Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Compresión lineal de un gas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(→Trabajo, energía y calor)
 
(3 ediciones intermedias no se muestran.)
Línea 1: Línea 1:
==Enunciado==
==Enunciado==
-
Se tiene un volumen <math>V_A</math> de un gas ideal diatómico a una presión <math>p_A</math> y una temperatura <math>T_A</math> encerrado en un recipiente con un pistón móvil. Este gas se comprime reversiblemente según la ley
+
Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión <math>p_A = 100\,\mathrm{kPa}</math>, temperatura <math>T_A = 300\,\mathrm{K}</math> y
 +
ocupa un volumen <math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3</math>, según la ley
<center><math>p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}</math></center>
<center><math>p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}</math></center>
Línea 22: Línea 23:
Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.
Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.
 +
 +
Numéricamente, será
 +
 +
<center><math>V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3 = 10\,\mathrm{l}\qquad V_B = 5\,\mathrm{l}\qquad p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = 200\,\mathrm{kPa}</math></center>
 +
 +
<center>[[Archivo:calentamiento-lineal.png]]</center>
==Temperatura final==
==Temperatura final==
Línea 30: Línea 37:
En el estado final
En el estado final
-
<center><math>T_B = \frac{p V}{n R} = \frac{(2p_A)(V_A/2)}{n R} = \frac{p_AV_A}{n R} = T_A</math></center>
+
<center><math>T_B = \frac{p V}{n R} = \frac{(2p_A)(V_A/2)}{n R} = \frac{p_AV_A}{n R} = T_A=300\,\mathrm{K}</math></center>
Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.
Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.
==Trabajo, energía y calor==
==Trabajo, energía y calor==
-
[[Archivo:diagrama-pV-lineal.png|right]]
 
