Flujo de un campo vectorial
De Laplace
(→Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua) |
(→Flujo de un campo a través de una superficie arbitrarios) |
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siendo <math>\theta</math> el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y <math>\mathbf{S}=S\mathbf{n}</math> el [[vector superficie]] asociado a la sección de la tubería. | siendo <math>\theta</math> el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y <math>\mathbf{S}=S\mathbf{n}</math> el [[vector superficie]] asociado a la sección de la tubería. | ||
| - | ==Flujo de un campo a través de una superficie | + | ==Flujo general de un campo a través de una superficie== |
| + | La fórmula anterior tiene una extensión inmediata al caso de que tengamos una distribución no uniforme de velocidades (o de un campo vectorial, en general). Por ejemplo, el flujo real de un líquido en el interior de un capilar o tubo estrecho sigue un perfil parabólico (<math>perfil de Poiseuille</math>). También podemos tener que la superficie a través de la cual se calcula el flujo no sea una sección plana. | ||
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| + | En este caso general, simplemente hay que dividir la superficie en elementos diferenciales (que sí son planos), calcular el flujo a través de cada elemento y sumar todas las contribuciones | ||
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| + | <center><math>\mathrm{d}\Phi = \mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}</math>{{tose}}<math>\Phi = \int_S\mathbf{v}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}</math></center> | ||
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==Flujo a través de una superficie cerrada== | ==Flujo a través de una superficie cerrada== | ||
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Revisión de 13:22 28 dic 2008
Contenido |
1 Introducción
2 Flujo de un campo uniforme en una sección ortogonal
Consideremos en primer lugar el caso de una tubería de sección S por la cual fluye agua con la misma velocidad v en todos sus puntos. Nos preguntamos por el caudal de la tubería, esto es, por la cantidad de agua (en volumen) que atraviesa una sección de la tubería en la unidad de tiempo. En un intervalo dt la cantidad de aqua que atraviesa S es aquella que se encuentra a una distancia menor de 
.
El caudal es igual al producto de la velocidad del líquido por la sección de la tubería. A mayor velocidad o mayor sección, mayor caudal.
3 Flujo de un campo uniforme en una sección oblicua
Supongamos ahora la misma tubería, y la misma velocidad uniforme del líquido, pero tomando una sección oblicua de la tubería. El caudal que atraviesa esta nueva sección debe ser el mismo que antes, sin embargo, esta cantidad no puede ser igual a vS pues ahora S es mayor que antes.
Para extender la fórmula anterior a este caso observamos que no toda la velocidad atraviesa la superficie. Si en cada punto de la superficie descomponemos la velocidad en su componente normal a la superficie y su componente tangencial a ella, solo la primera contribuye al flujo, ya que la componente tangencial corresponde a que el líquido “resbale” sobre la superficie. Por tanto el flujo de agua a través de la superficie es
siendo θ el ángulo que forman la velocidad y el vector normal a la superficie y 
el vector superficie asociado a la sección de la tubería.
4 Flujo general de un campo a través de una superficie
La fórmula anterior tiene una extensión inmediata al caso de que tengamos una distribución no uniforme de velocidades (o de un campo vectorial, en general). Por ejemplo, el flujo real de un líquido en el interior de un capilar o tubo estrecho sigue un perfil parabólico (perfildePoiseuille). También podemos tener que la superficie a través de la cual se calcula el flujo no sea una sección plana.
En este caso general, simplemente hay que dividir la superficie en elementos diferenciales (que sí son planos), calcular el flujo a través de cada elemento y sumar todas las contribuciones
