau} \mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}=0

Un ejemplo más desarrollado se encuentra en un problema.

Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Flujo_de_un_campo_vectorial"

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