===Trabajo===
===Trabajo===
Línea 50: Línea 56:
<center><math>W = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{2}\right)\left(2p_A+p_A\right) = \frac{3p_AV_A}{4}</math></center>
<center><math>W = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{2}\right)\left(2p_A+p_A\right) = \frac{3p_AV_A}{4}</math></center>
 +
siendo el valor numérico
 +
 +
<center><math>W = \frac{3}{4}\times 100\mathrm{kPa}\times 0.01\mathrm{m}^3 = 750\,\mathrm{J}</math></center>
===Energía interna===
===Energía interna===
Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final
Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final
Línea 59: Línea 68:
Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica
Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica
-
<center><math>Q = \Delta U - W = -\frac{3p_AV_A}{4}</math></center>
+
<center><math>Q = \Delta U - W = -\frac{3p_AV_A}{4}=-750\,\mathrm{J}</math></center>
En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.
En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.
Línea 70: Línea 79:
La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.
La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.
-
<center><math>0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=\frac{3T_A}{V_A}-\frac{4T_AV}{V_A^2}</math>{{tose}}<math>V = \frac{3V_A}{4}</math></center>
+
<center><math>0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=\frac{3T_A}{V_A}-\frac{4T_AV}{V_A^2}</math>{{tose}}<math>V = \frac{3V_A}{4}=7.5\,\mathrm{l}</math></center>
Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es
Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es
-
<center><math>T_\mathrm{max}=\frac{3T_A}{V_A}\left(\frac{3V_A}{4}\right)-\frac{2T_A}{V_A^2}\left(\frac{3V_A}{4}\right)^2 = \frac{9}{8}T_A</math></center>
+
<center><math>T_\mathrm{max}=\frac{3T_A}{V_A}\left(\frac{3V_A}{4}\right)-\frac{2T_A}{V_A^2}\left(\frac{3V_A}{4}\right)^2 = \frac{9}{8}T_A=337.5\,\mathrm{K}</math></center>
La temperatura del gas, por tanto, aumenta desde <math>T_A</math> a (9/8) de este valor y a partir de ahí vuelve a disminuir al valor inicial
La temperatura del gas, por tanto, aumenta desde <math>T_A</math> a (9/8) de este valor y a partir de ahí vuelve a disminuir al valor inicial
Línea 85: Línea 94:
Hallamos el trabajo empleando de nuevo la fórmula del trapecio (o la integral, que es equivalente). Este trapecio tiene altura <math>V_A/4</math> y bases <math>p_A</math> y <math>3p_A/2</math>
Hallamos el trabajo empleando de nuevo la fórmula del trapecio (o la integral, que es equivalente). Este trapecio tiene altura <math>V_A/4</math> y bases <math>p_A</math> y <math>3p_A/2</math>
-
<center><math>W_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{4}\right)\left(\frac{3p_A}{2}+p_A\right) = \frac{5}{16}p_AV_A</math></center>
+
<center><math>W_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{4}\right)\left(\frac{3p_A}{2}+p_A\right) = \frac{5}{16}p_AV_A=312\,\mathrm{J}</math></center>
====Segundo tramo====
====Segundo tramo====
Para la segunda parte del trayecto podemos hallar el trabajo como el área de un nuevo trapecio o considerando que es el trabajo restante hasta completar el total. En cualquier caso, el resultado es
Para la segunda parte del trayecto podemos hallar el trabajo como el área de un nuevo trapecio o considerando que es el trabajo restante hasta completar el total. En cualquier caso, el resultado es
-
<center><math>W_2 = W - W_1 = \frac{3p_AV_A}{4}-\frac{5p_AV_A}{16} = \frac{7}{16}p_AV_A</math></center>
+
<center><math>W_2 = W - W_1 = \frac{3p_AV_A}{4}-\frac{5p_AV_A}{16} = \frac{7}{16}p_AV_A=437.5\,\mathrm{J}</math></center>
===Energía===
===Energía===
Los dos tramos no son isotermos, ya que la temperatura primero sube y luego baja, por lo que hay variación en la energía interna en cada uno dellos.
Los dos tramos no son isotermos, ya que la temperatura primero sube y luego baja, por lo que hay variación en la energía interna en cada uno dellos.
Línea 96: Línea 105:
Por tratarse de un gas ideal diatómico, la variación de energía es
Por tratarse de un gas ideal diatómico, la variación de energía es
-
<center><math>\Delta U_1 =nc_v(T_1-T_A) =\frac{5}{2}nR\left(\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=\frac{5}{16}nRT_A=\frac{5}{16}p_AV_A</math></center>
+
<center><math>\Delta U_1 =nc_v(T_1-T_A) =\frac{5}{2}nR\left(\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=\frac{5}{16}nRT_A=\frac{5}{16}p_AV_A=312.5\,\mathrm{J}</math></center>
====Segundo tramo====
====Segundo tramo====
Operando del mismo modo
Operando del mismo modo
-
<center><math>\Delta U_2  =\frac{5}{2}nR\left(T_A-\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=-\frac{5}{16}p_AV_A</math></center>
+
<center><math>\Delta U_2  =\frac{5}{2}nR\left(T_A-\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=-\frac{5}{16}p_AV_A=-312.5\,\mathrm{J}</math></center>
Resulta igual y de signo contrario a la anterior, como corresponde a que la variación neta de energía es nula.
Resulta igual y de signo contrario a la anterior, como corresponde a que la variación neta de energía es nula.
Línea 117: Línea 126:
El calor en este parte se halla de la misma forma
El calor en este parte se halla de la misma forma
-
<center><math>Q_2 = \Delta U_2 - W_2 = -\frac{5}{16}p_AV_A-\frac{7}{16}p_AV_A = -\frac{3}{4}p_AV_A</math></center>
+
<center><math>Q_2 = \Delta U_2 - W_2 = -\frac{5}{16}p_AV_A-\frac{7}{16}p_AV_A = -\frac{3}{4}p_AV_A=-750\,\mathrm{J}</math></center>
[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica (GIE)]]
[[Categoría:Problemas del primer principio de la termodinámica (GIE)]]

última version al 13:59 1 abr 2015

Contenido

1 Enunciado

Se comprime cuasiestáticamente un gas ideal que inicialmente se encuentra a presión p_A = 100\,\mathrm{kPa}, temperatura T_A = 300\,\mathrm{K} y ocupa un volumen V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3, según la ley

p = 3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}

La compresión continúa hasta que la presión vale pB = 2pA.

  1. Trace la gráfica del proceso en un diagrama PV.
  2. Calcule la temperatura final del proceso.
  3. Calcule el trabajo neto realizado sobre el gas, la variación de su energía interna y el calor que entra en el gas durante el proceso.
  4. ¿Para qué volumen durante el proceso la temperatura es máxima? Halle el valor de esta temperatura máxima.
  5. Separando el proceso en dos: uno hasta que alcanza la temperatura máxima y otro de ahí hasta el final, halle W, ΔU y Q en cada uno de los dos subprocesos.

2 Representación gráfica

Dado que la presión depende del volumen en la forma

p = a + b V\,        a = 3p_A\,        b = -\frac{2p_A}{V_A}

es claro que la gráfica del proceso es un segmento rectilíneo. El punto inicial del segmento es (pA,VA) y el punto final corresponde a pB = 2pA y al volumen

p_B=2p_A = 3p_A - \frac{2p_AV_B}{V_A} \qquad\Rightarrow\qquad V_B = \frac{V_A}{2}

Por tanto el volumen final es la mitad del inicial, mientras que la presión es el doble.

Numéricamente, será

V_A = 0.01\,\mathrm{m}^3 = 10\,\mathrm{l}\qquad V_B = 5\,\mathrm{l}\qquad p_A = 100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad p_B = 200\,\mathrm{kPa}
Archivo:calentamiento-lineal.png

3 Temperatura final

Obtenemos la temperatura final a partir de la ecuación de los gases ideales. Inicialmente tenemos

p_AV_A = n R T_A\qquad\Rightarrow\qquad n R = \frac{p_AV_A}{T_A}

En el estado final

T_B = \frac{p V}{n R} = \frac{(2p_A)(V_A/2)}{n R} = \frac{p_AV_A}{n R} = T_A=300\,\mathrm{K}

Por tanto, la temperatura final es igual a la inicial.

4 Trabajo, energía y calor

4.1 Trabajo

El trabajo realizado sobre el gas en un proceso cuasiestático es igual a la integral

W = - \int_{V_i}^{V_f}p\,\mathrm{d}V

En nuestro caso

W= -\int_{V_A}^{V_A/2} \left(3p_A-\frac{2p_AV}{V_A}\right)\mathrm{d}V = -\left.3p_AV\right|_{V_A}^{V_A/2}+\left.\frac{p_AV^2}{V_A}\right|_{V_A}^{V_A/2} = \frac{3p_AV_A}{4}

Es muy fácil llegar a este resultado de forma gráfica, ya que el área bajo la curva es la de un trapecio de altura VA / 2, base menor pA y base mayor 2pA. El área de este trapecio es

W = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{2}\right)\left(2p_A+p_A\right) = \frac{3p_AV_A}{4}

siendo el valor numérico

W = \frac{3}{4}\times 100\mathrm{kPa}\times 0.01\mathrm{m}^3 = 750\,\mathrm{J}

4.2 Energía interna

Por tratarse de un gas ideal, la variación en la energía interna solo depende de la temperatura inicial y la final

\Delta U = nc_v(T_f-T_i) = nc_v(T_A-T_A)=0\,

Puesto que la temperatura inicial y la final son la misma, no hay variación en la energía interna del gas.

4.3 Calor

Una vez que tenemos el trabajo y la variación de la energía interna, hallamos el calor empleando el primer principio de la termodinámica

Q = \Delta U - W = -\frac{3p_AV_A}{4}=-750\,\mathrm{J}

En este proceso se realiza trabajo, pero puesto que la temperatura del sistema es la misma al principio y al final, ese trabajo sale del sistema en forma de calor. Este proceso, no obstante, no es isotermo, ya que la temperatura del sistema cambia en los estados intermedios.

5 Temperatura máxima

La temperatura del gas en cada estado del proceso la hallamos por la ley de los gases ideales

T(V) = \frac{p(V)V}{n R} = \frac{3p_AV-2p_AV^2/V_A}{p_AV_A/T_A}=\frac{3T_AV}{V_A}-\frac{2T_AV^2}{V_A^2}

La gráfica de esta función tiene una forma parabólica, con un máximo en algún punto intermedio entre el estado inicial y el final. Hallamos la posición del máximo igualando la derivada a cero.

0 = \frac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}V}=\frac{3T_A}{V_A}-\frac{4T_AV}{V_A^2}   \Rightarrow   V = \frac{3V_A}{4}=7.5\,\mathrm{l}

Este volumen corresponde al punto medio entre el estado inicial y el final. La temperatura en este punto es

T_\mathrm{max}=\frac{3T_A}{V_A}\left(\frac{3V_A}{4}\right)-\frac{2T_A}{V_A^2}\left(\frac{3V_A}{4}\right)^2 = \frac{9}{8}T_A=337.5\,\mathrm{K}

La temperatura del gas, por tanto, aumenta desde TA a (9/8) de este valor y a partir de ahí vuelve a disminuir al valor inicial

6 División en dos tramos

De acuerdo con el resultado del apartado anterior, cuando se comprime el gas entre VA y 3VA / 4, la temperatura aumenta, disminuyendo entre ese valor y VA / 2. Si consideramos los dos procesos por separado obtenemos los resultados siguientes:

6.1 Trabajo

6.1.1 Primer tramo

Hallamos el trabajo empleando de nuevo la fórmula del trapecio (o la integral, que es equivalente). Este trapecio tiene altura VA / 4 y bases pA y 3pA / 2

W_1 = \frac{1}{2}\left(\frac{V_A}{4}\right)\left(\frac{3p_A}{2}+p_A\right) = \frac{5}{16}p_AV_A=312\,\mathrm{J}

6.1.2 Segundo tramo

Para la segunda parte del trayecto podemos hallar el trabajo como el área de un nuevo trapecio o considerando que es el trabajo restante hasta completar el total. En cualquier caso, el resultado es

W_2 = W - W_1 = \frac{3p_AV_A}{4}-\frac{5p_AV_A}{16} = \frac{7}{16}p_AV_A=437.5\,\mathrm{J}

6.2 Energía

Los dos tramos no son isotermos, ya que la temperatura primero sube y luego baja, por lo que hay variación en la energía interna en cada uno dellos.

6.2.1 Primer tramo

Por tratarse de un gas ideal diatómico, la variación de energía es

\Delta U_1 =nc_v(T_1-T_A) =\frac{5}{2}nR\left(\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=\frac{5}{16}nRT_A=\frac{5}{16}p_AV_A=312.5\,\mathrm{J}

6.2.2 Segundo tramo

Operando del mismo modo

\Delta U_2 =\frac{5}{2}nR\left(T_A-\frac{9}{8}T_A-T_A\right)=-\frac{5}{16}p_AV_A=-312.5\,\mathrm{J}

Resulta igual y de signo contrario a la anterior, como corresponde a que la variación neta de energía es nula.

6.3 Calor

Para calcular el calor en cada tramo del proceso aplicamos el primer principio de la termodinámica

6.3.1 Primer tramo

El calor en este proceso es

Q_1 = \Delta U_1 - W_1 = \frac{5}{16}p_AV_A-\frac{5}{16}p_AV_A = 0

Este proceso es globalmente adiabático, aunque en pasos intermedios se intercambie calor con el entorno.

6.3.2 Segundo tramo

El calor en este parte se halla de la misma forma

Q_2 = \Delta U_2 - W_2 = -\frac{5}{16}p_AV_A-\frac{7}{16}p_AV_A = -\frac{3}{4}p_AV_A=-750\,\mathrm{J}
Obtenido de "http://tesla.us.es/wiki/index.php/Compresi%C3%B3n_lineal_de_un_gas"

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
 Esta página fue modificada por última vez el 13:59, 1 abr 2015. - Esta página ha sido visitada 11.691 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace